靜電場典型例題剖析

1、靜電場典型例題剖析、庫侖定律真空中兩個點電荷之間相互作用的電力，跟它們的電荷量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比，作用力的方向在它們的連線上。即：F = kq穽其中k為靜電力常量，k=9.0x 10 9 N m2/c2r1成立條件 真空中（空氣中也近似成立），點電荷。即帶電體的形狀和大小對相互作用力的 影響可以忽略不計。（這一點與萬有引力很相似，但又有不同：對質量均勻分布的球，無 論兩球相距多近，r都等于球心距；而對帶電導體球，距離近了以后，電荷會重新分布， 不能再用球心距代替 r ）。2同一條直線上的三個點電荷的計算問題例1.在真空中同一條直線上的 A、B兩點固定有電荷量分別為 +4Q

2、和-Q的點電荷。將 另一個點電荷放在該直線上的哪個位置，可以使它在電場力作用下保持靜止？若要求這三個點電荷都只在電場力作用下+4Q-QOO保持靜止，那么引入的這個點電荷應是正電荷還是負電荷？電荷量是多大？解：先判定第三個點電荷所在的區(qū)間：只能在B點的右側；再由F二型,F、k、q相2r同時r 乂、_Q a：用=2： 1，即C在AB延長線上，且 AB=BC> C處的點電荷肯定在電場力作用下平衡了；只要A、B兩個點電荷中的一個處于平衡，另一個必然也平衡。由F ='kQq , F、k、Qa相同，Qxr2,. Qc : QB=4 : 1，而且必r須是正電荷。所以 C點處引入的點電荷 Q=

3、+4Q例2.已知如圖，帶電小球 A、B的電荷分別為 Qa、Qb, OA=OB,都用長L的絲 線懸掛在O點。靜止時A、B相距為d。為使平衡時AB間距離減為d/2，可采用 以下哪些方法A. 將小球A、B的質量都增加到原來的 2倍B. 將小球B的質量增加到原來的8倍C. 將小球A、B的電荷量都減小到原來的一半D. 將小球A、B的電荷量都減小到原來的一半，同時將小球B的質量增加到原來的2倍解：由B的共點力平衡圖知 旦二d，而F,Ld2可知msgdQmQBL，選 BD3.與力學綜合的問題。例3.已知如圖，光滑絕緣水平面上有兩只完全相同的金屬球A、B,帶電量 -2QB -Q分別為-2Q與-Q?，F(xiàn)在使它們以

4、相同的初動能Eo （對應的動量大小為 pg）開始相向運動且剛好能發(fā)生接觸。接觸后兩小球又各自反向運動。 當它們剛好回到各自的出發(fā)點時的動能分別為E-i和E2,動量大小分別為p1和p2。有下列說法:pi =p2= po接觸點一定在兩球初位置連線的中點右側某點 出發(fā)點。其中正確的是Ei=E2> E0，pi=p2> po Ei=E2= E0,兩球必將同時返回各自的A.B.C.D.解:由牛頓定律的觀點看，兩球的加速度大小始終相同,相同時間內(nèi)的位移大小一定相同,必然在連線中點相遇， 又同時返回出發(fā)點。 由動量觀點看，系統(tǒng)動量守恒，兩球的速度始終等值反向，也可得出結論：兩球必將同時返回各自的出

5、發(fā)點。且兩球末動量大小和末動能一定相等。從能量觀點看，兩球接觸后的電荷量都變?yōu)?1.5Q，在相同距離上的庫侖斥力增大，返回過程中電場力做的正功大于接近過程中克服電場力做的功，由機械能定理,系統(tǒng)機械能必然增大，即末動能增大。選C。本題引出的問題是：兩個相同的帶電小球（可視為點電荷），相碰后放回原處，相互間的庫侖力大小怎樣變化？討論如下：等量同種電荷，F(xiàn) /=F；等量異種電荷，F(xiàn)【0<F; 不等量同種電荷 F />F；不等量異種電荷 FF、F【F、F/<F都有可能， 當滿足 q1= （ 3 ± 2 2） q2 時 F，=F。例4.已知如圖，在光滑絕緣水平面上有三個質量都

