專題復(fù)習(xí)證明線段相等角相等的基本方法一剖析

1、專題復(fù)習(xí) 證明線段相等角相等的基本方法(一)一、教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：使學(xué)生掌握根據(jù)角和線段位置關(guān)系如在一個(gè)三角形中或在兩個(gè)三角形中，利用等邊對(duì)等角、或三角形全等證明角相等線段相等的基本方法.過(guò)程與方法：使學(xué)生在根據(jù)角或邊的位置關(guān)系確定證明角相等或線段等的方法過(guò)程中，體驗(yàn)證明角相等線段相等的基本方法，在交流的過(guò)程中感受和豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力.情感態(tài)度與價(jià)值觀：激活學(xué)生原有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，使每個(gè)學(xué)生按照自己的習(xí)慣進(jìn)行提取、存儲(chǔ)信息，形成不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，獲得不同的發(fā)展.二、教學(xué)重點(diǎn)：掌握根據(jù)角和線段位置關(guān)系確定證明角相等線段相等的基本方法.教學(xué)難點(diǎn)：分析圖形的

2、形狀特征，識(shí)別角或線段的位置關(guān)系，確定證明方法.三、教學(xué)用具：三角板、學(xué)案等四、教學(xué)過(guò)程：（一）引入：相等的線段和角是構(gòu)成特殊幾何圖形的主要元素，也是識(shí)別特殊圖形的主要依據(jù)；運(yùn)用三角形全等證明線段相等角相等，常出現(xiàn)在中考15題左右的位置，是北京市中考必考內(nèi)容；運(yùn)用全等三角形的知識(shí)尋求經(jīng)過(guò)圖形變換后得到的圖形與原圖形對(duì)應(yīng)元素間的關(guān)系，常與特殊圖形結(jié)合，出現(xiàn)在綜合題中.（二）例題：例1已知：如圖1，ABC中，AB=AC，BC為最大邊，點(diǎn)D、 E分別在BC、AC上，BD=CE，F(xiàn)為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BF=CD .求證：DEF=DFE . 分析：要證在一個(gè)三角形中的兩角相等，考慮用等腰三角形的性質(zhì)（等

3、邊對(duì)等角）來(lái)證；因要證的兩條相等的邊在兩個(gè)三角形中，故利用三角形全等來(lái)證線段相等 圖1證明：AB=ACB=C在BDF和CED中，點(diǎn)撥：抓住圖形的特征（兩角在一個(gè)圖形中）常用等邊對(duì)等角證明，這是證兩角相等的常用方法例2 已知：如圖1，在ABC中，ACB=，于點(diǎn)D,點(diǎn)E 在 AC上，CE=BC,過(guò)E點(diǎn)作AC的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 求證AB=FC. 分析：觀察AB與FC在圖形中的位置，發(fā)現(xiàn)這兩條線段分別位于兩個(gè)三角形中，考慮用三角形全等來(lái)證明準(zhǔn)備三角形全等的條件時(shí)，已知一對(duì)角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，還需證另一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等；已知條件有直角，故利用同角的余角相等來(lái)證.圖1證明：于點(diǎn)，易證.點(diǎn)撥：根據(jù)圖形特

4、征，要證明相等的兩邊分別在兩個(gè)三角形中，常利用證明兩邊所在的兩個(gè)三角形全等來(lái)證在證明兩角相等時(shí)，利用了同角的余角相等證明，也可用等角的余角相等來(lái)證，但較復(fù)雜圖1-2DCEAB圖1-1例3 兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板如圖1-1所示放置，圖1-2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)求證：ABE=ACD分析：圖1-2是由兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)圖形，分別從一個(gè)等腰三角形取一條腰，夾角為等角加同角，就可構(gòu)成邊角邊對(duì)應(yīng)相等的與全等，從而可證全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等證明：與均為等腰直角三角形,，易證. ABE=ACD點(diǎn)撥：由有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的幾何圖形，當(dāng)分別從一個(gè)等

5、腰三角形中取一腰時(shí)，可構(gòu)成邊角邊全等三角形；證夾角相等時(shí)常用等角加同角的和相等此題可以拓展，將等腰直角三角形換成等邊三角形、頂角相等的等腰三角形、正方形等例4點(diǎn)A、B、C在同一直線上，在直線AC的同側(cè)作和，連接AF，CE取AF、CE的中點(diǎn)M、N，連接BM，BN， MN（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，且，則 是 三角形（2）如圖1-2，在和中，若BA=BE,BC=BF,且，則是 三角形，且 .（3）如圖1-3，若將（2）中的繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，其他條件不變，那么（2）中的結(jié)論是否成立？ 若成立，給出你的證明；若不成立，寫出正確的結(jié)論并給出證明.分析：（1）判斷三角形形狀時(shí)，三角形一般是特殊三

