線性代數(shù)模試題試題庫(kù)

1、、填空題（每小題4分，共24分）1、若aa23a35a5ja44是五階行列式中帶正號(hào)的一項(xiàng)，則2、3、4、5、6、令 i 1, j 2,(12354)(13524) 1 3 4,若將n階行列式D的每一個(gè)元素添上負(fù)號(hào)得到新行列式即行列式D的每一行都有一個(gè)（-1）的公因子，所以A2取正號(hào)。D ,則 D=( 1)nDD= ( 1)nD,則 A1001 100,A331 ,L可得設(shè)A為5階方陣,5,則 5A5n由矩陣的行列式運(yùn)算法則可知：5A 5n A由已知條件:而：A E設(shè)三階方陣A5nAATAATE且A 0,則A EAAT0.可逆，則行列式不等于零:二、單項(xiàng)選擇題7、設(shè)ana12a 21a 22a

2、 31 a 32A.AATA ATA2A EAT可逆,（每小題4分，共24分）a13a23a331,1,Al A E0。x, y應(yīng)滿足條件3x 2y 。M 0，則行列式B. 2MC.2 (3x 2y) 03x2y2MD. 8M2a112a122a132 3a11a12a13a11a12a132a312a322a33a31a32a338 ( 1)a21a22a232a212a222a23a21a22a23a31a32a338M由于Dn0的必要條件是D 。8、設(shè)n階行列式Dn,則A Dn中有兩行（或列）元素對(duì)應(yīng)成比例B . Dn中有行（或列）.主人4圣兒案至為令c. Dn中各列元素之和為零D .以

3、Dn為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解9、對(duì)任意同階方陣 AB，下列說(shuō)法正確的是C 。A. (AB)1 A 1B 1 B.B c. (AB)TBTATD. AB BA10、設(shè) A,B為同階可逆矩陣,0為數(shù)，則下列命題中不正確的是A. (A1)1 A B. ( A) 1A 1 C.(AB) 1 B 1A 1D.(AT) 1 (A1)T由運(yùn)算法則，就有（A） 11A1。11、設(shè)A為n階方陣，且A a0,則AA. a因?yàn)锳AA1AnA1An1。112、矩陣 31的秩為2,A. 2 B. 3C.4通過(guò)初等變換，由秩為2可得:、計(jì)算題（每小題7分，共42分）41113 11 15 21 4 2 59

4、1913、計(jì)算行列式:解:41111411114114、計(jì)算行列式:解:15、問(wèn)解:0=1114各列加到 第一列上a10b4先按第一行展開,a2b3b2a37777a2 b30141111411114!=>= 71111141111411114第一行乘-1 加到各行上1000130010301003=73。3 =189b2a30a4再按第三行展開,有:=aia2b3b2a3a4取何值時(shí)，齊次線性方程組(12x1b1a2t3b2a3(a1a4bb4)(a2ab2t3)。b4)X1(3X22x2)X2(14x3X3 )X300有非零解。齊次線性方程組有非零解，則系數(shù)行列式為零:=0r2 23

5、1 (1 )34 (1)21+20, 22, 316、設(shè)矩陣01，B，計(jì)算B2A2(B 1A)解：因?yàn)锳2, B7 ,所以都可逆，有B2 A2(B 1A) 1 B2 A2A1B B2 AB (B A)B0101117、解矩陣方程AX解:AX B(AE)X18、設(shè) A四、19、解:證明題20、(AE)2. 32. 31 31 31： 313(A,利用分塊矩陣計(jì)算A1。A2E) 1B,(AE)1B0A2 1（每小題共10分）設(shè)n階方陣A滿足A證明:因?yàn)閺亩艟仃嚲仃?。證明:0131302313A(13132 3130,證明矩陣A可逆,并寫出A逆矩陣的表達(dá)式。A33A23A EA(A23A 3E)

