二重積分的計(jì)算一

1、第二節(jié) 二重積分的計(jì)算(一)分布圖示 利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 關(guān)于積分限的確定 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 交換二重積分次序的步驟 例8 例9 例10 例11 例12 例13 利用對(duì)稱性和奇偶性化簡二重積分的計(jì)算 例14 例15 例16 例17 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題10 -2 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算對(duì)型區(qū)域：，有 (2.2)對(duì)型區(qū)域：，有 (2.3) 二、交換二次積分次序的步驟（1）對(duì)于給定的二重積分 先根據(jù)其積分限畫出積分區(qū)域D（圖9-2-13）；（2）根據(jù)積分區(qū)域的形狀，按新的次序確定積分區(qū)域D的積分限（3）寫出結(jié)果 三、利用對(duì)稱性和奇偶性化簡

2、二重積分的計(jì)算利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域D的對(duì)稱性，常會(huì)大大化簡二重積分的計(jì)算. 在例5中我們就應(yīng)用了對(duì)稱性來解決所給問題. 如同在處理關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的奇（偶）函數(shù)的定積分一樣，在利用這一方法時(shí)，要同時(shí)兼顧到被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域D的對(duì)稱性兩方面.例題選講在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算例1（E01）計(jì)算其中D是由直線及所圍成的閉區(qū)域.解一 如圖，將積分區(qū)域視為型,解二 將積分區(qū)域視為型,例2 計(jì)算, 其中是由直線和所圍成的閉區(qū)域.解 如圖,既是型,又是型.若視為型,則原積分若視為型，則其中關(guān)于的積分計(jì)算比較麻煩，故合理選擇積分次序?qū)χ胤e分的計(jì)算非常重要.例3（E02）計(jì)算二重積分其

3、中D是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.解 如圖,既是型，也是型.但易見選擇前者計(jì)算較麻煩，需將積分區(qū)域劃分為兩部分來計(jì)算，故選擇后者.例4（E03）計(jì)算 其中D由及y軸所圍.解 畫出區(qū)域的圖形.將表成型區(qū)域,得因的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示.所以我們要變換積分次序. 將表成型區(qū)域,得例5（E04）計(jì)算其中D為.解 例6 計(jì)算二重積分 其中區(qū)域是由, 所圍成的矩形.解 如圖，因?yàn)槭蔷匦螀^(qū)域,且所以例7（E05）求兩個(gè)底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積.解 成的立體的體積. 及利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性, 只要算出它在第一卦限部分的體積然后再乘以8即可.如圖.易見所求立體在第一卦限部分可

4、以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的底為它的頂是柱面于是,故所求體積為 交換二次積分次序的步驟例8 交換二次積分的積分次序.解 題設(shè)二次積分的積分限: 可改寫為:所以 例9（E06）交換二次積分的積分次序.解 題設(shè)二次積分的積分限: 可改寫為:所以 例10（E07）證明其中a、b均為常數(shù), 且.證 等式左端二次積分的積分限:可改寫為所以例11（E08）交換二次積分的積分次序. 解 題設(shè)二次積分的積分限:可改寫為 所以 原式例12 交換二次積分的積分次序. 解 題設(shè)二次積分的積分限:由 原式例13 計(jì)算積分 解 不能用初等函數(shù)表示,先改變積分次序. 題設(shè)二次積分的積分限:可改寫為，所以利用對(duì)稱性和奇偶性化簡二重積分的計(jì)算例14（E09） 計(jì)算其中積分區(qū)域由曲線與所圍成.解 令因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱,且故 例15 計(jì)算 其中解法一 先對(duì)積分,積分區(qū)域故解法二 先對(duì)積分，積分區(qū)域故解法三 利用對(duì)稱性,因?yàn)榉e分域關(guān)于軸對(duì)稱，且函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù),所以又 故例16（E10）計(jì)算 其中區(qū)域解 因?yàn)殛P(guān)于軸和軸對(duì)稱，且關(guān)于或關(guān)于為偶函數(shù)注: 若直接在上求二重積分，則要繁瑣很多.例17 證明不等式 其中證 因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，故