二重積分0811

1、 二重積分 0811 甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一二重積分的概念與性質(zhì) 1定義 設(shè)是定義在有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，如果對(duì)任意分割為個(gè)小區(qū)域?qū)π^(qū)域上任意取一點(diǎn)都有 存在，（其中又表示為小區(qū)域的面積，為小區(qū)域的直徑，而） 則稱這個(gè)極限值為在區(qū)域上的二重積分 記以，這時(shí)就稱在上可積。 如果在上是有限片上的連續(xù)函數(shù)，則在上是可積的。 2幾何意義 當(dāng)為閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，且，則二重積分表示以曲面為頂，側(cè)面以的邊界曲線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的曲頂柱體的體積。 當(dāng)封閉曲面它在平面上的投影區(qū)域?yàn)?，上半曲面方程為，下半曲面方程為，則封閉曲面圍成空間區(qū)域的體積為 3基本性質(zhì) （1）（為常數(shù)） （2） （3） 其中，除公共邊界

2、外，與不重疊。 （4）若，則 （5）若，則 其中為區(qū)域的面積。 （6） （7）積分中值定理 設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，為的面積，則存在，使得 我們也把稱為在上的積分平均值。 4對(duì)稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì) 定理1設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中為在軸的上半平面部分。 定理2設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中為在軸的右半平面部分。 定理3設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 其中為的上半平面或右半平面。 定理4設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于直線對(duì)稱，則 若，分別為在的上方與下方部分，則 二在直角坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序問(wèn)題 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連

3、續(xù)，在上連續(xù)。 則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)。 則 關(guān)于二重積分的計(jì)算主要根據(jù)模型或模型把二重積分化為累次積分從而進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于比較復(fù)雜的區(qū)域，如果既不符合模型中關(guān)于的要求，又不符合模型中關(guān)于的要求，那么就需要把分解成一些小區(qū)域，使得每一個(gè)小區(qū)域能夠符合模型或模型中關(guān)于區(qū)域的要求，利用二重積分性質(zhì)，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每個(gè)小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進(jìn)行計(jì)算。 在直角坐標(biāo)系中，兩種不同順序的累次積分的互相轉(zhuǎn)化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過(guò)來(lái)化為二重積分，求出它的積分區(qū)域，然后根據(jù)再把二重積分化為另外一種順序的累次積

4、分。 三在極坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分 在極坐標(biāo)系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對(duì)進(jìn)行積分，然后再對(duì)進(jìn)行積分，由于區(qū)域的不同類型，也有幾種常用的模型。 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 四二重積分在幾何上的應(yīng)用 1空間物體的體積 其中為閉曲面在平面上投影區(qū)域?yàn)樯习肭?，為下半曲面?2空間曲面的面積 其中為曲面在平面上投影，曲面的方程 乙 典型例題 一直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算 例1計(jì)算，其中是由曲線，所圍區(qū)域。 解： 例2計(jì)算其中是以，和為邊的平行四邊形區(qū)域。 例3計(jì)算其中是由擺線，的第一拱和軸所圍區(qū)域。 例4計(jì)算 例5計(jì)算 例6計(jì)算，其中由，和軸所圍區(qū)域。 例7計(jì)算其中由和所圍區(qū)域。 二極坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算 例1計(jì)算其中由與軸圍成上半圓區(qū)域。 解：在極坐標(biāo)系里， 三交換積分順序 例1交換的積分順序 解：原式 其中由，和所圍的區(qū)域。 按另一積分順序把二重積分化累次積分 原式 例2交換的積分順序 例3交換的積分順序 例4交換的積分順序 例5交換的積分順序 四二重積分在幾何上的應(yīng)用 1求空間物體的體積 例1求兩個(gè)底半徑為的正交圓柱面所圍立體的體積