一線三角一線三直角

1、-一線三角三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：等角的頂點在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當頂點移動到底邊的延長線時，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過認真做題，細細體會。例1：如圖，等邊ABC中，邊長為6，D是BC上動點，EDF=60°CADBEF（1）求證：BDECFD（2）當BD=1，F(xiàn)C=3時，求BE。變式：如圖，在ABC中，是邊上的一個動點，點在邊上，且ABCDE(1) 求證：ABDDCE；(2) 如果，求與的函

2、數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3) 當點是的中點時，試說明ADE是什么三角形，并說明理由例2：如圖，等腰ABC中，AB=AC，D是BC中點，EDF=B，CDEABF求證：BDEDFE變式：已知：如圖，在ABC中，點D在邊AB上，點E在邊BC上又點F在邊AC上，且(1) 求證：FCEEBD；(2) 當點D在線段AB上運動時，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的長如果不可能請說明理由ABCDEF例3：如圖，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點P為BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點P作射線PM交AC于點M，使APM=B；ABPCM（1）求證：ABPPCM；（2）設(shè)BP=x，CM=

3、y求 y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域（3）當APM為等腰三角形時， 求PB的長變式：如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點，且BP=2，將一個大小與B相等的角的頂點放在P 點，然后將這個角繞P點轉(zhuǎn)動，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點為D、E。（1）求證BPDCEP（2）是否存在這樣的位置，PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由。CPEABD-壓軸題突破-一線三角例1：在中，點、分別在射線、上（點不與點、點重合），且保持.若點在線段上（如圖），且，求線段的長；ABC若，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；1.與等腰三角形底角相等的角

4、的頂點不僅在線段上還可以運動至線段的延長線上，這類變式問題是上海中考中最常見的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原來的兩個三角形相似列出比例式后求解。當?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r，依然沿用剛才的方法便可破解此類問題。2.此題是典型的圖形變式題，記住口訣：“圖形改變，方法不變”。動點在線段上時，通過哪兩個三角形相似求解，當動點在線段的延長線上時，還是找原來的兩個三角形，多數(shù)情況下這兩個三角形還是相似的，還是可以沿用原來的方法求解。變式：正方形的邊長為（如圖），點、分別在直線、上（點不與點、點重合），且保持.當時，寫出線段的長（不需要計算過程，請直接寫出結(jié)果）.ABCD例2：已知在梯形ABCD中，

5、ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖，P為AD上的一點，滿足BPCA求證；ABPDPC求AP的長（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q，那么當點Q在線段DC的延長線上時，設(shè)APx，CQy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當CE1時，寫出AP的長（不必寫出解題過程）CDABP第一問因為是等腰三角形，且滿足BPCA,很容易找到一線三角模型，尋找相似，列比例等式，求出AP的長。第二問題目要分類討論，注意題目里面給的一些提示，直線，射線，線段，這經(jīng)常是給出要分類討論的一些信息變式：已知在等腰三角形中，是

6、的中點， 是上的動點（不與、重合），連結(jié)，過點作射線，使，射線交射線于點，交射線于點.（1）求證：；（2）設(shè).用含的代數(shù)式表示；求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域.例3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，點E是AB的中點 （1）如圖，P為BC上的一點，且BP=2求證：BEPCPD； （2）如果點P在BC邊上移動（點P與點B、C不重合），且滿足EPF=C，PF交直線CD于點F，同時交直線AD于點M，那么 當點F在線段CD的延長線上時，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當時，求BP的長EDCBA（備用圖）EDCBAP（圖）1.第（2）小

7、題都是用常規(guī)的三等角型相似的方法。2.第二問題目要分類討論，注意題目里面給的一些提示，直線，射線，線段，這經(jīng)常是給出要分類討論的一些信息變式：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=BC=4，AD=2點M為邊BC的中點，以M為頂點作EMF=B，射線ME交邊AB于點E，射線MF交邊CD于點F，連結(jié)EF（1）指出圖中所有與BEM相似的三角形，并加以證明；（2）設(shè)BE=x，CF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；ABCDMEF-壓軸題突破-一線三直角三直角相似可以看著是“一線三等角”中當角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上

8、移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進而將三角型的條件進行轉(zhuǎn)化。例1、已知：如圖，ABBC，AD / BC， AB = 3，AD = 2點P在線段AB上，聯(lián)結(jié)PD，過點D作PD的垂線，與BC相交于點C設(shè)線段AP的長為x（1）當AP = AD時，求線段PC的長；（2）設(shè)PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當APDDPC時，求線段BC的長ABCDPABCD（備用圖）本題重點在于：過點C作CEAD，交AD的延長線于點E(構(gòu)造一線三角，出現(xiàn)相似三角形，

9、進行求解)變式：如圖1，已知，點是射線上的一個動點（點與點不重合），點是線段上的一個動點（點與點、不重合），聯(lián)結(jié)，過點作的垂線，交射線于點，聯(lián)結(jié)設(shè)，（1）當時，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；（2）在（1）的條件下，取線段的中點，聯(lián)結(jié)，若，求的長；（3）如果動點、在運動時，始終滿足條件，那么請?zhí)骄浚旱闹荛L是否隨著動點、的運動而發(fā)生變化？請說明理由 圖1 圖2例2、如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB=2，AD=4，tanC=，ADC=DAB=90度，P是腰BC上一個動點（不含點B、C），作PQAP交CD于點Q（圖1）（1） 求BC的長與梯形ABCD的面積；（2） 當PQ=DQ時，求BP

10、的長；（圖2）（3） 設(shè)BP=x，CQ=y,試求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域。第3問添加了輔助線MN，得到一線三角基本模型，得到解題突破口，出現(xiàn)相似，順利得到答案。變式：如圖，在中，點D是BC的中點，點E是AB邊上的動點，交射線AC于點F（1）求AC和BC的長；（2分）（2）當時，求的長；（5分）（3）聯(lián)結(jié)，當和相似時，求的長（7分）ACFEDBACB（備用圖）ACB（備用圖）例3、如圖，在中，點為中點，點為邊上一動點，點為射線上一動點，且.（1）當時，聯(lián)結(jié),求的余切值；（2）當點在線段上時，設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)，若為等腰三角形，求的長.CAB備用圖2CAB備用圖1DABFECC1.第2問添加輔助線EH，得到三直角型相似，得到結(jié)果；2.第3問等腰三角形的分類討論，要注意嚴格按照三種情況進行討論，在解答過程中，要時刻牢記等腰三角形三線合一這一