6、是m的相同小球，兩兩間的距離都是I，A、B電荷量都是+q。給C一個外力F， 球保持相對靜止共同加速運動。求：C球的帶電電性和電荷量;使三個小外力 F的大小。解：先分析A、B兩球的加速度:它們相互間的庫侖力為斥力,因此C對它們只能是引力,且兩個庫侖力的合力應沿垂直與AB連線的方向。這樣就把B受的庫侖力和合力的平行四邊形確定了。于是可得QC= -2q，f=3Fb="Fab=下。二、電場的性質電荷放入電場后就電場的最基本的性質是對放入其中的電荷有力的作用, 具有電勢能。1. 電場強度E描述電場的力的性質的物理量。定義：放入電場中某點的電荷所受的電場力F跟它的電荷量q的比值，叫做該點的電場強

7、度，簡稱場強。Eq 這是電場強度的定義式，適用于任何電場。 其中的q為試探電荷（以前稱為檢驗電荷），是電荷量很小的點電荷 （可正可負） 電場強度是矢量，規(guī)定其方向與正電荷在該點受的電場力方向相同。點電荷周圍的場強公式是：E二年，其中Q是產(chǎn)生該電場的電荷，叫場電荷。r例4.圖中邊長為a的正三角形ABC的三點頂點分別固定三個點 電荷+q、+q、-q，求該三角形中心 0點處的場強大小和方向。解：每個點電荷在 0點處的場強大小都是 e _ kq 2（v3a/ 3）由圖可得0點處的合場強為E。二6方向由0指向C。a例5.如圖，在x軸上的x = -1和x =1兩點分別固定電荷量為-4Q和+9Q的點電荷。求

8、：x軸上合場強為零的點的坐標。并求在x = -3點處的合-I1-5-3-4Q<3-1+9QO-1勻強電場的場強公式是：E _U，其中d是沿電場線方向上的距離。 d場強方向。解：由庫侖定律可得合場強為零的點的坐標為x= -5。x= -5、x= -1、x=1這三個點把x軸分成四段，可以證明：同一直線上的兩個點電荷所在的點和它們形成的合場強為零的點把該 直線分成4段，相鄰兩段上的場強方向總是相反的。本題從右到左，4個線段（或射線）上的場強方向依次為：向右、向左、向右、向左，所以x= -3點處的合場強方向為向右。2電勢0是描述電場的能的性質的物理量。電場中某點的電勢，等于單位正電荷由該點移動到參

9、考點（零電勢點）時電場力所做的功。 和機械能中的重力勢能類似， 電場力做功也 只跟始末位置間的電勢差有關，和路徑無關。W電=Uq。根據(jù)功是能量轉化的量度，有 E=-W電，即電勢能的增量等于電場力做功的負值。3電場線和等勢面等量異種點電荷的電場等量同種點電荷的電 場孤立點電荷周圍的電場勻強電場點電荷與帶電平要牢記以下6種常見的電場的電場線和等勢面：注意電場線、等勢面的特點和電場線與等勢面間的關系： 電場線的方向為該點的場強方向，電場線的疏密表示場強的大小。 電場線互不相交，等勢面也互不相交。 電場線和等勢面在相交處互相垂直。 電場線的方向是電勢降低的方向，而且是降低最快的方向。 電場線密的地方等

10、差等勢面密；等差等勢面密的地方電場線也密。例6.如圖所示，三個同心圓是同一個點電荷周圍的三個等勢面，已知這三個圓的半徑成等差數(shù)列。A、B、C分別是這三個等勢面上的點，且這三點在同一條電場線上。A、C兩點的電勢依次為 $ a=10V和$ c=2V,則B點的電勢是. 一A. 一定等于6VB.一定低于6V.C.一定高于6VD.無法確定*耳電*解：由U=Ed,在d相同時，E越大，電壓 U也越大。因此 Uab> Ubc,選B'一一三、電荷引入電場1將電荷引入電場將電荷引入電場后，它一定受電場力Eq,且一定具有電勢能 $ q。2. 在電場中移動電荷電場力做的功在電場中移動電荷電場力做的功W=

11、qU，只與始末位置的電勢差有關。在只有電場力做功的情況下，電場力做功的過程是電勢能和動能相互轉化的過程。W= - E= A Ek。無論對正電荷還是負電荷，只要電場力做功，電勢能就減??；克服電場力做功，電勢能就增大。正電荷在電勢高處電勢能大；負電荷在電勢高處電勢能小。利用公式 W=qU進行計算時，各量都取絕對值，功的正負由電荷的正負和移動的 方向判定。每道題都應該畫出示意圖，抓住電場線這個關鍵。（電場線能表示電場強度的大小和方向，能表示電勢降低的方向。有了這個直觀的示意圖，可以很方便地判定點電荷在電場中受力、做功、電勢能變化等情況。）例7.如圖所示，在等量異種點電荷的電場中，將一個正的試探電荷由

