解讀日本提出的非正弦振動(dòng)曲線

1、解讀日本提出的非正弦振動(dòng)曲線（）曾晶 楊拉道 楊超武 雷華 王蓉(西安重型機(jī)械研究所 陜西 西安 710032 摘要： 解讀1992年由日本提出的一種非正弦振動(dòng)曲線，給出曲線表達(dá)式中系數(shù)的求解方法。關(guān)鍵詞：非正弦振動(dòng) 正弦波疊加Crack the non-sin oscillating expression brought forward by Japan（）ZengJing YangLaDao YangChaowu LeiHua WangRong(Xian Heavy Machinery Research Institute, Xian 710032, ChinaAbstract: Crac

2、k the non-sin oscillating expression brought by Japan in 1992 ,and give away to calculate the coefficient in this expression.Key words: no-sin oscillate superposition of sine waves1992年，日本鐵鋼第78年（1992）第1號(hào)發(fā)表了一篇題為“高速鑄造時(shí)鑄型內(nèi)論熱潤(rùn)滑舉動(dòng)鑄型振動(dòng)波形影響”的文章（第113-120頁(yè)），文章中給出了偏斜正弦波可以用多個(gè)正弦波疊加而產(chǎn)生的基本概念，其具體表達(dá)式如下： (1式中 為振動(dòng)的頻率

3、; 為第個(gè)正弦波的振幅; 為時(shí)間;該公式中所涉及的系數(shù)的求解，文章中沒(méi)有公布具體的算法。振動(dòng)曲線的位移、速度、加速度圖像形狀大致如圖1所示。位移 速度 加速度圖1 位移、速度、加速度形式從已知的測(cè)量數(shù)據(jù)及其系數(shù)來(lái)看，該曲線的加速度和其他類似的非正弦振動(dòng)曲線的加速度相比是比較小的。由于是由多個(gè)正弦波的疊加而產(chǎn)生，該振動(dòng)曲線具有任意階導(dǎo)數(shù)，即速度、加速度、躍度全部光滑可導(dǎo)。在不考慮加速度圖像存在二類間斷點(diǎn)的情況下，可以構(gòu)建形如圖2所示的非正弦振動(dòng)的速度曲線，圖中的BC段和DF段均為直線且其斜率互為倒數(shù)。若在振動(dòng)曲線的偏斜率、頻率為、沖程為一定的情況下該曲線在至?xí)r間內(nèi)或至?xí)r間內(nèi)加速度小于任何形式的振

4、動(dòng)曲線。但該曲線明顯不可導(dǎo)，從理論上講加速度圖像存在二類間斷點(diǎn)，在B點(diǎn)F點(diǎn)的加速度趨于無(wú)窮大。如果想在此基礎(chǔ)上去掉二類間斷點(diǎn)并保留BD段和DF段加速度的優(yōu)越性，則可采用傅立葉三角級(jí)數(shù)去表達(dá)該速度曲線。圖2 構(gòu)建的速度曲線確立構(gòu)建的速度曲線的相關(guān)參數(shù)：該速度曲線分為4個(gè)部分，每段均為直線，水平段AB、斜線段BD、斜線段DF、水平段FG，其中C、E兩點(diǎn)處的速度為零，對(duì)應(yīng)位移曲線的波峰和波谷，對(duì)應(yīng)時(shí)間上和的兩個(gè)時(shí)刻。由于斜線段BD、斜線段DF與時(shí)間軸所圍成的面積必須等于沖程，才能保證曲線為周期性的振動(dòng)曲線, 設(shè)最大的速度為，建立方程：設(shè)水平段AB的速度為、斜線段BD的斜率為、 斜線段DF的斜率為，則

