二導(dǎo)數(shù)與微分

1、二導(dǎo)數(shù)與微分1下列各題中均假定存在，按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限，指出A表示什么.(1) 解：故(2) 解：故(3) 解：故2討論函數(shù)在點處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.解：,故函數(shù)在處連續(xù).又,故函數(shù)在處不可導(dǎo).3 如果為偶函數(shù)，且存在，證明：證明：故4求下列函數(shù)在處的左、右導(dǎo)數(shù)，從而證明函數(shù)在處不可導(dǎo).(1) 證明：因，故函數(shù)在處不可導(dǎo).(2) 證明：因，故函數(shù)在處不可導(dǎo).(3) 證明：因，故函數(shù)在處不可導(dǎo).5已知求.解：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，故綜上所述知6設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)在點處連續(xù)且可導(dǎo)，應(yīng)取什么值？解：因要使在處連續(xù)，則有又要使在處可導(dǎo)，則必須，即故當(dāng)時，在處連續(xù)且可導(dǎo).7討論下列函數(shù)在指定點的連續(xù)性與可

2、導(dǎo)性:(1) 解：因為所以此函數(shù)在處連續(xù).又，故此函數(shù)在處不可導(dǎo).(2) 解：因為故函數(shù)在處連續(xù).又,故函數(shù)在處可導(dǎo).(3) 解：因為,故函數(shù)在x=1處連續(xù).又，故函數(shù)在x=1處不可導(dǎo).8 證明：雙曲線上任一點處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于.證明：在雙曲線上任取一點則，則過點的切線方程為：令得切線與x軸的交點為，令得切線與y軸的交點為，故9 已知在點可導(dǎo)，證明：. 證明：10設(shè)，且所有的函數(shù)都可導(dǎo)，證明：證明：11. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：;；（a為常數(shù)）； ；; ；; ；為常數(shù)）.解：;；;；.12. 試求曲線在點（0，1）及點（1，0）處的切線方程和法線方程.解： 故在點（0，1）

3、處的切線方程為：，即 法線方程為：，即在點（1，0）處的切線方程為：法線方程為：13. 設(shè)可導(dǎo)，求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)： 解：解：14. 求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：；解：兩邊求導(dǎo)，得：解得 . 兩邊求導(dǎo)，得：解得 . 兩邊求導(dǎo)，得：解得 .兩邊求導(dǎo)，得： 解得 .15.用對數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解：解：解：16. 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (a,b為常數(shù))解：解：17. 設(shè),其中a為常數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，討論在處的可導(dǎo)性.解：.故當(dāng)時，在處可導(dǎo)，且當(dāng)時，在處不可導(dǎo).18. 已知，求.解：當(dāng)時，,當(dāng)時，,故不存在.又故不存在.綜上所述知.19. 若，求.解：令，則,即.20. 若，求.解：21.

4、 求函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：故反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：.22. 已知的導(dǎo)數(shù)，且，求的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：時故,從而.23. 在括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立：；;；; ；; .解：.24求下列函數(shù)的微分：；.解：；25. 求由下列方程確定的隱函數(shù)的微分：； . 解：對等式兩端微分，得 即 于是對等式兩端微分，得得對等式兩端微分，得解得對等式兩端微分，得解得26. 求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：求；求；求.解：27. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：； . 解：兩邊對求導(dǎo)，得.兩邊對求導(dǎo)，得.兩邊對求導(dǎo)，得兩邊對求導(dǎo)，得28. 已知存在，求：；.解：29. 求由下列參數(shù)方程所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(為常數(shù))

5、；設(shè)存在且不為零.解：.30. 求下列函數(shù)在指定點的高階導(dǎo)數(shù)：求；求，；求，.解： 故.故，.故，31. 求函數(shù)在處的階泰勒公式.解： 32. 求函數(shù)的階麥克勞林公式.解： 33. 求函數(shù)的階麥克勞林展開式.解：34. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且試證：.證明：.35. 設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，試證：可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)連續(xù).證明：因具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故時，可導(dǎo),又故 是可導(dǎo)的，且導(dǎo)函數(shù)為又因故的導(dǎo)函數(shù)是連續(xù)的.36. 求曲線x=acos3t，y= asin3t在t=t0處的曲率.解： ，故 且當(dāng)t=t0時， .37. 曲線弧y=sin x (0<x<)上哪一點處的曲率半徑最?。壳蟪鲈擖c

6、的曲率半徑.解：.顯然R最小就是k最大， 令，得為唯一駐點.在內(nèi)，在內(nèi)，.所以為k的極大值點，從而也是最大值點，此時最小曲率半徑為.38. 設(shè)總收入和總成本分別由以下兩式給出：其中q為產(chǎn)量，0q1000，求：(1)邊際成本；(2)獲得最大利潤時的產(chǎn)量；(3)怎樣的生產(chǎn)量能使盈虧平衡？解：(1) 邊際成本為：(2) 利潤函數(shù)為令,得即為獲得最大利潤時的產(chǎn)量.(3) 盈虧平衡時： R(q)=C(q)即 3.9q0.003q2300=0q21300q+100000=0解得q=1218(舍去)，q=82.39. 設(shè)生產(chǎn)q件產(chǎn)品的總成本C(q)由下式給出：C(q)=0.01q30.6q2+13q.(1)

7、設(shè)每件產(chǎn)品的價格為7元，企業(yè)的最大利潤是多少？(2)當(dāng)固定生產(chǎn)水平為34件時，若每件價格每提高1元時少賣出2件，問是否應(yīng)該提高價格？如果是，價格應(yīng)該提高多少？解：(1) 利潤函數(shù)為令，得 即 得(舍去) 此時， (元)(2)設(shè)價格提高x元，此時利潤函數(shù)為令, 得故應(yīng)該提高價格，且應(yīng)提高5元.40. 求下列初等函數(shù)的邊際函數(shù)、彈性和增長率：(1) y=ax+b；(其中a，bR，a0)解：y=a即為邊際函數(shù).彈性為： ,增長率為： .(2) y=aebx；解：邊際函數(shù)為：y=abebx彈性為： ,增長率為： .(3) y=xa解：邊際函數(shù)為：y=axa1.彈性為： ,增長率為： 41. 設(shè)某種商品的需求彈性為0.8，則當(dāng)價格分別提高10%，20%時，需求量將如何變化？解：因彈性的經(jīng)濟意義為：當(dāng)自變量x變動1%，則其函數(shù)值將變動.故當(dāng)價格分別提高10%，20%時，需求量將分別提高0.8