優(yōu)化設計 有約束優(yōu)化 無約束優(yōu)化

1、目 錄1.多維有約束優(yōu)化- 3 -1.1 題目- 3 -1.2 已知條件- 3 -1.3 建立優(yōu)化模型- 3 -問題分析及設計變量的確定- 3 -目標函數(shù)的確定- 4 -1.3.3 約束條件的建立- 4 -1.4 優(yōu)化方法的選擇- 5 -1.5 數(shù)學模型的求解- 5 -1.5.1 確定數(shù)學優(yōu)化模型- 5 -運用Matlab優(yōu)化工具箱對數(shù)學模型求解- 6 -1. 5.3最優(yōu)解以及結果分析- 7 -2.多維無約束優(yōu)化- 8 -2.1 題目- 8 -2.2 確定優(yōu)化設計模型- 8 -2.3運用Matlab優(yōu)化工具箱對數(shù)學模型求解- 9 -2.3.1 編寫目標函數(shù)- 9 -2.3.2 繪制該函數(shù)的平面

2、和空間等值線- 9 -利用matlab工具箱fminunc函數(shù)對該模型進行求解- 11 -求解結果- 11 -1.多維有約束優(yōu)化1.1 題目對一對單級圓柱齒輪減速器，以體積最小為目標進行多維有約束優(yōu)化設計。1.2 已知條件已知數(shù)輸入功p=58kw，輸入轉速n1=1000r/min，齒數(shù)比u=5，齒輪的許用應力H=550Mpa，許用彎曲應力F=400Mpa。1.3 建立優(yōu)化模型問題分析及設計變量的確定由已知條件得求在滿足零件剛度和強度條件下，使減速器體積最小的各項設計參數(shù)。由于齒輪和軸的尺寸（即殼體內(nèi)的零件）是決定減速器體積的依據(jù)，故可按它們的體積之和最小的原則建立目標函數(shù)。單機圓柱齒輪減速器的

3、齒輪和軸的體積可近似的表示為：式中符號意義由結構圖給出，其計算公式為 由上式知，齒數(shù)比給定之后，體積取決于b、z1 、m、l、dz1 和dz2 六個參數(shù)，則設計變量可取為 目標函數(shù)的確定根據(jù)以上分析，可知，該齒輪減速器以體積最小的目標函數(shù)為： 約束條件的建立(1)為避免發(fā)生根切，應有，得(2)齒寬應滿足，和為齒寬系數(shù)的最大值和最小值，一般取=0.9，=1.4，得:(3)動力傳遞的齒輪模數(shù)應大于2mm，得(4)為了限制大齒輪的直徑不至過大，小齒輪的直徑不能大于，得(5)齒輪軸直徑的范圍：得(6)軸的支撐距離按結構關系，應滿足條件：（可取=20），得(7)齒輪的接觸應力和彎曲應力應不大于許用值，得

4、(8)齒輪軸的最大撓度不大于許用值，得(9)齒輪軸的彎曲應力不大于許用值，得1.4 優(yōu)化方法的選擇 由于該問題有6個設計變量，16個約束條件的優(yōu)化設計問題，采用傳統(tǒng)的優(yōu)化設計方法比較繁瑣，比較復雜，所以選用Matlab優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)來求解此非線性優(yōu)化問題，避免了較為繁重的計算過程。1.5 數(shù)學模型的求解 確定數(shù)學優(yōu)化模型將已知及數(shù)據(jù)代入上式，該優(yōu)化設計的數(shù)學優(yōu)化模型表示為：（1）求變量：（2）目標函數(shù)：（3）約束條件： 運用Matlab優(yōu)化工具箱對數(shù)學模型求解（1）首先在Matlab優(yōu)化工具箱中編寫目標函數(shù)的M文件 myfun.m，返回x處的函數(shù)值f：function f =

5、 myfun(x)f=0.785398*(4.75*x(1)*x(2)2*x(3)2+85*x(1)*x(2)*x(3)2-85*x(1)*x(3)2+0.92*x(1)*x(6)2-x(1)*x(5)2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)2+x(4)*x(6)2+28*x(5)2+32*x(6)2)（2）由于約束條件中有非線性約束，故需要編寫一個描述非線性約束條件的M文件mycon.m：functionc,ceq=myobj(x)c=17-x(2);0.9-x(1)/(x(2)*x(3);x(1)/(x(2)*x(3)-1

6、.4;2-x(3);x(2)*x(3)-300;100-x(5);x(5)-150;130-x(6);x(6)-200;x(1)+0.5*x(6)-x(4)-40;1486250/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)-550; 7098/(x(1)*x(2)*x(3)2*(0.169+0.006666*x(2)-0.0000854*x(2)2)-400;7098/(x(1)*x(2)*x(3)2*(0.2824+0.00177*x(2)-0.0000394*x(2)2)-400;117.04*x(4)4/(x(2)*x(3)*x(5)4)-0.003*x(4);(1/(x(5)3)*sqr

7、t(2850000*x(4)/(x(2)*x(3)2+2.4*1012)-5.5;(1/(x(6)3)*sqrt(2850000*x(4)/(x(2)*x(3)2+6*1013)-5.5;ceq=;（3）最后求解，調(diào)用目標函數(shù)和約束條件，用matlab軟件中工具箱里的fmincon函數(shù)，求解有約束的優(yōu)化，在command window里輸入：x0=230;21;8;420;120;160;%給定初始值x,fval,exitflag,output=fmincon(myfun,x0,myobj,output) %調(diào)用優(yōu)化過程1. 5.3最優(yōu)解以及結果分析運行結果如下圖所示：x = 123.3565

