線性變換習(xí)題解答

1、第七章 線性變換習(xí)題解答P320 1. 不是 當(dāng)時，不是線性變性當(dāng)時，所以是線性變換1A.1（不是）含，則不是線性變換1A 取 是一個線性變換1.（是），令，則因此是一個線性變換P321 1.解 因此這里的投射是一個線性變換.1.（不是）因為則但C中任意復(fù)數(shù)，一般，故不是線性變換P321 .1.，則由矩陣運算性質(zhì) 故是一個線性變換.P321 .2.解為空間的一點M那么，因此：P321 ，3解：，故（第3習(xí)題里給出了這樣的是存在的）證：當(dāng)k=1時（已知）設(shè)也成立故對一切自然數(shù)例進(jìn)一步 P321.5 可逆換是1-1對應(yīng)證：設(shè)A的逆變換A-1，則矛盾,故象不同A-1是單射（1-1的）此外若有是滿射（

2、映上的）是1-1對應(yīng)P321 6若A可逆，可對于故線性無關(guān)若A，則A是一個基與基之間的過渡矩陣，A可逆，由定理2，一個可逆變換。在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣 7、（1） （ii）(iii)7 7 7 那么 = 7 7 （同上）P322.8 P322 9在下的矩陣為在下的矩陣為在下的矩陣為P322.10反沒有不全為0，使而是 第一個非0數(shù)，故 兩也用作用則只留下，但，（與的選擇矛盾！）故線性無關(guān)。P322 11 （由10題），線性無關(guān)，做成空間的一個基且 =而為所求證。 13 設(shè)對任意可逆矩陣T 那么由已知在任意基下矩陣相同，故即 與任何可逆矩陣可換 特別的令（矩陣單位）因此A與任何矩陣可換，所以14、所求

3、矩陳為：14若，則，基礎(chǔ)解為14令，則14 令可 15 若則會有 15 15 結(jié)果仍為P324 16 當(dāng)n=1時顯然已成立設(shè)n=k時命題成立， 當(dāng)n=k+1時若 那么 對于 則其中證畢P324 17 存在 此時若A不可逆，則只有，沒有ABBA對于（參見P207 30或P.3）至于簡單可取則AB=0，BA= P324.18,設(shè) P324 19 求的特征值，特征向量：對于一切特征向量為對于當(dāng)，數(shù)乘變換，特征值為0，特征向量是一切非0向量P324 19 。，由于秩重數(shù)有3個特征數(shù).但故對于一切特征向量為不全為0。對于。屬于的一切特征向量為P324 19 對于一切屬于2的特征向量為 對于一切屬于的特征

4、自量為對于一切屬于的特征向量為P324 19 特征值為對于對于一切特征向量為P324 19 , （反對稱）解 對于 對于一切特征向量為對于一切特征向量為， P325 19 特征值為 P325 20 由定理8推論1 . 取其，即使的矩陣對角化，取則P325 20 即可取則P325 20 故可以對角化，取基 即可令,則P325 20 即可.則P325 20 可以對角化，取基即可 令 則P325 20 有3個（個）特征根，可以對角化，取基即可，令P325 20 （見7，106，11.4）只有個特征值，且之和為小于空間維數(shù)故在任何基下的矩陣不是對角形，即不與對角矩陣相似.設(shè)可解出令則可逆，同樣也有P3

5、25.21證：取的基 =，則在某組下的矩陣為反設(shè)，有T可逆，使則矛盾?。ǎ㏄325.22 ，取則P325.23 P325 23 得得得對應(yīng)到對應(yīng)于對應(yīng)于P325 23 取，則P325 24 若 則 P325 24 既然中所有向量為特征向量，若存在所有非零向量，必有同一個數(shù)使，所以對一切P326 25 ，則而因此25 在C中至少有一個特征根令是的屬于的特征子空間，則又因為（由上小題）考慮，則，而在C中至少有一個特征值入。必有一個向量，使，P326 26 26設(shè)26，只有一個特值，解得的屬于的一切特征向量為設(shè)W為子空間，則在W中必有一個特征向量26 若，而，于是不是直和。P326 27 A=或又P

6、326.27 ，或，而補(bǔ)1. 證：補(bǔ)1證 補(bǔ)2，證：由Th2(i) (ii) 可以，所以補(bǔ) 3 因此：個線性變換 線性相關(guān)，即存在故作則有 補(bǔ)3 因為 補(bǔ)3 即為所求“” 補(bǔ)4 可逆 因為有 于是0的原像不唯一，不是單射，矛盾！補(bǔ)4設(shè)的特征值，則有 P327 補(bǔ)5“”，必有某個“”若某個，則另證：設(shè)在基下的矩陣為A，則有非0解是一個特征值 P327 補(bǔ)6 有n個不同的特征根，由定理8,推論1，則與對角矩陣相似補(bǔ)6 只有一個n重根根據(jù)推論4，（7，107，12.3）應(yīng)：對角但不能與對角矩陣相似.P327.補(bǔ)7則，不可逆，且為上三角矩陣，證：（歸納片）當(dāng)時，已經(jīng)成立，設(shè)階時命運成立?？紤]級情形。，則存在一復(fù)根，設(shè)為A的屬于的特征向虛，擴(kuò)充為的一個基的令可逆A1是級矩陣，由歸納假設(shè)，存在T2使為上令則=仍為上由假納假設(shè)，證畢P327 補(bǔ)8 兩兩不同，則，使兩兩不同，（看見這題，想起什么，chap6補(bǔ)5）證：作則諸是中個非零線性變換令因為，所以，是的有降個個非平凡子空間，由chap補(bǔ)5，（見6、92、12.4），存在，且即即兩兩不同P327補(bǔ)9 設(shè)證證：取的基擴(kuò)充為為W的基，所以同理且線段無關(guān)（證法與定理不同）所以（證畢）注，秩并不說明，例如P327補(bǔ)10：。證：秩證由上