等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【教學(xué)目標(biāo)】1. 理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；掌握等差中項(xiàng)的概念2. 逐步靈活應(yīng)用等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式解決問(wèn)題3. 通過(guò)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、推理的能力，滲透由特殊到一般的思想【教學(xué)重點(diǎn)】等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式【教學(xué)難點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用【教學(xué)方法】本節(jié)課主要采用自主探究式教學(xué)方法充分利用現(xiàn)實(shí)情景，盡可能地增加教學(xué)過(guò)程的趣味性、實(shí)踐性在教師的啟發(fā)指導(dǎo)下，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)參與，讓學(xué)生自己去分析、探索，在探索過(guò)程中研究和領(lǐng)悟得出的結(jié)論，從而達(dá)到使學(xué)生既獲得知識(shí)又發(fā)展智能的目的【教學(xué)過(guò)程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入問(wèn)題 某工廠的倉(cāng)庫(kù)

2、里堆放一批鋼管（參見(jiàn)教材圖6-1），共堆放了7層，試從上到下列出每層鋼管的數(shù)量教師出示引例，并提出問(wèn)題學(xué)生探究、解答希望學(xué)生能通過(guò)對(duì)日常生活中的實(shí)際問(wèn)題的分析對(duì)比，建立等差數(shù)列模型，進(jìn)行探究、解答問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程新課新課新課新課新課新課從上例中，我們得到一個(gè)數(shù)列，每層鋼管數(shù)為4，5，6，7，8，9，10.1等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示） 練習(xí)一搶答：下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？1，2，4，6，8，10，12，；0，1，2，3，4，5，6，；3，3，3，3，3，

3、3，3，；2，4，7，11，16，；8，6，4，0，2，4，；3，0，3，6，9，注意：求公差d一定要用后項(xiàng)減前項(xiàng)，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)2常數(shù)列特別地，數(shù)列3，3，3，3，3，3，3，也是等差數(shù)列，它的公差為0公差為0的數(shù)列叫做常數(shù)列3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)是a1，公差是d的等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式可以表示為ana1(n1)d4通項(xiàng)公式的應(yīng)用根據(jù)這個(gè)通項(xiàng)公式，只要已知首項(xiàng)a1和公差d，便可求得等差數(shù)列的任意項(xiàng)an事實(shí)上，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中共有四個(gè)變量，知道其中三個(gè)，便可求出第四個(gè)例1 求等差數(shù)列8，5，2，的通項(xiàng)公式和第20項(xiàng)解 因?yàn)閍1= 8，d = 58=3，所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an =

4、 8+(n-1)×(-3)，即an = 3n + 11所以a20 = 3×20 + 11 = -49.例2 等差數(shù)列5，9，13，的第多少項(xiàng)是401？解 因?yàn)閍1= 5，而且d = 9(5)=4，an = 401，所以 401= 5+ (n1)×(4)解得 n=100即這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)是401練習(xí)二（1）求等差數(shù)列3，7，11，的第4，7，10項(xiàng)（2）求等差數(shù)列10，8，6，的第20項(xiàng)練習(xí)三 在等差數(shù)列an中：（1）d = ，a7 = 8，求a1；（2）a1 = 12，a6 = 27，求d例3 在3與7之間插入一個(gè)數(shù)A，使3，A，7成等差數(shù)列，求A解 因?yàn)?，

5、A，7成等差數(shù)列，所以A3 = 7A，2A = 3 + 7解得A=55等差中項(xiàng)的定義一般地，如果a，A，b 成等差數(shù)列，那么A 叫做a與b的等差中項(xiàng)6等差中項(xiàng)公式如果A 是a與b的等差中項(xiàng)，則A = 這就表明，兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是它們的算術(shù)平均數(shù)7一個(gè)結(jié)論在等差數(shù)列a1，a2，a3，an，中，a2 = ，a3 = ， an = ，這就是說(shuō)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)練習(xí)四 求下列各組數(shù)的等差中項(xiàng)：（1）732與136；（2）與42例4 已知一個(gè)等差數(shù)列的第3項(xiàng)是5，第8項(xiàng)是20，求它的第25項(xiàng)解 因?yàn)閍 3 = 5，a 8 =

6、 20，根據(jù)通項(xiàng)公式得整理，得解此方程組，得a1 = 1，d = 3所以a25 = 1+(251)×3 = 71.強(qiáng)調(diào)：已知首項(xiàng)a1和公差d，便可求得等差數(shù)列的任意項(xiàng)an練習(xí)五（1）已知等差數(shù)列an 中，a1 = 3，an = 21，d = 2，求n（2）已知等差數(shù)列an 中，a4 = 10，a5 = 6，求a8 和d例5 梯子的最高一級(jí)是33 cm，最低一級(jí)是89 cm，中間還有7級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，求中間各級(jí)的寬度解 用an 表示題中的等差數(shù)列已知a1= 33，an = 89，n = 9，則a9 = 33+(91)d ，即89 = 33 + 8d，解得d = 7于是a2 =

7、 33 + 7 = 40，a3 = 40 + 7 = 47，a4 = 47 + 7 = 54，a5 = 54 + 7 = 61，a6 = 61 + 7 = 68，a7 = 68 + 7 = 75，a8 = 75 + 7 = 82即梯子中間各級(jí)的寬從上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm例6 已知一個(gè)直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度成等差數(shù)列求證：它們的比是345證明 設(shè)這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為ad，a，a+d根據(jù)勾股定理，得(ad)2 + a2 =(a+d)2解得a = 4d 于是這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)是3d，4d，5d，即這個(gè)直角三角形的三

