線的本體性知識(shí)對(duì)小學(xué)線的教學(xué)的啟示

1、 “線的本體性知識(shí)”對(duì)小學(xué)線的教學(xué)的啟示杭州市崇文實(shí)驗(yàn)學(xué)校 翁秀萍線段、直線、射線是最簡(jiǎn)單、最基本的圖形，是研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，也是以后系統(tǒng)學(xué)習(xí)幾何所必需的知識(shí)。但是我們經(jīng)常會(huì)聽(tīng)到一些表達(dá)上的錯(cuò)誤或者不確切的語(yǔ)言，比如：“這是斜線，不是直線”；“直線比射線長(zhǎng)”；“直線可以無(wú)限延長(zhǎng)，線段則不能延長(zhǎng)”；“這條線段粗，那條線段細(xì)”；“兩點(diǎn)之間連接的直線最短”等等。分析其原因，我覺(jué)得有可能這部分教師對(duì)線的本體知識(shí)不夠了解。所謂“線的本體性知識(shí)”主要是指與小學(xué)數(shù)學(xué)“線段、射線與直線”的知識(shí)相關(guān)的初中、高中甚至大學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。作為教師了解這些知識(shí)，可以開(kāi)闊眼界，更好地理解小學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于“線段、射線與直線”

2、的知識(shí)。使老師們?cè)诮虒W(xué)或研究“線段、射線與直線”這節(jié)課時(shí)可以做到居高臨下，充分感受到自己真正具有“線段、射線與直線”的認(rèn)識(shí)這一桶水。一、線的本體性知識(shí)1平面幾何中線段、射線與直線的概念線段、射線與直線的概念有幾種不同的說(shuō)法，下面列舉兩種：第一種說(shuō)法：線段：繃緊的琴弦、活動(dòng)鉛筆的筆芯可以近似地看作線段。射線：把線段向一方無(wú)限延長(zhǎng)所形成的圖形叫做射線。直線：把線段向兩方無(wú)限延長(zhǎng)所形成的圖形叫做直線。第二種說(shuō)法：一點(diǎn)在空間沿著同一個(gè)方向及其相反方向運(yùn)動(dòng)所形成的圖形，稱(chēng)為直線。直線上一點(diǎn)和它一側(cè)的部分叫射線；直線上兩點(diǎn)及其之間的部分叫線段。線段和射線都可以看作是直線的一部分。 那么怎么理解線段、射線與

3、直線的概念呢？其實(shí)，直線在歐幾里德幾何中是一個(gè)不定義的概念，是幾何的基本元素之一，是日常生活中“直線”一詞的抽象化，這種概念叫“原始概念”或“基本概念”。所以以上這些概念都是描述式的。我們可以從以下幾個(gè)方面來(lái)探討，以求進(jìn)一步理解概念。（1）線段、射線與直線的聯(lián)系和區(qū)別端點(diǎn)個(gè)數(shù)延伸性長(zhǎng)度線段2個(gè)不能延伸有長(zhǎng)度，可以度量射線1個(gè)可以向一個(gè)方向無(wú)限延伸不可度量直線0個(gè)可以向兩個(gè)方向無(wú)限延伸不可度量（2）“直的線”不就是“直線”黑的貓就是黑貓，白的云就是白云，但是直的線不就是直線。這里“直的線”是指直直的線，而“直線，線段與射線”都是直直的線，所以直的線可以是直線，也可以是線段或射線。（3）數(shù)軸是直線

4、以為數(shù)軸是射線，可能是小學(xué)生一開(kāi)始沒(méi)有接觸過(guò)負(fù)數(shù)，老師或者教材出現(xiàn)數(shù)軸的時(shí)候只是從0開(kāi)始的，向右邊無(wú)限延伸的，如圖1。事實(shí)上，數(shù)軸中0的右邊的點(diǎn)表示正數(shù)，0的左邊的點(diǎn)表示負(fù)數(shù)。正數(shù)有正無(wú)窮大，所以數(shù)軸可以向右邊無(wú)限延伸；負(fù)數(shù)有負(fù)無(wú)窮大，所以數(shù)軸可以向左邊無(wú)限延伸，如圖2。這正符合直線是“把線段向兩方無(wú)限延長(zhǎng)所形成的圖形”的。因此，數(shù)軸是直線，而不是射線。 （4）線段可以延長(zhǎng)線段有兩個(gè)端點(diǎn)，長(zhǎng)度是有限的，所以完全可以再往兩端延長(zhǎng)。比如，我們經(jīng)?？吹竭@樣的話：將線段AB延長(zhǎng)到C（圖4），將線段DE延長(zhǎng)到F（圖5）。線段是可以延長(zhǎng)的，只是延長(zhǎng)后成了另外一條新的線段。 2線段、射線與直線的表示方法一條