8、 99.8518 1.7561 147.3757 150.4904 129.5096fval = 2.3168e+007exitflag = -2output = iterations: 43 funcCount: 563 lssteplength: 1 stepsize: 2.0356e-006 algorithm: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search firstorderopt: 1.9956e+007 constrviolation: 213.1511 message: 1x750 char故優(yōu)化后的最終結果為x=123.3565 9

9、9.8517 1.7561 147.3157 150.4904 129.5096f(x)=2.36e*107由于齒輪模數(shù)應為標準值，齒數(shù)必須為整數(shù)，其它參數(shù)也要進行圓整，所以最優(yōu)解不能直接采用，按設計規(guī)范，經(jīng)標準化和圓整后：x=124 100 2 148 150 130 f(x)=6.16 *107結果對比分析：若按初始值減速器的體積V大約為6.32107mm3，而優(yōu)化后的體積V則為6.16107mm3，優(yōu)化結果比初始值體積減少為：V1(6.16107/6.32107)100%2.5%所以優(yōu)化后的體積比未優(yōu)化前減少了2.5%，說明優(yōu)化結果相對比較成功。2.多維無約束優(yōu)化 在機械設計問題中，難以

10、避免生產(chǎn)，加工，裝配，經(jīng)濟性等問題，故少有無約束優(yōu)化設計問題。在本次試驗中，針對一個管道流量問題的二維函數(shù)，設計了一個非線性無約束優(yōu)化設計問題，并加以求解。2.1 題目已知梯形截面管道的參數(shù)：底邊長c，高度h，斜邊與底邊的夾角，橫截面積A=64516mm2，如圖1所示。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長s的倒數(shù)成比例關系。試按照使液體流速最大的條件，確定管道的參數(shù)。圖1 梯形截面管道參數(shù)2.2 確定優(yōu)化設計模型（1）管道截面周長：（2）管道截面面積：由此可得底邊長度的關系式：（與h和有關）將c代入管道橫截面周長的計算式中，得到管道截面周長關系式：因此，取與管道界面周長有關的獨立參數(shù)h和作為設計變

11、量，有：為使液體流速最大，取管道截面周長最小作為目標函數(shù)，即：Min 故該函數(shù)的數(shù)學模型：（1）變量：（2）目標函數(shù)：Min 2.3運用Matlab優(yōu)化工具箱對數(shù)學模型求解 編寫目標函數(shù)首先在Matlab優(yōu)化工具箱中編寫目標函數(shù)的M文件 sc_wysyh.m，返回x處的函數(shù)值f：% 1-二維無約束優(yōu)化目標函數(shù)文件(sc_wysyh.m)function f=sc_wysyh(x)a=64516;hd=pi/180;f=a/x(1)-x(1)/tan(x(2)*hd)+2*x(1)/sin(x(2)*hd); 繪制該函數(shù)的平面和空間等值線% 2-繪制水槽截面周長等高線和曲面圖的程序% 按(初值,

12、終值,等分數(shù))產(chǎn)生等間隔向量xx1,xx2xx1=linspace(100,300,25);xx2=linspace(30,120,25);% 產(chǎn)生兩個5x10的網(wǎng)格矩陣x1,x2x1,x2=meshgrid(xx1,xx2);% 定義目標函數(shù)a=64516;hd=pi/180;f=a./x1-x1./tan(x2*hd)+2*x1./sin(x2*hd);% 將整個圖形窗口分隔成2個子窗口,取左邊窗口figure(1);% 繪制等值線并標注函數(shù)值h=contour(x1,x2,f);clabel(h);% 定義左邊窗口坐標軸刻度范圍axis(100 300 30 120)% 標注左邊窗口和坐

13、標軸xlabel(高度 h (mm)ylabel(傾斜角 theta (度)title(目標函數(shù)(截面周長)等值線)% 將整個圖形窗口分隔成2個子窗口,取右邊窗口figure(2);% 繪制曲面圖surfc(x1,x2,f);% 定義右邊窗口坐標軸刻度范圍aaxis(100 300 30 120 600 1200)% 標注右邊窗口xlabel(高度 bf h (mm);ylabel(斜邊夾角 bf theta(度);zlabel(目標函數(shù)值bf f (mm);title(目標函數(shù)(截面周長)曲面圖)運行結果，目標函數(shù)的曲面如圖2，目標函數(shù)等值曲線如圖3。圖2 截面周長曲面圖圖3 截面周長等值線

14、利用matlab工具箱fminunc函數(shù)對該模型進行求解% 初始點x0=25;45;% 調(diào)用梯度法搜索x,Fmin，exitflag,output=fminunc(sc_wysyh,x0);disp * 輸出最優(yōu)解 *fprintf (1, 截面高度h x(1)* = %3.4f mm n,x(1)fprintf (1, 斜邊夾角theta x(2)* = %3.4f 度 n,x(2)fprintf (1, 截面周長s f* = %3.4f mm n,Fmin)求解結果運行上述程序，可以解得如下參數(shù)：exitflag = 1output = iterations: 18 funcCount: 60 stepsize: 1 firstorderop