兩條直線的夾角

1、兩條直線的夾角教學(xué)目的:1. 分清直線丨1到直線12的角與直線12到直線ll的角以及兩條直線li與12的夾角的區(qū)別 與聯(lián)系。2. 掌握直線li到直線12的角的計(jì)算公式3. 掌握直線li與直線12的夾角的計(jì)算公式二、情感目標(biāo)：通過對兩直線的傾斜角與夾角的關(guān)系探索，找出夾角的正切值與兩直線斜率之間的關(guān)系；運(yùn)用兩角差的正切公式， 進(jìn)一步滲透解析幾何的思想， 即用代數(shù)運(yùn)算解決幾何圖形問題； 培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、條理性、深刻性。三、教學(xué)重、難點(diǎn)：1 當(dāng)一條直線斜率不存在時(shí)，如何求解兩直線的夾角。2根據(jù)題意正確使用夾角，到角公式，注意根據(jù)圖形進(jìn)行舍解。四、教學(xué)過程：一引入：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有平行

2、、重合和相交。我們分別用直線的代數(shù)形式去描述了它們的位置關(guān)系。 在相交直線中特殊的位置關(guān)系是垂直，即兩條直線所成角為 90。因此,我們可以用兩直線的夾角大小來描述兩條相交直線的位置關(guān)系。平面上，兩條相交直線 li和12構(gòu)成四個(gè)角，它們是兩對對頂角。為了區(qū)別這些角，通常規(guī)定：直線li繞著交點(diǎn)M按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和12重合時(shí)所得到的角，叫做li到12的角。 直線12繞著交點(diǎn)M按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和li重合時(shí)所得到的角，叫做 丨2到li的角。當(dāng)li 12時(shí)，即li到12的角為90。kik2I或一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在。通過這充要條件啟發(fā)我們，1i到12的角的大小是否也可以與1i、|2的斜

3、率建立關(guān)系呢？二推導(dǎo)：設(shè)兩條直線方程分別是11: yk1xb1,l2: yk2xb2k1,k2均存在，h到l2的角如果k1k2，那么 =90。如果kik2，設(shè)h和12的傾斜角分別是1和2，那么k1 =tg 1， k2=tg 2或(，都有tg tg(tg 2)2tg1 tg 2tg 11一條直線到另一條直線的角，可能不大于直角,也可能大于直角，如果只需要考慮不大于直角的角叫做兩條直線的夾角，那么有tg1 901 k2k1當(dāng)兩條直線平行或重合時(shí)，那么它們的夾角是零度角，此時(shí)公式仍適用。三例題：例1求以下兩直線的夾角。(1) h:x+2y-5=0,12 : 2x-3y+1=0 ；(2)l1 :x-3

4、y-2=0.12 : 2y+3=0 ；(3) 11 :x-5=0, 12 :2x+4y+3=0 ；小結(jié)：直線方程求夾角大小問題。第一小題求出直線斜率后直接套用夾角公式；第二小題其中一條直線斜率為零，既可以套用公式，又可以觀察圖像，顯然夾角不是傾斜角就是 傾斜角的補(bǔ)角；第三小題其中一條直線斜率不存在，不能使用公式，只能觀察圖像，分析傾 斜角與夾角的關(guān)系。例2求經(jīng)過點(diǎn)-5，6且與直線2x+2y-5=0的夾角為45的直線方程。小結(jié)：夾角大小求直線方程問題。據(jù)題意直線過點(diǎn)-5，6，因此只需確定直線斜率 k， 就可寫出直線的點(diǎn)斜式方程。 由夾角公式可求出 k 的值。 根據(jù)圖像特征， 過一點(diǎn)必定會(huì)有兩 條

5、直線與直線的夾角成 45 度，這就提示我們必須解出兩個(gè) k 的值。這道題一解 k=0 時(shí)， 直線方程為y-6=0 ;另一解k不存在，意味著直線方程為 x+5=0。而往往同學(xué)們會(huì)忽略后一 個(gè)答案，認(rèn)為 k 無解，直線方程就不存在。例3等腰 ABC，底邊BC所在的直線方程是 x+y=0，頂點(diǎn)A2，3，它的一條腰AB平行 于直線 x-4y+2=0 ，求另一條腰 AC 所在直線的方程。小結(jié)：此題也是運(yùn)用夾角公式或到角公式求解直線方程的一種類型，它在題目的條件上比擬隱蔽， 沒有直接指出夾角的大小。而在解題過程中，我們也不需要知道夾角大小，只是利用夾角相等建立等式，求出所需直線的斜率，從而確定直線方程。四

6、作業(yè)：練習(xí)冊 P5 8、 10、 11五、反思：通過兩條相交直線所成角的大小來描述兩條相交直線的位置關(guān)系。 之前同學(xué) 們已經(jīng)接觸了互相垂直的直線，它們的斜率成積為 -1。這一結(jié)論的得出，也是建 立在觀察直線傾斜角與夾角的關(guān)系上的。因此同學(xué)們在尋找關(guān)系式時(shí)并不困難。 而是在要求同學(xué)們用斜率去表示夾角時(shí)， 大家陷入了沉默。 顯然對高一所學(xué)的知 識有所遺忘，經(jīng)提醒同學(xué)們能較快的接受兩角差的正切公式與兩直線斜率間的等 式關(guān)系。對例題的選擇由淺入深， 又簡到難。對于這一知識點(diǎn)， 我認(rèn)為解決兩方面的 問題，一是 直線方程求夾角大小問題;二是夾角大小求直線方程問題。首先，在 第一道例題中第 1、2小題使同學(xué)

7、們先熟悉公式，加深公式在頭腦中的印象，第3小題是為了讓大家意識到公式不是萬能的， 它是有局限的， 比方直線斜率不存在或者兩直線斜率為負(fù) 倒數(shù)等，因此還是要求同學(xué)們掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，從根本關(guān)系上入手，理解其本質(zhì)。 其次，第二、三道例題就為應(yīng)用夾角公式去解直線方程的類型。應(yīng)該說公式人人都能記住， 但很多同學(xué)在最終的結(jié)果上卻不能答復(fù)完整。 這意味著同學(xué)們在思維過程中還不夠嚴(yán)密， 往 往會(huì)遺漏斜率不存在這一特殊的解。 有時(shí)運(yùn)用夾角公式解題比擬難于讓人發(fā)現(xiàn)， 比方， 直線 過點(diǎn) 1,0，且被兩平行直線 3x+y-6=0 和 3x+y+3=0 所截的線段的長為 9，求此直線的方程。數(shù)形結(jié)合的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的根本思想方法。 在解