6、角形，由已知易知，又可證得MBN=90°，所以MBN為等腰直角三角形（2）圖形中是兩個(gè)等腰三角形以公共頂點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)而成，則一個(gè)等腰三角形取一腰，構(gòu)成兩個(gè)邊角邊全等三角形 解：（1）等腰直角 （2）等腰 （3）結(jié)論仍然成立 證明：如圖1-3，易證 ABFEBC.AF=CE，AFB=ECB. M,N分別是AF、CE的中點(diǎn),FM=CN.MFBNCB.BM=BN. MBF=NBC. MBN=MBF+FBN=FBN+NBC=FBC=.點(diǎn)撥：在圖形形狀發(fā)生變化時(shí)，抓住影響結(jié)論的主要條件是否變化，如果沒(méi)有變，則結(jié)論不變；如主要條件變，則結(jié)論變?cè)谧C明此類問(wèn)題時(shí)，圖形變化后的證明思想或證明方法，?？?/p>

7、由特殊（變化前）的證法類比得到（三） 練習(xí)：1 如圖1，四邊形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等邊三角形，點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)求證：（1）PBA=PCQ=30°；（2）PA=PQACBDPQ圖1圖12如圖1，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接BE、DG(1)求證：BEDG；(2)圖中是否存在通過(guò)旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個(gè)三角形？若存在，說(shuō)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由3.如圖1，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于點(diǎn)O.求證：(1) ABCAED；(2) OBOE .圖14. 如圖，將一三角板放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它

8、的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,另一邊與射線DC相交于Q.當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與PB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的猜想圖15如圖1-1，在中，為銳角，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，連結(jié)，以為一邊且在的右側(cè)作正方形（1）如果，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（與點(diǎn)不重合），如圖1-2，線段所在直線的位置關(guān)系為 _ ，線段的數(shù)量關(guān)系為 ；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1-3，中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；FD圖1-3ABDCE（2）如果，是銳角，點(diǎn)在線段上，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，（點(diǎn)不重合），并說(shuō)明理由圖1-2ABDECF圖1-1（四） 總結(jié)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在對(duì)例題、習(xí)題分析、證明、總結(jié)

9、反思的過(guò)程中，體驗(yàn)根據(jù)線段和角的位置關(guān)系證明角等和線段相等的方法，即當(dāng)兩角或兩邊在一個(gè)三角形中時(shí)，利用等邊對(duì)等角或等角對(duì)等邊，當(dāng)兩角或兩邊在兩個(gè)三角形中時(shí)證明他們所在的兩個(gè)三角形全等；體驗(yàn)由有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的幾何圖形，當(dāng)分別從一個(gè)等腰三角形中取一腰時(shí)，可構(gòu)成邊角邊全等三角形通過(guò)練習(xí)拓展，將等腰直角三角形換成等邊三角形、頂角相等的等腰三角形、正方形等，結(jié)論仍然成立老師在用時(shí)可將例習(xí)題變?yōu)閷W(xué)案使用，也可根據(jù)自己的習(xí)慣和學(xué)生情況增減習(xí)題使用教案設(shè)計(jì)程序簡(jiǎn)單，易于使用者直接使用或改變歡迎提寶貴意見(jiàn)！謝謝?。ㄎ澹?反思：本節(jié)課例習(xí)題編排按照由易到難、有簡(jiǎn)單到復(fù)雜的順序，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)

10、律，學(xué)生通過(guò)課上的體驗(yàn)、總結(jié)、交流再通過(guò)練習(xí)進(jìn)行鞏固，希望達(dá)到教學(xué)目標(biāo)附練習(xí)參考答案：1 證明：(1)四邊形ABCD是矩形，ACBDPQ圖1ABC=BCD=90°PBC和QCD是等邊三角形，PBC=PCB=QCD=60°，PBA=ABCPBC=30°， PCD= BCDPCB=30°PCQ=QCDPCD=30°PBA=PCQ=30° （2） AB=DC=QC，PBA=PCQ，PB=PC，PABPQC， PA=PQ2（1）證明：如圖1，正方形和正方形, 圖1 在和中， 圖1（2）存在繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（或?qū)⒛鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)得到） 3證明： (

11、1) 如圖1，BADEAC， BAC=EAD在ABC和AED中 ABCAED(SAS) (2)由(1)知ABC=AED AB=AE ， ABE=AEB OBE=OEB OB=OE4解： PQ=PB 圖1-1 證明： 過(guò)P點(diǎn)作MNBC分別交AB、DC于點(diǎn)M、N 在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線， AM=PM 又AB=MN， MB=PN BPQ=900 ， BPMNPQ=900 又MBPBPM =900 ， MBP= NPQ RtMBPRtNPQ, PB=PQ5（1）垂直，相等； 如圖1-2，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)的結(jié)論仍成立 由正方形ADEF得 ADAF ，DAF90ºBAC90º，DAFBAC ， DABFAC，又ABAC ，DABFAC ，圖1-2 CFBD ， ACFABDBAC90º， ABAC ，ABC45º，AC