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1、基本不等式知識(shí)點(diǎn)梳理及解題技巧培訓(xùn)知識(shí)點(diǎn):1. (1)若,則(2)若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)2. (1)若,則(2)若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”) (3)若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)3.若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)4.若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”);若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)5.若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)6.設(shè)a,b是兩個(gè)正實(shí)數(shù),用min(a,b)表示a,b中的較小的數(shù),用max(a,b)表示a,b中的較大的數(shù),則有min(a,b) max(a,b)當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),取到等號(hào)注意:(1) 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí),可以求它們的和
2、的最小值, 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí),可以求它們的積的最小值,正所謂“積定和最小,和定積最大”(2)求最值的條件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一:求最值例:求下列函數(shù)的值域(1)y3x 2 (2)yx解:(1)y3x 22 值域?yàn)椋?)(2)當(dāng)x0時(shí),yx22;當(dāng)x0時(shí), yx= ( x)2=2 值域?yàn)椋ǎ?2,+)解題技巧技巧一:湊項(xiàng)例 已知,求函數(shù)的最大值。 解:因,所以首先要“調(diào)整”符號(hào),又不是常數(shù),所以對(duì)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng),當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),上式等號(hào)成立,故當(dāng)時(shí),。技巧二:湊系數(shù)例: 當(dāng)時(shí),求的最大值。解析
3、:由知,利用均值不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題為兩個(gè)式子積的形式,但其和不是定值。注意到為定值,故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng),即x2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x2時(shí),的最大值為8。變式:設(shè),求函數(shù)的最大值。解:當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。技巧三: 分離換元例:求的值域。解析一:本題看似無法運(yùn)用均值不等式,不妨將分子配方湊出含有(x1)的項(xiàng),再將其分離。當(dāng),即時(shí),(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”號(hào))。解析二:本題看似無法運(yùn)用均值不等式,可先換元,令t=x1,化簡原式在分離求最值。當(dāng),即t=時(shí),(當(dāng)t=2即x1時(shí)取“”號(hào))。技巧四:取平方例: 求函數(shù)的最大值。解析:注意到與的和為定值。又,所以當(dāng)且僅當(dāng)=,即時(shí)取等號(hào)
4、。 故。技巧五:在應(yīng)用最值定理求最值時(shí),若遇等號(hào)取不到的情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例:求函數(shù)的值域。解:令,則因,但解得不在區(qū)間,故等號(hào)不成立,考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增,所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù),故。所以,所求函數(shù)的值域?yàn)椤<记闪赫w代換(“1”的應(yīng)用)多次連用最值定理求最值時(shí),要注意取等號(hào)的條件的一致性,否則就會(huì)出錯(cuò)。例:已知,且,求的最小值。錯(cuò)解:,且, 故 。錯(cuò)因:解法中兩次連用均值不等式,在等號(hào)成立條件是,在等號(hào)成立條件是即,取等號(hào)的條件的不一致,產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此,在利用均值不等式處理問題時(shí),列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟,而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上式等號(hào)成立,又,可得時(shí), 。技巧七例:已知x,y為正實(shí)數(shù),且x 21,求x的最大值.分析:因條件和結(jié)論分別是二次和一次,故采用公式ab。同時(shí)還應(yīng)化簡中y2前面的系數(shù)為 , xx x下面將x,分別看成兩個(gè)因式:x 即xx 應(yīng)用二:利用均值不等式證明不等式例:已知a、b、c,且。求證:分析:不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘,又,可由此變形入手。解:a、b、c,。同理,。上述三個(gè)不等式兩邊均為正,分別相乘,得。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。應(yīng)用三:均值不等式與恒
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