8、邊長(zhǎng)的比是345師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，看看這個(gè)數(shù)列有什么特點(diǎn)？學(xué)生觀察、回答教師總結(jié)特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)（即等差）我們給具有這種特征的數(shù)列一個(gè)名字等差數(shù)列教師板書(shū)定義師：等差數(shù)列的例子，在生活中有很多，誰(shuí)能再舉幾個(gè)？教師出示題目學(xué)生思考、搶答師：你能說(shuō)出練習(xí)一中，各等差數(shù)列的公差嗎？學(xué)生說(shuō)出各題的公差d教師訂正并強(qiáng)調(diào)求公差應(yīng)注意的問(wèn)題師：已知一個(gè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，如何求出它的任意項(xiàng)an呢？學(xué)生分組探究，填空，歸納總結(jié)通項(xiàng)公式a2a1 + d，a3= + d = + d= a1 + d，a4= + d = + d= a1 + d，an = a1

9、 + d師：一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)，已知 和 就可以確定下來(lái)？師：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中共有幾個(gè)變量？教師引導(dǎo)學(xué)生分析本題，已知什么？求什么？怎么求？學(xué)生思考、說(shuō)出已知、所求，代入通項(xiàng)公式強(qiáng)調(diào)：通項(xiàng)公式是用含有n 的式子表示 an 學(xué)生嘗試解答后，師生共同板書(shū)解題過(guò)程仿照例1，教師引導(dǎo)、點(diǎn)撥學(xué)生解答多媒體出示解題過(guò)程學(xué)生核對(duì)、訂正教師強(qiáng)調(diào)解題過(guò)程要規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)生練習(xí)請(qǐng)學(xué)生在黑板上做題教師巡視指導(dǎo)師生共同訂正教師出示例題學(xué)生同桌之間合作探究學(xué)生分析解題思路教師出示答案，訂正師：在a與b 之間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b 成等差數(shù)列你能用a，b 來(lái)表示A 嗎？學(xué)生探究、回答教師訂正學(xué)生的回答，給出等差中項(xiàng)

10、的定義和公式師：你能用文字描述一下這個(gè)式子的含義嗎？師：在等差數(shù)列1，3，5，7，9，11，13，中，每相鄰的三項(xiàng)，滿足等差中項(xiàng)的關(guān)系嗎？學(xué)生分組合作探究，得出結(jié)論師：能將這個(gè)結(jié)論推廣到一般的等差數(shù)列中嗎？學(xué)生繼續(xù)分組合作探究教師總結(jié)學(xué)生的回答，給出結(jié)論學(xué)生做練習(xí)學(xué)生回答各題結(jié)果，統(tǒng)一訂正答案教師出示例題學(xué)生分組合作探究教師點(diǎn)撥、引導(dǎo)：（1）例題給出了哪些量？如何用數(shù)列符號(hào)表示？（2）例題中的所求量是什么？需要知道哪些條件？教師總結(jié)學(xué)生思路，給出解題過(guò)程學(xué)生自主練習(xí)教師巡視指導(dǎo)請(qǐng)個(gè)別學(xué)生在黑板上做題后，師生共同訂正教師出示例題引導(dǎo)學(xué)生將題中的已知和未知轉(zhuǎn)化為用數(shù)列符號(hào)表示學(xué)生解答教師巡視指導(dǎo)教

11、師出示解題過(guò)程，強(qiáng)調(diào)解題步驟要規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，敘述要簡(jiǎn)明、完整教師出示例題，提示點(diǎn)撥：當(dāng)已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可將這三個(gè)數(shù)表示為ad，a，a+d，其中d 是公差由于這樣具有對(duì)稱性，運(yùn)算時(shí)往往容易化簡(jiǎn)學(xué)生根據(jù)教師的提示，分組探究請(qǐng)學(xué)生在黑板上做題教師引導(dǎo)學(xué)生訂正解題過(guò)程，規(guī)范解題步驟由特殊到一般，發(fā)揮學(xué)生的自主性，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力在學(xué)生自主探究的基礎(chǔ)上得出定義和公式，更有利于學(xué)生理解和運(yùn)用引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學(xué)生合理的推理能力學(xué)生在分組合作探究過(guò)程中，可能會(huì)找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點(diǎn)評(píng)，并及時(shí)肯定、贊揚(yáng)學(xué)生善于動(dòng)腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)鼓勵(lì)學(xué)生自主解答，培養(yǎng)學(xué)生

12、運(yùn)算能力通過(guò)例題，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的理解，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)以致用的意識(shí)由特殊到一般，發(fā)揮學(xué)生的自主性，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力在學(xué)生自主探究的基礎(chǔ)上得出定義和公式，更有利于學(xué)生理解和運(yùn)用引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學(xué)生合理的推理能力通過(guò)兩道直接套用公式的練習(xí)題，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)中項(xiàng)公式的掌握學(xué)生在分組合作探究過(guò)程中，可能會(huì)找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點(diǎn)評(píng)，并及時(shí)肯定、贊揚(yáng)學(xué)生善于動(dòng)腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)鼓勵(lì)學(xué)生自主解答，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力通過(guò)例題，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的理解，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)以致用的意識(shí)在例題的教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生分析題意，教會(huì)學(xué)生思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的思路與