6、E ,A2 3A3E)A,則稱矩陣 A為反對(duì)稱矩陣，證明奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣一定不是滿秩設(shè)A為n階反對(duì)稱矩陣，n為奇數(shù)，則AATAT(1)n ATA 0,所以A不可逆，即A不是滿秩矩陣。1、2、第二套線性代數(shù)模擬試題解答、填空題（每小題4分，共24分）A為3階方陣，且A2. A是A的伴隨矩陣,則4A1A*-4 o3、4、5、因?yàn)椋篈 A A1 2A1A為5X3矩陣，秩（A）=3, B因?yàn)锽可逆，AB相當(dāng)于對(duì)1, 2,如果14A1 A114A1 2A112A18A14。1 0 2020 ，則秩（AB尸 3。A作列初等變換，不改變 A的秩。3均為4維列向量，A （4，則 A B =40。2,2 1,2

7、 2,22, 1, 2,n元非齊次線性方程組<n 時(shí)有無(wú)窮多解。3)3)AX1, 1 ,A B |(1 , 1, 2, 3B有解,非齊次線性方程組有解的定義。6、設(shè)四元方程組 AX B的3個(gè)解是2, 3)， B (2,2 1,2 2,22, 1, 2, 3t 4。R(A) r ,則當(dāng)2, 1, 2 , 3)，3)o8(1 4) 40n 時(shí)有唯一解;13。其中11 , 215R(A)11°1103 ,則方程組AX B的通解是 1k2321012101t 1220t 600因?yàn)镽(A)3 ,所以AX 0的基礎(chǔ)解系含4-3=1個(gè)解向量;都是AX0的解，相加也是AX0的解,從而可得AX

8、0的一個(gè)解為:于是AXB的通解為:二、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共24分)7、對(duì)行列式做 D種變換不改變行列式的值。A.互換兩行B.非零數(shù)乘某一行C.某行某列互換D.非零數(shù)乘某一行加到另外一行8、n階方陣A,B,C滿足ABCE ,其中E為單位矩陣,則必有A. ACB E B. CBA EC. BAC E D. BCA E矩陣乘法不滿足變換律，而D 中 ABC EA 1ABCA A 1EA BCA E。9、矩陣 302 的秩為2,貝U t= DA. 3 B. 4C.5通過(guò)初等變換,1由秩為 2可得：310、若方陣An n不可逆，則 A的列向量中C 。A.必有一個(gè)向量為零向量B.必有二個(gè)向量對(duì)應(yīng)分量

9、成比例C.必有一個(gè)向量是其余向量的線性組合D.任一列向量是其余列向量的線性組合方陣Ann不可逆，則 A的列向量線性相關(guān)，由定義可得。11、若r維向量組1, 2m線性相關(guān)，為任一 r維向量，則 A 。A. 1，2 m，線性相關(guān)B.1, 2 m,線性無(wú)關(guān)C. 1 , 2 m，線性相關(guān)性不定D. 1 , 2m中一'定有零向量由相關(guān)知識(shí)可知，個(gè)數(shù)少的向量組相關(guān)，則個(gè)數(shù)多的向量組一定相關(guān)。12、若矩陣A45有一個(gè)3階子式為0,則 CA.秩（A）W2 B. 秩（A）W3 C.秩（A）W4 D.秩（A）W5由矩陣秩的性質(zhì)可知：R A4 5min4, 5,而有一個(gè)3階子式為0,不排除4階子式不為0。三

10、、計(jì)算題（每小題7分，共42分）10013、計(jì)算行列式b101c101 da 11 b解：01001 ab1 abb10ada 010c 11 d1 ab a01c101 d1 ab a ad1 c 1 cd01011 cd（1 ab）（1 cd） ad abcd ab cd ad 114、設(shè) A 0AYBY。解：y A1CB15、已知三階方陣 AA2AB計(jì)算矩陣B o|A|1,A可逆,ABA2解：B16、求矩陣3解：2的秩,并找出一個(gè)最高階非零子式。R(A) 3,最高階非零子式是1, 2, 52x1X2X3X417、寫出方程組X12x2X3X4解:211133112722X1X22X3 X4