12、a點沿直線移到o點，再沿直線由o點移到c點。在該過程中，檢驗電荷所受的電場力大小和 方向如何改變？其電勢能又如何改變？解：根據(jù)電場線和等勢面的分布可知:電場力一直減小而方向不變；電勢能先減小后不變。例8.如圖所示，將一個電荷量為q = +3X 1O-10c的點電荷從電場中的 A點移到B點過程,克服電場力做功 6 X 10-9j。已知a點的電勢為$ a= - 4V,求B點的電勢。<-，+ v解：先由W=qU,得AB間的電壓為20V,再由已知分析：向右移動正電荷做負功，說明電場力向左，因此電場線方向向左，得出B點電勢高。因此$ b=16V。例9. a粒子從無窮遠處以等于光速十分之一的速度正對

13、著靜止的金核射去（沒有撞到金核上）。已知離點電荷 Q距離為r處的電勢的計算式為 $ =kQ，那么a粒子的最大電勢能是多大？由此估算金原子核的半徑是多大?解：a粒子向金核靠近過程克服電場力做功，動能向電勢能轉化。設初動能為E,到不能再接近（兩者速度相等時），可認為二者間的距離就是金核的半徑。根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律，動能的損失由于金核質量遠大于a粒子質量，所以動能幾乎全部轉化為電勢能。無窮遠處的電勢能為零，故最大電勢能E=mv2 =3 0>d0°2J,再由 E=$ q=-kQ5，得 r =1.2x 10-14m，可見金核的半2r徑不會大于1.2x 10-14m。例10.已知

14、 ABC處于勻強電場中。 將一個帶電量 q= -2X 10-6c的點電荷從 A 移到B的過程中，電場力做功 W1= -1.2x 10-5J；再將該點電荷從 B移到C,電 場力做功 W2= 6x 10-6J。已知A點的電勢$ a=5V,則B、C兩點的電勢分別為V和V。試在右圖中畫出通過 A點的電場線。解：先由 W=qU求出AB、BC間的電壓分別為 6V和3V,再根據(jù)負電荷B電場力做負功，電勢能增大，電勢降低；BtC電場力做正功，電勢能減小，電勢升高，知$ b= -1V$c=2V。沿勻強電場中任意一條直線電勢都是均勻變化的，因此AB中點D的電勢與C點電勢相同，CD為等勢面，過 A做CD的垂線必為電

15、場線，方向從高電勢指向低電勢，所以 斜向左下方。例11.如圖所示，虛線 a、b、c是電場中的三個等勢面，相鄰等勢面間的電勢差相同，實 線為一個帶正電的質點僅在電場力作用下，通過該區(qū)域的運動軌跡，P、Q是軌跡上的兩點。F列說法中正確的是A. 三個等勢面中，等勢面 a的電勢最高B. 帶電質點一定是從 P點向Q點運動C. 帶電質點通過P點時的加速度比通過Q點時小D. 帶電質點通過P點時的動能比通過 Q點時小解：先畫出電場線，再根據(jù)速度、合力和軌跡的關系，可以判定：質點在各點受的電場力 方向是斜向左下方。由于是正電荷，所以電場線方向也沿電場線向左下方。答案僅有D四、帶電粒子在電場中的運動1. 帶電粒子

16、在勻強電場中的加速一般情況下帶電粒子所受的電場力遠大于重力，所以可以認為只有電場力做功。由動能定理 W=qU= A&，此式與電場是否勻強無關，與帶電粒子的運動性質、軌跡形狀也無關。例12.如圖所示，兩平行金屬板豎直放置， 左極板 接地，中間有小孔。右極板電勢隨時間變化的規(guī)律 如圖所示。電子原來靜止在左極板小孔處。（不計重力作用）下列說法中正確的是Uo o -U0 -T/2II-TI3T/2 2TItA.從t=0時刻釋放電子，電子將始終向右運動，直到打到右極板上B. 從t=0時刻釋放電子，電子可能在兩板間振動C從 t=T/4時刻釋放電子，電子可能在兩板間振動，也可能打到右極板上D.從t=

17、3T/8時刻釋放電子，電子必將打到左極板上解：從t=0時刻釋放電子，如果兩板間距離足夠大，電子將向右先勻加速T/2，接著勻減速T/2,速度減小到零后，又開始向右勻加速T/2，接著勻減速T/2直到打在右極板上。電子不可能向左運動；如果兩板間距離不夠大，電子也始終向右運動，直到打到右極板上。從t=T/4時刻釋放電子，如果兩板間距離足夠大，電子將向右先勻加速174,接著勻減速T/4, 速度減小到零后，改為向左先勻加速T/4，接著勻減速！74。即在兩板間振動；如果兩板間距離不夠大，則電子在第一次向右運動過程中就有可能打在右極板上。從t=3T78時刻釋放電子，如果兩板間距離不夠大，電子將在第一次向右運動

