例析設(shè)而不求在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用

1、例析“設(shè)而不求”在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用 江蘇省淮安市車橋中學(xué) 黃翠芬“設(shè)而不求”是高中數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法，它與函數(shù)、數(shù)列、不等式、方程等相關(guān)問(wèn)題的緊密聯(lián)系所謂“設(shè)而不求”，顧名思義就是指在解題過(guò)程中根據(jù)需要設(shè)出變量，但是并不具體的去直接解出變量的值，而是利用某種關(guān)系去表示變量間的聯(lián)系。如果能靈活進(jìn)行運(yùn)用對(duì)于提高解題速度會(huì)起著很好的效果，但是學(xué)生往往對(duì)于這個(gè)方法很刺手，本文通過(guò)幾個(gè)例題進(jìn)行闡述，希望能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)塊知識(shí)的理解。題型一、求函數(shù)的解析式例：已知，若為奇函數(shù)，當(dāng),求函數(shù)的解析式。分析：當(dāng)時(shí)，即，滿足條件給的解析式，再利用奇函數(shù)性質(zhì)可求。拓展：定義在上的函數(shù)滿足，求函數(shù)的解析式。 提示：將

2、中的用替換，則得到。然后用×2即可得所求的解析式。 題型二、數(shù)列 例：已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，求。 分析：等差數(shù)列依次等距離和仍構(gòu)成等差數(shù)列，即仍構(gòu)成等差數(shù)列。很易求出，所以。 題型三、不等式 例：求證：。 分析：本題可以看成點(diǎn)、兩個(gè)線段、長(zhǎng)度之和大于等于線段的長(zhǎng)度，只有當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)才取等號(hào)。 拓展：已知圓，相互垂直的兩條直線、都過(guò)點(diǎn)，求、被圓所截得弦長(zhǎng)之和的最大值。 提示：過(guò)圓心作兩直線垂線垂足分別為、，再根據(jù)圓的弦心定理可得：取最大值，由題意可得四邊形為矩形，且，再利用不等式可求最大值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”。題型四、求直線方程例：已知兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到點(diǎn)距離相等，求點(diǎn)的軌跡方程。提

3、示：由題意知的軌跡是線段的垂直平分線，設(shè)，線段的中點(diǎn)，則，即。因，所以可得。變形1：已知兩點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)且已知兩點(diǎn)到直線距離相等，求直線方程。提示：本題有兩種可能：平行或過(guò)線段的中點(diǎn)，在所求直線上設(shè)任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）坐標(biāo)為，仿照上面例子用向量共線可解決。變形2：已知直線，求直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程。分析：設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)，則它關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為應(yīng)落在已知直線上，故點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線的方程，即，再將、換成、即可。題型五、求圓錐曲線方程例：已知橢圓，求以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程。提示：設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為，則，又、兩點(diǎn)均在橢圓上，故有，。兩式相減得=4，故，得所求方程為。變形1：（蘇教版P66、10）

4、已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)能否作一條直線交雙曲線于，使為線段的中點(diǎn)？提示：設(shè)存在直線滿足題意且、，則。兩式相減可得（）。由為線段的中點(diǎn)可得，。由雙曲線的對(duì)稱性可知，直線不可能垂直軸。這樣（）化簡(jiǎn)可得。故直線方程可求出，即存在滿足題意的直線。拓展1：（蘇教版P66、16）若橢圓與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，直線（為原點(diǎn)）的斜率為，又，求的值。提示：因，在已知直線上，故設(shè)，因點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以得，由直線（為原點(diǎn)）的斜率為可得（1），因，在橢圓上，則，兩式相減可得：（2）。聯(lián)立（1）、（2）可得（3），由橢圓與直線交于點(diǎn)，可知為方程的兩個(gè)根，則利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：（4），再利用，可得，即，將（4）代入化解可得（5），聯(lián)立（3）、（5）可解得的值。拓展2：、是拋物線上的兩點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值且