5、線段可用表示端點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如線段AB或線段BA。一條射線可用端點(diǎn)和射線上的另一點(diǎn)表示，如射線OA（圖6）。規(guī)定把表示端點(diǎn)的字母寫(xiě)在前面，正是為了突出射線“端點(diǎn)”的特征。 一條直線可以用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示，如直線AB或者直線BA（圖7），另外也可用一個(gè)小寫(xiě)字母表示，例如直線l，直線a。3線段和直線的性質(zhì)直線的性質(zhì)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，簡(jiǎn)稱(chēng)：兩點(diǎn)確定一條直線。線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短。直線有一個(gè)本質(zhì)特征，是“直”，這個(gè)性質(zhì)決定了兩點(diǎn)之間線段最短，這又是度量線段的理論基礎(chǔ)。4過(guò)兩點(diǎn)只能確定一條直線在討論“過(guò)兩點(diǎn)只能確定一條直線嗎”這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，老師往往會(huì)安排讓學(xué)生自己先操作一下，

6、然后交流得出正確的觀點(diǎn)。有的老師會(huì)遇到這樣尷尬的場(chǎng)面：一些學(xué)生把兩個(gè)點(diǎn)描得很大，過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)了很多直線。其實(shí)，我們應(yīng)該先讓學(xué)生知道“點(diǎn)無(wú)大小，線無(wú)粗細(xì)”。所以：過(guò)兩點(diǎn)只能確定一條直線。5線段與距離的關(guān)系連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)間的距離。6在平面幾何中，什么叫兩條線段相等？?jī)蓷l線段長(zhǎng)度相同就可以說(shuō)兩條線段相等；但是射線就不同了，它沒(méi)有長(zhǎng)度，所以不說(shuō)相等，只能說(shuō)兩條射線一樣。兩條射線端點(diǎn)重合，延長(zhǎng)的方向也相同，才可以說(shuō)兩條射線一樣。二、“線的本體性知識(shí)”的對(duì)小學(xué)“線段、射線與直線”的教學(xué)的啟示我們弄清有關(guān)線段、射線與直線的本體性知識(shí)知識(shí)，主要是使我們能夠更進(jìn)一步明確線段、射線與直線的概念與它的

7、本質(zhì)屬性。避免上“線段、射線與直線”這節(jié)課時(shí)，自己說(shuō)錯(cuò)話，或者陳述的數(shù)學(xué)語(yǔ)言不確切。同時(shí)，對(duì)于學(xué)生在課堂上出現(xiàn)的各種表達(dá)，能夠有比較好的組織與引導(dǎo)。上文中有關(guān)線的本體性知識(shí)，對(duì)于在小學(xué)數(shù)學(xué)中教學(xué)“線段、射線與直線”，有很大的幫助與啟示。1在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上需要出現(xiàn)并且講解線段、射線和直線這些術(shù)語(yǔ)在數(shù)學(xué)課上使用這些術(shù)語(yǔ)，還是和日常用語(yǔ)甚至語(yǔ)文課上說(shuō)的有些區(qū)別的。譬如，我們數(shù)學(xué)課上就不能把“直的線”簡(jiǎn)稱(chēng)為“直線”?！爸钡木€”和“直線”是兩個(gè)不同的概念。“直的線”是相對(duì)于“彎曲的線”而言的，其本質(zhì)特征是“直”，直線、射線、線段都是直的線。而“直線”有其特定的幾何學(xué)意義：空間內(nèi)一個(gè)點(diǎn)沿著一個(gè)方向和它的反

8、方向無(wú)限運(yùn)動(dòng)的軌跡叫做直線。在語(yǔ)文課上，可以說(shuō)這段路是直線，而數(shù)學(xué)上就必須說(shuō)“這段路是直線段”，因?yàn)橹本€是線段向兩端無(wú)限延長(zhǎng)的結(jié)果。如果數(shù)學(xué)課上沒(méi)有講解過(guò)，直接使用，學(xué)生對(duì)這三個(gè)概念很難有這么清晰的認(rèn)識(shí)。線的這些概念都是描述式的。例如，在直線的概念中，有“方向”、“運(yùn)動(dòng)”等等更加復(fù)雜的術(shù)語(yǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，這樣的描述是不必要的，比如直線和線段可以用比喻的方法，特別是直接畫(huà)出來(lái)，學(xué)生馬上就明白，以后能夠識(shí)別，能夠運(yùn)用就行了。2教學(xué)中，線段、射線與直線的先后順序安排在教學(xué)“線段、射線與直線”時(shí)，不同的人會(huì)安排不同的先后順序。一般會(huì)出現(xiàn)這么兩種先后順序：“線段射線直線”，“直線線段射線”，把三種線