11、12的通解。31 11 1 212:011130 15131 021:01150 03341 0 0 32 11 21:010 32 06 3 60 0 11 2 1X1=-32X31X2 = 3, 2X3X3=- 1. 2X313. 23. 21.2(cR)1018、已知R3中的向量組3線性無(wú)關(guān)，向量組bik 2 ,b2ba1線性相關(guān),k值。解:1匕2 b23b3四、19、3線性無(wú)關(guān),因?yàn)閎，b2，b3相關(guān)，所以證明題（每小題5分，共10分）設(shè)A,1k1 k1k2,3有非零解,故系數(shù)行列式B為n階方陣，若 AB 0,則秩（A）秩（B）二0,0,同理，可證明k2 0，k3 0，k4 0。證明:

12、因?yàn)榫€性方程組Ax 0,當(dāng)秩A時(shí)，基礎(chǔ)解系為n r個(gè),AB A（b1，b2，bn） （Ab1，Ab2，Abn） 0則有Abj 0（j 1,2，n）,即B的列均為Ax 0的解，這些列的極大線性無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)W n r，即秩（B） n r ,從而秩（A）秩（B） n。20、如果1， 2， 3,4線性相關(guān)，但其中任意 3個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)，證明必存在一組全不一為零的數(shù)匕*2*3*4 ,使得k1 1k2 2k3 3k4 40。證明：因?yàn)?， 2， 3,4線性相關(guān)，所以存在一組“不全為零”的數(shù)k1，k2，k3，k4,2， 3， 4使彳導(dǎo)兄1 k2 2k33k4 4 0，如果K 0，則k2 2 k3 3

13、k4 4 0,且由于 k2，k3，k4不全為零，所以線性無(wú)關(guān)，與題設(shè)矛盾，所以k10;第三套線性代數(shù)模擬試題解答、填空題(每小題4分，共24分)1231、已知三階行列式D456,Aj表示它的元素aj的代數(shù)余子式，則與789aA2i bA22 CA23對(duì)應(yīng)的三階行列式為由行列式按行按列展開定理可得。 1,1 一2、AB 均為 n 階方陣，A B 3,則1 AB 1 =(1)n。22由于:AB 1 (2)n A|B 1(1)n A| B(1)n °3、 A3 0 01 4 0 ,則(A 2E) 1 =0 0 31001 2 1 2 0 <001111001 2 00 0 11001

14、21200014、向量組 1 (1,2,3), 21因?yàn)椋?3(1, 2,1), 3 (2,0,5)線性 無(wú) 關(guān)。1120410。0045、設(shè)6階方陣A的秩為5,是非齊次線T方程組 Ax b的兩個(gè)不相等的解，則Ax b的通解為X k,故有上通解。由于R(A) 5 ,所以Ax 0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)向量:16、已知x 1 為A23 的特征向量，則aAx x21211115a3112aa31b2111bb0O二、單項(xiàng)選擇題（每小題24分)a12a13a21a22a237、 Aa21a22a23,Bana12a13，PP2A.AP1P2a32a33a31a11a32a12a33a13B B . AP2

15、R BRP2A對(duì)A作行變換，先作P2,將第一行加到第三行上,再作P1,交換一二行。8、n元齊次線性方程組 AX 0有非零解的充分必要條件是A. R(A) n B . R(A) n C . R(A) n D.R(A) n齊次線性方程組AX0有非零解的定理。9、已知m n矩陣A的秩為n1， 1,2是齊次線性方程組AX 0的兩個(gè)不同的解，k為任意常數(shù)，則方程組AX0的通解為D 。A. k 1 B . k 2 C. k( 12) D . k(基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量，但必須不等于零，只有D可保證不等于零。10、矩陣A與B相似，則下列說(shuō)法不正確的是B 。A.秩(人)=秩(8) B. A=B C. AD.A

