中值定理證明(第二講)

1、第二講 利用中值定理的證明以及不等式證明問題1利用羅爾定理證明根的存在問題例1設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一個(gè)，使證明：（分析）用羅爾定理證明根的問題，關(guān)鍵是構(gòu)造原函數(shù)，因此做題目往往從需要證明的結(jié)論中入手，通過移項(xiàng)使右邊等于零來尋找原函數(shù)。令，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由零點(diǎn)定理可知，存在一個(gè)，使，又；對(duì)在上用羅爾定理，存在一個(gè)，使得，即注：構(gòu)造函數(shù)方法1（原函數(shù)法）：（1）將欲證結(jié)論中的換成；（2）通過恒等變形將結(jié)論化成為易消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)形式（或稱為易積分形式）；（3）用觀察法或積分法求出原函數(shù)（即不含導(dǎo)數(shù)符號(hào)的式子），為了簡便積分，常數(shù)取作零；（4）移項(xiàng)使等式一邊為零，則

2、令另一邊即為所求輔助函數(shù)例2設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，且滿足關(guān)系式，證明：在開區(qū)間 內(nèi)至少存在一個(gè)，使得分析：令，原等式化為：，即=，兩邊積分得 ，即，亦即，取，于是 令證明：設(shè)函數(shù)，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由條件應(yīng)用積分中植定理，有 于是，可知，滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在使得，即 注意：實(shí)際上找輔助函數(shù)可從結(jié)論中入手推出：，顯然有例3設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在一個(gè)，使分析： 令，則結(jié)論=，則，兩邊積分，得，即 ， 亦即（取），于是令例4設(shè)，在上二階可導(dǎo)，且，試證：（1）在開區(qū)間內(nèi)，；（2）在開區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)，使分析（2）令，則欲證結(jié)論，則有 ，兩邊從積分得 （分部積分），于是令例

3、5設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明在內(nèi)至少存在一個(gè)，使分析：從結(jié)論可看出，所以令注意：構(gòu)造輔助函數(shù)方法2（常數(shù)k值法）（1）令常數(shù)部分為k；（2）恒等變形，使等式一端為及構(gòu)成代數(shù)式，另一端為b及構(gòu)成代數(shù)式；（3）分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對(duì)稱式或輪換對(duì)稱式，若是，只要把端點(diǎn)改為，相應(yīng)的函數(shù)值改為，則換變量后的端點(diǎn)表達(dá)式就是所求輔助函數(shù)如例5令（對(duì)稱性） 對(duì)稱式：與b互換等式不變；輪換對(duì)稱式： 等式不變令，例6. 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證，存在一個(gè)使 分析： 結(jié)論 ，令（對(duì)稱式），所以 ，或者： 由結(jié)論：，令， 應(yīng)用柯西中值定理例7設(shè)函數(shù)在 上可導(dǎo)，且， 試證：在內(nèi)至少存在一個(gè)，使得例8若在上可

4、導(dǎo)，且，則使.分析：令，令令.令，,，令令.2證明至少存在一點(diǎn)，且滿足某種關(guān)系式的問題思路： 使用兩次拉格朗日中值定理或者柯西中值定理，或者使用一次拉格朗日中值定理，一次柯西中值定理，然后再將他們做某種運(yùn)算例8設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證，存在一個(gè) ，使得： 證明：分析：用一次拉格朗日中值定理得，存在故只需證明即，柯西中值定理設(shè)，則，顯然函數(shù)在上滿足柯西中值定理?xiàng)l件，于是存在，使得 ，即，又因?yàn)樵谏蠞M足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，所以存在，使得，于是，由上述兩式可得：，其中例9(10,10分)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得.【 分析 】 這是一個(gè)雙介值的證明題，構(gòu)造輔助

5、函數(shù)，用兩次拉格朗日中值定理.【 證明 】 令，由題知，在上用拉格朗日中值定理，在上利用拉格朗日中值定理，兩式相加得 .【 評(píng)注 】 一般來說，對(duì)雙介值問題，若兩個(gè)介值有關(guān)聯(lián)同時(shí)用兩次中值定理，若兩個(gè)戒指無關(guān)聯(lián)時(shí)用一次中值定理后，再用一次中值定理.例10設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證明：對(duì)于任意給定正數(shù)，在內(nèi)存在不同的 使得證明： 因?yàn)?，所?，又在上連續(xù)，由介值定理，存在，使得再對(duì)函數(shù)在上分別用拉格朗日中值定理，有，而 ，于是由上兩式得：則， 上面兩式相加，得： ，即 （練習(xí)：1.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使2. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，.試證：必存在，使.