9、的教學(xué)安排在一節(jié)課中。有的人認(rèn)為“學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)總是從現(xiàn)實(shí)的直觀開(kāi)始的，在日常生活中，學(xué)生能見(jiàn)到最多的應(yīng)該是線段?！倍罢J(rèn)識(shí)直線，理解直線兩端可以無(wú)限延長(zhǎng)，學(xué)生要有一定的空間想象力。”意思就是說(shuō)：“線段”是小學(xué)生最容易理解的，應(yīng)該是這幾種線當(dāng)中最先認(rèn)識(shí)的。所以安排的順序是“線段射線直線”。然而，根據(jù)概念的第二種說(shuō)法，人們認(rèn)為直線是線段、射線的“母體”，線段和直線都可以看作是直線的一部分，所以應(yīng)該先認(rèn)識(shí)直線。還有的人考慮到這三種線的關(guān)系，認(rèn)為不如把三種線安排在一節(jié)課中，更便于學(xué)生比較三種線的聯(lián)系和區(qū)別，加強(qiáng)對(duì)這三種線的溝通與理解。根據(jù)上面所說(shuō)的概念，三種線聯(lián)系密切，是整體與部分的關(guān)系。直線

10、和線段都可以作為它們的邏輯起點(diǎn)。如果直線作為邏輯起點(diǎn)，生活中沒(méi)有原型，要靠想象。它需要學(xué)生在線段的基礎(chǔ)上往兩個(gè)方向無(wú)限延伸，在思維中把握，這給小學(xué)生的理解增加了難度。如果線段作為邏輯起點(diǎn)，在生活中比較容易找到模型，它的長(zhǎng)度有限，兩端都看得到頭，小學(xué)生比較容易把握，也就比較容易理解。不過(guò)至今沒(méi)有查到哪一種研究成果，能夠說(shuō)明哪種方式的引入對(duì)概念理解有幫助，哪種設(shè)計(jì)教學(xué)效果更好。3教學(xué)時(shí)，適當(dāng)選擇生活原型有利于理解概念我們知道，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常要找一些生活原型，讓學(xué)生直觀地感知線段、射線與直線的含義。即教師在教學(xué)中，會(huì)找一些生活原型讓學(xué)生看，那么，我們應(yīng)該選擇哪些東西讓學(xué)生觀察呢？根據(jù)上文

11、中對(duì)三種線的定義，我們知道它們都是一條直直的線，不是彎的線。所以我們?cè)谶x擇實(shí)物時(shí)，要選擇一些“彎的線”與“直的線”，通過(guò)分類(lèi)感受三種線的共同特征直直的?！皬澋木€”可以選擇毛線、彈簧等，“直的線”可以選擇拉直的銅線、游戲棒、活動(dòng)鉛筆的筆芯、探照燈射出來(lái)的光線、手電筒射出來(lái)的光線等等，也可以是書(shū)的邊、桌子的邊，以及學(xué)生畫(huà)的畫(huà)（圖8的第五幅）?！爸钡木€”應(yīng)該包括水平的線，垂直的線，更應(yīng)該有斜的線。免得學(xué)生先入為主，形成定勢(shì)，以為斜著畫(huà)的線不是直線。我們知道：在平面幾何中，一點(diǎn)在空間沿著同一個(gè)方向及其相反方向運(yùn)動(dòng)所形成的圖形，成為直線。這個(gè)點(diǎn)可以往任何一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，可以是水平的，垂直的，或者是傾斜的。

12、無(wú)論是水平位置的直線、豎直位置的直線，還是傾斜位置的直線，它們都是直線，直線的特征是“直”。這里的“直”，是相對(duì)于“曲”，“折”，“彎”等等而言的，這和日常生活中常用的與“斜”，意義不同。我們不能簡(jiǎn)單地說(shuō)“斜線不是直線”。當(dāng)然，在學(xué)生認(rèn)識(shí)了直線，知道了直線的特征之后，老師可以出現(xiàn)各種位置不同的直線讓學(xué)生判斷。（圖9）如果有學(xué)生認(rèn)為（2）、（3）是斜線，不是直線，教師應(yīng)該怎樣點(diǎn)撥呢？教師可以舉起學(xué)生的筆，橫著放，問(wèn)學(xué)生是不是筆？豎著放，問(wèn)學(xué)生是不是筆？斜著放呢？通過(guò)甄別，討論，總結(jié)出“這直線也和筆一樣，不管是水平放，豎著放，還是斜著放，都還是直線”，以此加深對(duì)概念的理解，從而更準(zhǔn)確的抓住概念的本質(zhì)屬性?！緟⒖假Y料】1張麗娟，孫立峰，王濱莉主編