數(shù)學(xué)美五分類討論思想在解題中的應(yīng)用 (2)_第1頁
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文檔簡介

1、數(shù)學(xué)欣賞五分類討論思想在解題中的應(yīng)用一、知識整合 1.分類討論是解決問題的一種邏輯方法,也是一種數(shù)學(xué)思想,這種思想對于簡化研究對象,發(fā)展人的思維有著重要幫助,因此,有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置。 2.所謂分類討論,就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時,就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類,然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。實(shí)質(zhì)上,分類討論是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的數(shù)學(xué)策略。 3.分類原則:分類對象確定,標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一,不重復(fù),不遺漏,分層次,不越級討論。 4.分類方法:明確討論對象,確定對象的全體,確定分類標(biāo)準(zhǔn),正確進(jìn)行分類;逐類進(jìn)行

2、討論,獲取階段性成果;歸納小結(jié),綜合出結(jié)論。 5.含參數(shù)問題的分類討論是常見題型。 6.注意簡化或避免分類討論。二、例題分析(一)對變量或參數(shù)的分類討論.已知集合,若,則的值是.若不等式對于恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.解關(guān)于的不等式分析:這是一個含參數(shù)a的不等式,一定是二次不等式嗎?不一定,故首先對二次項(xiàng)系數(shù)a分類:(1)a0(2)a=0,對于(2),不等式易解;對于(1),又需再次分類:a>0或a<0,因?yàn)檫@兩種情形下,不等式解集形式是不同的;不等式的解是在兩根之外,還是在兩根之間。而確定這一點(diǎn)之后,又會遇到1與誰大誰小的問題,因而又需作一次分類討論。故而解題時,需要作三級分類。

3、 解: 綜上所述,得原不等式的解集為;。.已知,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值5.設(shè),二次函數(shù),若的解集為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(二)對題設(shè)給出條件的分類討論1.一條直線過點(diǎn)(5,2),且在x軸,y軸上截距相等,則這直線方程為 . 已知,若關(guān)于的方程有實(shí)根,則的取值范圍是 . 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,求數(shù)列的前項(xiàng)和(三)解題過程中的分類討論.已知圓x2+y2=4,求經(jīng)過點(diǎn)P(2,4),且與圓相切的直線方程。.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.已知是實(shí)數(shù),函數(shù)()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()設(shè)為在區(qū)間上的最小值;寫出的表達(dá)式;求的取值范圍,使得(四)簡化和避免分類討論的方法直接回避反證法,求補(bǔ)法,消參法;

4、變更主元分離參數(shù)后變參置換或換元;合理運(yùn)算用函數(shù)的奇偶性,變量的對稱變換及公式的合理選用;數(shù)形結(jié)合用圖象的直觀性和對稱特點(diǎn);. 分析: 因此,只要根據(jù)已知條件,求出cosA,sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時,是一解還是兩解?這一點(diǎn)需經(jīng)過討論才能確定,故解本題時要分類討論。對角A進(jìn)行分類。解: 這與三角形的內(nèi)角和為180°相矛盾。 三、總結(jié)提煉分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,是一種數(shù)學(xué)解題策略,對于何時需要分類討論,則要視具體問題而定,并無死的規(guī)定。但可以在解題時不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。如果對于某個研究對象,若不對其分類就不能說清楚,則應(yīng)分類討論,另外,數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論

5、,公式、方法對于一般情形是正確的,但對某些特殊情形或說較為隱蔽的“個別”情況未必成立。這也是造成分類討論的原因,因此在解題時,應(yīng)注意挖掘這些個別情形進(jìn)行分類討論。常見的“個別”情形略舉以下幾例:(1)“方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為時忽略了了個別情形:當(dāng)a=0時,方程有解不能轉(zhuǎn)化為0;(2)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式中有個別情形:時,公式不再成立,而是Sn=na1。 設(shè)直線方程時,一般可設(shè)直線的斜率為k,但有個別情形:當(dāng)直線與x軸垂直時,直線無斜率,應(yīng)另行考慮。(4)若直線在兩軸上的截距相等,常常設(shè)直線方程為,但有個別情形:a=0時,再不能如此設(shè),應(yīng)另行考慮。四、強(qiáng)化練習(xí): 1. 若的大小關(guān)系為 . 2. 若

6、,且,則實(shí)數(shù)中的取值范圍是 . 3. 設(shè)A= 4. 設(shè)的值為 0或7 5. 一條直線過點(diǎn)(5,2),且在x軸,y軸上截距相等,則這直線方程為 . 6. 若 . 1 7. 已知圓錐的母線為l,軸截面頂角為,則過此圓錐的頂點(diǎn)的截面面積的最大值為 . 當(dāng)時,最大截面就是軸截面,其面積為; 當(dāng)時,最大截面是兩母線夾角為的截面,其面積為 可見,最大截面積為, 8. 函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個在原點(diǎn)的右側(cè),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 . 9. 若圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4和2的矩形,則圓柱的體積是_。 10. 若,則a的取值范圍為_。 11. 與圓相切,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為_。 (提示:分截

7、距相等均不為0與截距相等均為0兩種情形) 1. 不等式的解集為_。若,則解集為 若,則解集為 (提示:設(shè) 解之得 對a分類:時, ) 13. 已知橢圓的中心在原點(diǎn),集點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,焦距為,另一雙曲線與此橢圓有公共焦點(diǎn),且其實(shí)軸比橢圓的長軸小8,兩曲線的離心率之比為3:7,求此橢圓、雙曲線的方程。解:(1)若橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)它們方程分別為 ,依題意 (2)若焦點(diǎn)在y軸上,則可設(shè)橢圓方程為 雙曲線方程為,依題意有 14. 設(shè)a>0且,試求使方程有解的k的取值范圍。 解:原方程可化為 令 則對原方程的解的研究,可轉(zhuǎn)化為對函數(shù)圖象的交點(diǎn)的研究 下圖畫出了的圖象,由圖象可看出 (1)

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