6、）3設(shè)在上存在，試證：，使得.（提示：輪換對(duì)稱性）4.若，證明：存在一個(gè)，使. （提示：對(duì)稱性）3證明不等式例11設(shè)，證明：.證明：用單調(diào)性質(zhì)來證明，先移項(xiàng)或轉(zhuǎn)化使一邊為零，然后再構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)求一階導(dǎo)數(shù)，若不能判定正負(fù)，則繼續(xù)求導(dǎo)數(shù).若，則內(nèi)單調(diào)遞增.要證，只需證明令，很難判斷其正負(fù)，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，而.（練習(xí)：1.(98,8分) 設(shè)，證明：（1）；（2）.【 分析 】 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.【 詳解 】 （1）令，則有，且，.，.所以，從而，即（2）令，則有. 由（1）知，（當(dāng)），于是推知在內(nèi)，單調(diào)減少.又在區(qū)間上連續(xù)，且，故當(dāng)時(shí)， 不等式左邊證畢.又，故當(dāng)時(shí)， ，不等

7、式右邊證畢.【 評(píng)注 】 利用單調(diào)性證明不等式是最常見的方法之一，一般結(jié)論為，在內(nèi)單調(diào)增加.）例12設(shè)，求證：.證明:利用微分中值定理證明，只需要證明，顯然成立：.（ 練習(xí)：1. (02,8分) 設(shè)，證明不等式【 分析 】 將原不等式變形，作輔助函數(shù)，再用函數(shù)不等式的證明方法證明變形的不等式.【 詳解 】 先征右邊不等式，即設(shè)，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，單調(diào)減少，又，所以，當(dāng)時(shí)，即，從而當(dāng)時(shí)，有，即再證左邊不等式，即.方法一 設(shè)函數(shù)，由拉格朗日中值定理知至少存在一點(diǎn)，使，由于，故，從而.方法二 設(shè)，因?yàn)?，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，又，所以當(dāng)時(shí)，即.從而當(dāng)時(shí)，有，即.2. (04,12分) 設(shè)，證明.【 分析 】

8、 根據(jù)要證不等式的形式，可考慮用拉格朗日中值定理或轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式用單調(diào)性證明.【 詳解1 】 對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得， .設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)減少，從而，即，故.【 詳解2 】 設(shè)，則， ，所以 當(dāng)時(shí)，故單調(diào)減少，從而當(dāng)時(shí)，即 當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加. 因此當(dāng)時(shí)，即 ，故.【 評(píng)注 】 本題也可設(shè)輔助函數(shù)為，或，再用單調(diào)性進(jìn)行證明.）例13當(dāng)時(shí)，（為大于1的正整數(shù)）分析：求最值法，令，求解在上最值。例14求證：若滿足的正數(shù)，則分析：用條件極值法求解最值，構(gòu)造拉格朗日輔助函數(shù)：，若極值唯一，則為最值。例15證明不等式：.分析：利用凹凸性的定義： 凹的（凸的）特點(diǎn)是自變量平均的函數(shù)值大于或

9、小于函數(shù)值的平均值。令，函數(shù)在定義域內(nèi)是凹的，故，即。例16設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：。分析：判別式法只需要證明：例17設(shè)函數(shù)在內(nèi)可積，且，證明：。分析：三角函數(shù)法，令，5根的存在問題若只知在或上連續(xù)，而沒有說明是否可導(dǎo)，則一般用零點(diǎn)定理；若告訴函數(shù)可導(dǎo)，一般用羅爾定理；告訴函數(shù)高階可導(dǎo)，則一般用泰勒公式。例18證明方程在內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根。分析：顯然有零點(diǎn)定理來證明，要證明僅有兩個(gè)不同實(shí)根，還需要討論區(qū)間的單調(diào)性。（ 練習(xí)：1.(97,8分) 就的不同取值情況，確定方程在開區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.【 分析 】 令，討論方程在開區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)，實(shí)質(zhì)上只需研究函數(shù)在上圖形的特點(diǎn)，在開區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)即為直線與曲線在區(qū)間內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù).【 詳解 】 設(shè)，則在上連續(xù).由，得在內(nèi)唯一的駐點(diǎn).由于當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加.因此是在內(nèi)的唯一最小值點(diǎn)，最小值為.又因，故在內(nèi)的取值范圍.故當(dāng)，即或時(shí)，原方程在內(nèi)沒有根；當(dāng)時(shí)，原方程在內(nèi)有唯一根；當(dāng)時(shí)，原方程在和內(nèi)各恰有一根，即原方程在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的根.2. (03,12分) 討論曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【 分析 】 問題等價(jià)于討論方程有幾個(gè)不同的實(shí)根.本題相當(dāng)于一函數(shù)作圖題，通過