數(shù)值分析2014年復(fù)習(xí)題部分答案

1、1. 求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式，使它滿足解法一（待定參數(shù)法） 滿足的Hermite插值多項(xiàng)式為設(shè)，令得于是解法二（帶重節(jié)點(diǎn)的Newton插值法） 建立如下差商表這樣可以寫出Newton插值公式 3. 設(shè)，在上取，按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù)，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處與的值，并估計(jì)誤差解 步長(zhǎng)，在區(qū)間上的線性插值函數(shù) 分段線性插值函數(shù)定義如下， 各區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值及插值函數(shù)值如表所示估計(jì)誤差：在區(qū)間上 而令得的駐點(diǎn)，于是故有結(jié)論， 右端與無(wú)關(guān)，于是有， 4. 設(shè)且求證：證明 以和為插值節(jié)點(diǎn)建立的不超過(guò)一次的插值多項(xiàng)式應(yīng)用插值余項(xiàng)公式有 8. 求函數(shù)在指定區(qū)間上關(guān)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式解 對(duì)做線性變

2、換，即利用勒讓德正交多項(xiàng)式為基建立的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式的最佳平方逼近為10. 計(jì)算積分，若復(fù)化梯形公式，問(wèn)區(qū)間應(yīng)分多少等份才能使截?cái)嗾`差不超過(guò) ？若改用復(fù)化辛普森公式，要達(dá)到同樣精確度，區(qū)間應(yīng)分多少等份？解 由于，故對(duì)復(fù)化梯形公式，要求即 。取，即將區(qū)間分為213等份時(shí)，用復(fù)化梯形公式計(jì)算，截?cái)嗾`差不超過(guò)。用復(fù)化辛普森公式，要求即。取，即將區(qū)間等分為8等份時(shí)，復(fù)化辛普森公式可達(dá)精度。12. 已知。（1）推導(dǎo)以這3個(gè)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)在上的插值型求積公式；（2）指明求積公式所具有的代數(shù)精確度；（3）用所求公式計(jì)算。解 （1）過(guò)這3個(gè)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式故其中故所求的插值型求積公式為（2）上述求積公式是

3、由二次插值函數(shù)積分而來(lái)，故至少具有2次代數(shù)精確度。再將代入上述求積公式，有故上述求積公式具有3次代數(shù)精確度。（3）由于該求積公式具有3次代數(shù)精確度，從而為的精確度。13. 確定中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度。解 令，代入公式兩端并令其相等，得解得 令，得令，得故求積公式具有3次代數(shù)精確度。17. 用追趕法求解如下的三對(duì)角方程組解 設(shè)有分解由公式其中分別是系數(shù)矩陣的主對(duì)角線元素及其下邊和上邊的次對(duì)角線元素，故有從而有故 ，故 ，18. 設(shè)，求解方程組，求雅可比迭代法與高斯-賽德?tīng)柕ㄊ諗康某湟獥l件。解 雅可比法的迭代矩陣 ，故雅可比法收斂的充要條件是。高斯

4、-賽德?tīng)柗ǖ牡仃?，故高?賽德?tīng)柗ㄊ諗康某湟獥l件是。19. 設(shè)求解方程組的雅可比迭代格式為，其中，求證：若，則相應(yīng)的高斯-賽德?tīng)柗ㄊ諗俊ＷC明 由于是雅可比法的迭代矩陣，故 又，故，即，故故系數(shù)矩陣A按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，從而高斯-賽德?tīng)柗ㄊ諗俊?3. 對(duì)于迭代函數(shù)，試討論：（1） 當(dāng)為何值時(shí)，產(chǎn)生的序列收斂于；（2） 取何值時(shí)收斂最快？（3） 分別取計(jì)算的不動(dòng)點(diǎn)，要求解 （1），根據(jù)定理7.3，當(dāng)，亦即時(shí)迭代收斂。（2）由定理7.4知，當(dāng)，即時(shí)迭代至少是二階收斂的，收斂最快。（3）分別取，并取，迭代計(jì)算結(jié)果如表7-4所示。01612131.21.481.4133695861.4142093031.414215327012341.21.3979898991.4141205051.4142135591.414213562此時(shí)都達(dá)到。事實(shí)上，24. 設(shè)