數(shù)學(xué)美五分類討論思想在解題中的應(yīng)用 (2)

1、數(shù)學(xué)欣賞五分類討論思想在解題中的應(yīng)用一、知識整合 1.分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置。 2.所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略。 3.分類原則：分類對象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級討論。 4.分類方法：明確討論對象，確定對象的全體，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類；逐類進(jìn)行

2、討論，獲取階段性成果；歸納小結(jié)，綜合出結(jié)論。 5.含參數(shù)問題的分類討論是常見題型。 6.注意簡化或避免分類討論。二、例題分析（一）對變量或參數(shù)的分類討論.已知集合，若，則的值是.若不等式對于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.解關(guān)于的不等式分析：這是一個含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對二次項(xiàng)系數(shù)a分類：（1）a0（2）a=0，對于（2），不等式易解；對于（1），又需再次分類：a>0或a<0，因?yàn)檫@兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點(diǎn)之后，又會遇到1與誰大誰小的問題，因而又需作一次分類討論。故而解題時，需要作三級分類。

3、 解： 綜上所述，得原不等式的解集為；。.已知，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值5.設(shè),二次函數(shù),若的解集為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.（二）對題設(shè)給出條件的分類討論1.一條直線過點(diǎn)（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為 . 已知，若關(guān)于的方程有實(shí)根，則的取值范圍是 . 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求數(shù)列的前項(xiàng)和（三）解題過程中的分類討論.已知圓x2+y2=4，求經(jīng)過點(diǎn)P（2，4），且與圓相切的直線方程。.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)為在區(qū)間上的最小值；寫出的表達(dá)式；求的取值范圍，使得（四）簡化和避免分類討論的方法直接回避反證法，求補(bǔ)法，消參法；

4、變更主元分離參數(shù)后變參置換或換元；合理運(yùn)算用函數(shù)的奇偶性，變量的對稱變換及公式的合理選用；數(shù)形結(jié)合用圖象的直觀性和對稱特點(diǎn)；. 分析： 因此，只要根據(jù)已知條件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時，是一解還是兩解？這一點(diǎn)需經(jīng)過討論才能確定，故解本題時要分類討論。對角A進(jìn)行分類。解： 這與三角形的內(nèi)角和為180°相矛盾。 三、總結(jié)提煉分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是一種數(shù)學(xué)解題策略，對于何時需要分類討論，則要視具體問題而定，并無死的規(guī)定。但可以在解題時不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。如果對于某個研究對象，若不對其分類就不能說清楚，則應(yīng)分類討論，另外，數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論

5、，公式、方法對于一般情形是正確的，但對某些特殊情形或說較為隱蔽的“個別”情況未必成立。這也是造成分類討論的原因，因此在解題時，應(yīng)注意挖掘這些個別情形進(jìn)行分類討論。常見的“個別”情形略舉以下幾例：（1）“方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為時忽略了了個別情形：當(dāng)a=0時，方程有解不能轉(zhuǎn)化為0；（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式中有個別情形：時，公式不再成立，而是Sn=na1。 設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線的斜率為k，但有個別情形：當(dāng)直線與x軸垂直時，直線無斜率，應(yīng)另行考慮。(4)若直線在兩軸上的截距相等，常常設(shè)直線方程為，但有個別情形：a=0時，再不能如此設(shè)，應(yīng)另行考慮。四、強(qiáng)化練習(xí)： 1. 若的大小關(guān)系為 . 2. 若

6、，且，則實(shí)數(shù)中的取值范圍是 . 3. 設(shè)A= 4. 設(shè)的值為 0或7 5. 一條直線過點(diǎn)（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為 . 6. 若 . 1 7. 已知圓錐的母線為l，軸截面頂角為，則過此圓錐的頂點(diǎn)的截面面積的最大值為 . 當(dāng)時，最大截面就是軸截面，其面積為； 當(dāng)時，最大截面是兩母線夾角為的截面，其面積為 可見，最大截面積為， 8. 函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個在原點(diǎn)的右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 . 9. 若圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4和2的矩形，則圓柱的體積是_。 10. 若，則a的取值范圍為_。 11. 與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為_。 （提示：分截

7、距相等均不為0與截距相等均為0兩種情形） 1. 不等式的解集為_。若，則解集為 若，則解集為 （提示：設(shè) 解之得 對a分類：時， ） 13. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，集點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為，另一雙曲線與此橢圓有公共焦點(diǎn)，且其實(shí)軸比橢圓的長軸小8，兩曲線的離心率之比為3：7，求此橢圓、雙曲線的方程。解：（1）若橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)它們方程分別為 ，依題意 （2）若焦點(diǎn)在y軸上，則可設(shè)橢圓方程為 雙曲線方程為，依題意有 14. 設(shè)a>0且，試求使方程有解的k的取值范圍。 解：原方程可化為 令 則對原方程的解的研究，可轉(zhuǎn)化為對函數(shù)圖象的交點(diǎn)的研究 下圖畫出了的圖象，由圖象可看出 （1）