5、 式(1其中斜率，因此式（1）也可以寫(xiě)成： 式(2因?yàn)橹本€段AB、斜線段BC與時(shí)間軸所圍城的面積是，設(shè)從點(diǎn)B到點(diǎn)C的時(shí)間為，建立以下方程：因?yàn)椋?，如果，?dāng)時(shí)顯然不合理，所以應(yīng)當(dāng)舍去這組解，因此確立構(gòu)建的速度曲線的位移表達(dá)式：將式(2 積分就可以得到位移的表達(dá)式如下: 其中A、B為常數(shù)，由原函數(shù)必連續(xù)的定理知位移圖像在時(shí)刻、也連續(xù)，建立方程如下：所以位移的最終表達(dá)式為： 式(3確立構(gòu)建的速度曲線的加速度表達(dá)式：將式(2求導(dǎo)就可以得到加速度的表達(dá)式如下： 式(4傅立葉三角級(jí)數(shù)的表達(dá)三角級(jí)數(shù)表達(dá)形式為 從表達(dá)式(3可知，該分段函數(shù)滿足“狄里克雷”條件，可以用傅立葉三角級(jí)數(shù)表示。首先對(duì)式(3式進(jìn)行

6、奇拓延,使函數(shù)的定義域范圍界定在區(qū)間上；由傅立葉三角級(jí)數(shù)一般項(xiàng)系數(shù)的求解公式，給出的顯式表達(dá)：式中：，,令，其中 化簡(jiǎn)后表達(dá)如下： 式（5）對(duì)于由多個(gè)正弦波疊加的非正弦振動(dòng)曲線來(lái)說(shuō)，工程上只能使用有限的正弦波個(gè)數(shù)，一般為35項(xiàng)，因此在對(duì)構(gòu)建曲線進(jìn)行了有35項(xiàng)傅立葉三角級(jí)數(shù)替換后，與原構(gòu)建曲線在著一定的差異，如圖3所示。也正是由于有限的正弦波的個(gè)數(shù)使得該曲線在維持了原構(gòu)建曲線小加速度的特性的同時(shí)，且具有了任意階導(dǎo)函數(shù)，即速度、加速度、躍度均光滑可導(dǎo)。圖3 疊加正弦波和構(gòu)建曲線的差異由于對(duì)工程上使用有限的正弦波進(jìn)行疊加，必然導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果和原構(gòu)造曲線之間在振幅和偏斜率上存在一定的偏差，因此可以通過(guò)計(jì)

7、算機(jī)程序采用二分法得到真實(shí)的偏斜率，然后在此基礎(chǔ)上對(duì)所有參與疊加的正弦波的振幅統(tǒng)一乘以一個(gè)修正系數(shù)，便可得到所要求的精確振幅。從式（5）可知系數(shù)與頻率無(wú)關(guān)，因此可設(shè)非正弦振動(dòng)曲線的沖程為單位“1”，頻率為1次/分鐘建立一張加速度、系數(shù)與偏斜率的關(guān)系表，如表1所示（省略部分表格）。并以此為基礎(chǔ)通過(guò)簡(jiǎn)單的換算關(guān)系得出各種振幅及各種偏斜率的非正弦振動(dòng)的全部系數(shù)及最大加速度。偏斜率5項(xiàng)偏斜率5項(xiàng)A1A2A3A4A5AmaxA1A2A3A4A5Amax34.10%0.44661-0.133130.03171-0.002460.000000.0117137.50%0.43953-0.141590.0404

8、9-0.005900.000000.0130834.20%0.44641-0.133400.03197-0.002540.000000.0117537.60%0.43931-0.141820.04075-0.006020.000000.0131234.30%0.44620-0.133660.03223-0.002630.000000.0117837.70%0.43910-0.142050.04101-0.006140.000000.0131634.40%0.44600-0.133930.03248-0.002710.000000.0118237.80%0.43888-0.142280.0412

9、7-0.006260.000000.0132134.50%0.44579-0.134190.03274-0.002790.000000.0118637.90%0.43867-0.142510.04153-0.006390.000000.0132534.60%0.44559-0.134450.03299-0.002880.000000.0118938.00%0.43845-0.142730.04179-0.006510.000000.0133034.70%0.44538-0.134720.03325-0.002970.000000.0119338.10%0.43823-0.142960.0420