16、與B有相同的特征值相似不是相等。11、若n階方陣A的兩個(gè)不同的特征值1,2所對(duì)應(yīng)的特征向量分別是x1和x2,則B。A. x1和x2線性相關(guān)B.X1和x2線性無(wú)關(guān)C. x1和x2正交 D.X1和x2的內(nèi)積等于零特征值，特征向量的定理保證。12、n階方陣A具有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量是 A與對(duì)角矩陣相似的C 條件。A.充分條件B.必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要定理保證。三、計(jì)算題(每小題7分，共42分)2 0113、設(shè)A與B均為3階方陣，E為3階單位矩陣，AB E A2 B,且A 0 2 01 01求B。解：因?yàn)?AB+E=A+B (A E)B (A E)

17、(A E)2101021010111010 10, A E 1 , A E 可逆1003 01所以B A E 0 301 0214、k滿足什么條件時(shí)，方程組x1 x2 2x3kx1 2x2 kx3 k2有唯一解，無(wú)解，有無(wú)窮多解? 22x x? k x3 0解:1 1 21 2 k22 1 k2k1k2 00012 k 121 k 2 k2k 021 k2 4 2k 0121 k 20 (k 2)(k 3)kk2kk(k 3)當(dāng)k 2且k3時(shí)，方程組有惟一解。當(dāng)k2時(shí)方程組無(wú)解。當(dāng)k(k 3) 0時(shí)方程組r(A)r(B),當(dāng) k這時(shí)方程組只有零解。1當(dāng)k 3時(shí)，1236這時(shí)方程組有無(wú)0窮多解。

18、15、向量組 1(1,3,2，0)t，(7,0,14,3) T,(2,1,0,1)T,(5,1,6,2)T,5(2, 1,4,1)T , (1)計(jì)算該向量組的秩,(2)寫出一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。解：R( 1,2, 3,4,5)3,1,2,3為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,16、設(shè)矩陣A解：| A 3E|117、計(jì)算矩陣4解：|A E|的一個(gè)特征值為3,8 (2y)0 ， y 2.的特征值與特征向量。(2)(3) 4(2)(1)2，102所以得：特征值121 ,解方程組 A E X 0,只得一個(gè)對(duì)應(yīng)特征向量為:1, 2,1 T；解方程組A 2E X0 ,可得特征向量為0,0,1

19、T 。18、當(dāng)t為何值時(shí),f (X1,X2,X3)2X14x22tx1X22X1 X34X2X3為正定二次型?解：f0；t20;t4 t2123t2(2t)22(2t)(1t)解不等式:t2(2 t)(1t)四、證明題（每小題5分,共10分）19、設(shè)向量b能由3這三個(gè)向量線性表示且表達(dá)式唯一,證明:向量組性無(wú)關(guān)。證明：（反證法）如果a1,a2, a3線性相關(guān)，則有一組不全為的系數(shù)20、設(shè)但12a2由于3a3=(1),由已知設(shè)b 1 12(11 )a1 ( 22 )a2( 33)a31， 2,3不元全為零，則 11 ,22 ,樣b已有兩種表示，與表示法惟一相矛盾，證畢。3 3 ,結(jié)合（1 ）式得

20、(2)3必與2 , 3不同,3是n階方陣A的3個(gè)特征向量，它們的特征值不相等，記證明不是A的特征向量。證明：假設(shè)AA A 123 A1A 2A 3又:從而:3 0,由于特征值各不相等，所以1、3線性無(wú)關(guān),所以的、填空題。（每小題5分,在四階行列式中,包含因子共30分）a12a13a142xa31的項(xiàng)是1a31a22a42a23a43a24a442、一 -4,則x項(xiàng)的系數(shù)為84x3、已知4是線性無(wú)關(guān)的4維向量,k11k22k3 3 k4水/2*3*4R ，則 V 是一維向量空間。4、已知階3方陣A的3個(gè)特征值分別為1,2, 3,則A15、若x是方陣A的特征向量，那么P x是方陣p 1AP的特征向量。6、線性方程組x1x2 x3x4x5x60的基礎(chǔ)解系含有5個(gè)解向量。二、選擇題。（每小題5分，共30分）1、設(shè)A, B為n階方陣，滿足AB0,則 CA B 0。AAB0, BAB02、已知A為n階方陣，且滿足關(guān)系式A2 3A4E 0,則1 B E -A23、A為3階可逆方陣，且各列