18、過程中就打在右極板上；如果第 一次向右運動沒有打在右極板上，那就一定會在第一次向左運動過程中打在左極板上。選AC2. 帶電粒子在勻強電場中的偏轉質量為m電荷量為q的帶電粒子以平行于極板的初速度 vo射 入長L板間距離為d的平行板電容器間，兩板間電壓為 U，求射出 時的側移、偏轉角和動能增量。側移：y =1 險 丫L _UL2千萬不要死記公式，要清楚物2 丘_4U d理過程。根據(jù)不同的已知條件，結論改用不同的表達形式（已知初 速度、初動能、初動量或加速電壓等）。偏角：tan- vy -UqL -UL，注意到y(tǒng)二丄tani，說明穿岀時刻的末速度的反向 -v _dmv2 _2U d2延長線與初速度延

19、長線交點恰好在水平位移的中點。這一點和平拋運動的結論相同。穿越電場過程的動能增量： EK=Eqy （注意，一般來說不等于 qU）L=10cm。在電容器兩極板間接一交變電壓，上極板的電勢例13.如圖所示，熱電子 由陰極飛出時的初速忽 略不計，電子發(fā)射裝置的 加速電壓為Uo。電容器板 長和板間距離均為L=10cm,下極板接地。電 容器右端到熒光屏的距離也是 隨時間變化的圖象如左圖。（每個電子穿過平行板的時間極短，可以認為電壓是不變的） 求：在t=0.06s時刻，電子打在熒光屏上的何處？熒光屏上有電子打到的區(qū)間有多長?屏上的亮點如何移動？解：由圖知t=0.06s時刻偏轉電壓為1.8U0,可求得y =

20、 0.45L= 4.5cm,打在屏上的點距 O 點13.5cm。電子的最大側移為0.5L （偏轉電壓超過2.0U。，電子就打到極板上了），所以熒光屏上電子能打到的區(qū)間長為3L=30cm。屏上的亮點由下而上勻速上升，間歇一段時間后又重復出現(xiàn)。3帶電物體在電場力和重力共同作用下的運動。當帶電體的重力和電場力大小可以相比時，不能再將重力忽略不計。這時研究對象經(jīng)常被稱為“帶電微粒”、“帶電塵埃”、“帶電小球”等等。這時的問題實際上變成一個 力學問題，只是在考慮能量守恒的時候需要考慮到電勢能的變化。例14.已知如圖，水平放置的平行金屬板間有勻強電場。一根長I的絕緣細繩一=-b* 端固定在0點，另一端系有

21、質量為 m并帶有一定電荷的小球。 小球原來靜止在 C . 點。當給小球一個水平?jīng)_量后，它可以在豎直面內(nèi)繞0點做勻速圓周運動。若將兩板間的電壓增大為原來的3倍，求：要使小球從C點開始在豎直面內(nèi)繞 0點做+圓周運動，至少要給小球多大的水平?jīng)_量？在這種情況下，在小球運動過程中細繩所受的最大拉力是多大？解：由已知，原來小球受到的電場力和重力大小相等，增大電壓后電場力是重力的3倍。在C點，最小速度對應最小的向心力，這時細繩的拉力為零，合力為2mg，可求得速度為v= 2gl，因此給小球的最小沖量為1= m 2gl。在最高點D小球受到的拉力最大。從2C到D對小球用動能定理：2mg 21 =mvD - mvC

22、，在D點F -2mg =巴，解得F=12mg。22I例15.已知如圖，勻強電場方向水平向右， 場強E=1.5 x 106v/m，絲線長l=40cm, 上端系于0點，下端系質量為m=1.0X 10_4kg，帶電量為q=+4.9x 10-1°C的小球， 將小球從最低點 A由靜止釋放，求：小球擺到最高點時絲線與豎直方向的夾 角多大？擺動過程中小球的最大速度是多大？ 解：這是個“歪擺”。由已知電場力Fe=0.75G擺動到平衡位置時絲線與豎直方向成37°角，因此最大擺角為 74 °。小球通過平衡位置時速度最大。由動能定理：1.25mg 0.2l=mvB2/2, VB=1.4m/s。五、電容器1電容器兩個彼此絕緣又相隔很近的導體都可以看成一個電容器