圓錐曲線切線的一組性質(zhì)

1、圓錐曲線切線中的一個(gè)定值問(wèn)題江蘇省常熟市教育局教研室 解永良（郵編215500 電子信箱csjy_xyl聯(lián)系電話）初中平面幾何中有下面的性質(zhì):如圖從定圓O外一定點(diǎn)P引圓O的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，過(guò)圓上的任一點(diǎn)引圓的切線交PA、PB于C、D，則是定值圓有上述性質(zhì)，那么圓錐曲線是否也有相應(yīng)的結(jié)論呢？經(jīng)過(guò)筆者POACDB探索發(fā)現(xiàn)，圓錐曲線確實(shí)也有相應(yīng)的性質(zhì)，下面分別對(duì)拋物線、橢圓、雙曲線給出相應(yīng)的結(jié)論，供讀者參考定理1 已知拋物線，定點(diǎn)滿足，過(guò)M作拋物線的兩條切線MA、MB，A、B為切點(diǎn)，F(xiàn)yxABMFOQHP是焦點(diǎn)，在拋物線上任取一點(diǎn),P (異于點(diǎn)、），過(guò)P作拋物線的切線交MA、MB(

2、或其延長(zhǎng)線)于H、Q，連結(jié)FQ、FH. （）當(dāng)時(shí),直線FH、FQ 的夾角為定值;（）當(dāng)時(shí)，直線FH、FQ 的夾角為定值.證明：（）（）當(dāng)過(guò)M作拋物線的切線斜率都存在時(shí),即時(shí),設(shè)其方程為 代入整理得 ， 由=0，得 ，即 ，設(shè)切線MA、MB的斜率分別為、，則，,.設(shè)P點(diǎn)為,則過(guò)P點(diǎn)的切線為,由,設(shè),則.,同理.設(shè)直線FH、FQ 的夾角為，則= 記上述分式為，則A=， .故, 即直線FH、FQ 的夾角為定值.yQ（A）BMFOHPx（）當(dāng)時(shí)，即M在y軸上時(shí),如圖，由（）知，設(shè)P點(diǎn)為,則過(guò)P點(diǎn)的切線為,由，設(shè),則，又，則，設(shè)直線FH、FQ 的夾角為，則，所以，由于時(shí)=.綜合得當(dāng)時(shí)，直線FH、FQ 的

3、夾角為定值.（）當(dāng)時(shí),過(guò)M作拋物線的切線,設(shè)其方程為 代入整理得 ，設(shè)切線MA、MB的斜率分別為、，因?yàn)?則，,設(shè)P點(diǎn)為,則過(guò)P點(diǎn)的切線為,由,設(shè),則.,同理.所以=.APHMBF所以直線FH、FQ 的夾角為定值.Q定理2 已知橢圓,定點(diǎn)滿足,過(guò)M作橢圓的兩條切線MA、MB，A、B為切點(diǎn)，,F是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上任取一點(diǎn)P（異于點(diǎn)、），過(guò)P作橢圓的切線交MA、MB(或其延長(zhǎng)線)于H、Q，連結(jié)FQ、FH 、H、Q.()當(dāng)時(shí),直線FH、FQ 的夾角為定值, 直線H、Q的夾角為定值;() 當(dāng)時(shí)直線FH、FQ夾角為定值;當(dāng)時(shí),直線、Q夾角為定值.證明:下面以F為例給出證明.()（）當(dāng)過(guò)M作橢圓

4、的切線的斜率都存在時(shí),即時(shí),設(shè)其方程為 代入橢圓方程 ， 整理得 ,由=0得,即,設(shè),的斜率分別為,則 ,設(shè)P點(diǎn)為,則過(guò)P點(diǎn)的切線為,由（1）代入（2）得，設(shè)H點(diǎn)為，所以 ，代入（1）得,.同理可得 記,.設(shè)直線FH、FQ 的夾角為，則，因?yàn)?， =, ， =,所以 = + +=+，故,即直線FH、FQ 的夾角為定值. QAPHMBF() 當(dāng)時(shí), 設(shè)P點(diǎn)為,，則過(guò)點(diǎn)P的切線為，由 ,設(shè)H點(diǎn)為,據(jù)()知,所以,又因?yàn)镼點(diǎn)為,所以,設(shè)FH、FQ 的夾角為，則=. 即 .由于當(dāng)時(shí)=.所以綜合得當(dāng)時(shí),直線FH、FQ 的夾角為定值.對(duì)左焦點(diǎn)情況同理可證(證明略).()先證明當(dāng)時(shí)的情況.設(shè)過(guò)M作橢圓的切線的方程為,代入整理得 ,由=0,整理得 ,設(shè)MA、MB的斜率分別為,因?yàn)?，則 ,.設(shè)P點(diǎn)為, ,則過(guò)點(diǎn)P的切線為, 由 ，據(jù)（）的推導(dǎo)過(guò)程，由,設(shè)H點(diǎn)為,則，,所以.同理. 所以當(dāng)時(shí), 直線FH、FQ 的夾角為定值當(dāng)，同理可證直線、的夾角為定值.拋物線、橢圓有上述性質(zhì)，雙曲線情況如何呢？事實(shí)上雙曲線有下面的定理3.BAMFQPy定理3 已知雙曲線,定點(diǎn)滿足且,過(guò)M作雙曲線的兩條切線MA、MB，A、B為切點(diǎn)，,F是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，在雙曲線上任取一點(diǎn)P（異于點(diǎn)、），過(guò)P作雙曲線的切線交MA、MB(或其延長(zhǎng)線)于H、Q，連結(jié)FQ、FH 、.()當(dāng)時(shí),直線FH、FQ 的夾