10、6-0.006640.000000.0133434.80%0.44518-0.134980.03351-0.003060.000000.0119738.20%0.43802-0.143180.04232-0.006770.000000.0133934.90%0.44497-0.135240.03377-0.003150.000000.0120138.30%0.43780-0.143400.04258-0.006900.000000.0134335.00%0.44476-0.135490.03402-0.003240.000000.0120538.40%0.43758-0.143620.0428

11、4-0.007030.000000.0134835.10%0.44456-0.135750.03428-0.003330.000000.0120938.50%0.43736-0.143840.04310-0.007160.000000.0135235.20%0.44435-0.136010.03454-0.003420.000000.0121338.60%0.43714-0.144060.04336-0.007300.000000.0135735.30%0.44414-0.136260.03479-0.003520.000000.0121638.70%0.43692-0.144280.0436

12、2-0.007430.000000.0136135.40%0.44394-0.136520.03505-0.003610.000000.0122038.80%0.43669-0.144500.04388-0.007570.000000.0136635.50%0.44373-0.136770.03531-0.003710.000000.0122438.90%0.43647-0.144720.04414-0.007700.000000.0137135.60%0.44352-0.137020.03557-0.003810.000000.0122839.00%0.43625-0.144930.0444

13、1-0.007840.000000.0137535.70%0.44332-0.137270.03583-0.003910.000000.0123239.10%0.43602-0.145150.04467-0.007980.000000.0138035.80%0.44311-0.137520.03608-0.004010.000000.0123639.20%0.43580-0.145360.04493-0.008120.000000.0138535.90%0.44290-0.137770.03634-0.004110.000000.0124039.30%0.43557-0.145570.0451

14、9-0.008260.000000.0139036.00%0.44269-0.138020.03660-0.004210.000000.0124439.40%0.43534-0.145780.04545-0.008400.000000.0139436.10%0.44248-0.138260.03686-0.004320.000000.0124839.50%0.43512-0.146000.04572-0.008540.000000.0139936.20%0.44228-0.138510.03712-0.004420.000000.0125339.60%0.43489-0.146210.0459

15、8-0.008690.000000.0140436.30%0.44207-0.138750.03738-0.004530.000000.0125739.70%0.43466-0.146410.04624-0.008830.000000.0140936.40%0.44186-0.138990.03764-0.004640.000000.0126139.80%0.43443-0.146620.04650-0.008980.000000.0141436.50%0.44165-0.139230.03790-0.004740.000000.0126539.90%0.43420-0.146830.0467

16、6-0.009130.000000.0141836.60%0.44144-0.139480.03816-0.004850.000000.0126940.00%0.43410-0.147080.04704-0.009280.000160.0142436.70%0.44123-0.139710.03841-0.004970.000000.0127340.10%0.43389-0.147290.04731-0.009430.000180.0142936.80%0.44102-0.139950.03867-0.005080.000000.0127740.20%0.43367-0.147500.0475

17、7-0.009580.000200.0143436.90%0.44081-0.140190.03893-0.005190.000000.0128240.30%0.43346-0.147710.04783-0.009740.000220.0143937.00%0.44059-0.140430.03919-0.005310.000000.0128640.40%0.43324-0.147920.04810-0.009890.000250.0144437.10%0.44038-0.140660.03945-0.005420.000000.0129040.50%0.43303-0.148120.04836-0.010040.000270.0144937.20%0.44017-0.140900.03971-0.005540.000000.0129540.60%0.43281-0.148330.04862-0.010200.000290.0145437.30%0.43996-0.141130.03997-0.005660.000000.0129940.70%0.43260-0.148530.04889-0.010350.000320.0145937.40%0.43974-0.141360.04023-0.005