雙曲線教學(xué)(老師用)_百度文庫(kù)

1、課題：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（一）教學(xué)目標(biāo)1.掌握雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法；2.掌握焦點(diǎn)、焦距、焦點(diǎn)位置與方程關(guān)系；3.認(rèn)識(shí)雙曲線的變化規(guī)律.教學(xué)重點(diǎn) 雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn) 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)教學(xué)過程1、設(shè)置情境我們已經(jīng)知道，與兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，那么與兩定點(diǎn)的距離的差為非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線呢？（用雙曲線演示模板畫出雙曲線）下面我們給出雙曲線的定義，并研究雙曲線的方程.2、探索研究雙曲線的定義：（1）      繪圖演示（2）      分析原理（3）&

2、#160;     歸納定義（注意與橢圓比較）我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于 ）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.說明常數(shù)小于 ；這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)；這兩焦點(diǎn)的距離叫雙曲線的焦距.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)推導(dǎo)過程：參見課本p.105如圖812，建立直角坐標(biāo)系xOy，使x軸經(jīng)過點(diǎn)F1、F2，并且點(diǎn)O與線段F1F2的中點(diǎn)重合.設(shè)M（x,y）是雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為2c(c>0，那么，焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0、(c,0.又設(shè)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a.由定義可知，雙

3、曲線就是集合 將方程化簡(jiǎn)得(c2a2x2a2y2=a2(c2a2.由雙曲線的定義可知，2c>2a，即c>a，所以c2a2>0，令c2a2=b2，其中b>0，代入上式得 (a>0,b>0.（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式形式一： （a>0,b>0）說明：此方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.焦點(diǎn)是F1(c,0、F2(c,0，這里c2=a2+b2.形式二： （a>0,b>0）說明：此方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，焦點(diǎn)是F1(0，c、F2(0， c，這里c2=a2+b2.3、反思應(yīng)用例1求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）  &

4、#160;    a=4, c=5, 焦點(diǎn)在x軸上；（2）       焦點(diǎn)為（-5，0），（5，0），且b =3（3）       a=4, 經(jīng)過點(diǎn) ；（4）       焦點(diǎn)在y軸上，且過點(diǎn) 分析 根據(jù)已知條件求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的a, b 即可，注意標(biāo)準(zhǔn)方程的形式例2（課本例） 已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1（5，0）、F2（5，0），雙曲線上一點(diǎn)P到F1、F2的距離的差的絕對(duì)值

5、等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為： (a>0,b>0.2a=6,2c=10,a=3,c=5.b2=5232=16所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為說明：例1、2目的在于讓學(xué)生熟悉雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.例3、證明橢圓x2/25y2/191與雙曲線x215y215的焦點(diǎn)相同。 分析：分別求出橢圓及雙曲線的焦點(diǎn)即可例4、已知方程 表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，求k的取值范圍隨堂練習(xí)(課本P107 2, 4 已知方程 表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程a=4,b=3，焦點(diǎn)在x軸上；焦點(diǎn)為(0,6,(0,6，經(jīng)過點(diǎn)(2

6、,5焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過點(diǎn) 4、歸納總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合，待定系數(shù)法，分類討論掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，并利用焦點(diǎn)、焦距與方程關(guān)系確定雙曲線方程.5、課后作業(yè)習(xí)題 1、2、3雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（二）教學(xué)目標(biāo) 1.進(jìn)一步掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，特別是用定義法和待定系數(shù)法；2.了解雙曲線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn) 雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn) 雙曲線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)回顧（1）雙曲線定義（2）兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程過點(diǎn)P(3,15/4,Q(16/3,5，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上； 經(jīng)過點(diǎn)(5,2，且

7、焦點(diǎn)在x軸上；與雙曲線x2/16y2/41有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn) 。分析：設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0，則解得 所求方程為x2/16y2/91小結(jié)：“巧設(shè)”方程為“為mx2ny21(mn0”避免分兩種情況進(jìn)行討論。 且焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/my2/(6m1（0m6）雙曲線經(jīng)過(5,2，25/m4/(m61，解得m5或m30（舍去）所求方程為x2/5y21與雙曲線x2/16y2/41有相同的焦點(diǎn)，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 雙曲線經(jīng)過點(diǎn) ， ，解得4或1(舍去所求方程為x2/12y2/81小結(jié)：注意到了與雙曲線 x2/16y2/41共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為 后，便有了上述巧妙的設(shè)法

8、。已知雙曲線x2/a2y2/b21（a>0,b>0）, 求過它的焦點(diǎn)且垂直于x 軸的弦長(zhǎng)分析：設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F（c,0），過F且垂直于x軸的弦為AB，要求AB的長(zhǎng)，只需確定弦的一個(gè)端點(diǎn)A或B的縱坐標(biāo)即可|AB|2a2/c變：雙曲線x2/4y2/121上的點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為6，這樣的點(diǎn)有個(gè)。一動(dòng)圓P過定點(diǎn)M（4，0），且與已知圓N：(x42y216相切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡。分析：由題意，列出動(dòng)圓圓心滿足的幾何條件，若能由此條判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是哪種曲線，則可直接求出其軌跡方程來內(nèi)切時(shí)，定圓N在動(dòng)圓P的內(nèi)部，有|PC|PM|4，外切時(shí)，有|PC|PM|4，故點(diǎn)P的軌跡是雙曲線x2

9、/4y2/121。已知?jiǎng)訄AP與定圓C1：(x52y249,C2：(x52y21 都相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程分析：外切有|PC1|7r, |PC2|1r，|PC1|PC2|6，內(nèi)切有|PC1|r7, |PC2|r 1，|PC2|PC1|6故點(diǎn)P的軌跡是雙曲線x2/9y2/1612、探索研究：例（課本）一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2 s.（1）爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？（2）已知A、B兩地相距800 m，并且此時(shí)聲速為340 m/s，求曲線的方程.解（1）由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時(shí)間差，可知A、B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差，因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上.因?yàn)?/p>

10、爆炸點(diǎn)離A處比離B處更遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的一支上.（2）如圖814，建立直角坐標(biāo)系xOy，使A、B兩點(diǎn)在x軸上，并且點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合.設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），則即2a=680,a=340.又 2c=800,c=400, b2=c2a2=44400. x>0.所求雙曲線的方程為： (x>0.說明：該例表明，利用兩個(gè)不同的觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得同一炮彈爆炸聲的時(shí)間差，可以確定爆炸點(diǎn)所在的雙曲線的方程，但不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.而現(xiàn)實(shí)生活中為了安全，我們最關(guān)心的則是爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，那么我們?nèi)绾谓鉀Q這個(gè)問題呢？如果再增設(shè)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，利用B、C（或A、C）兩處測(cè)得的爆炸聲的時(shí)

11、間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用.如果A、B兩點(diǎn)同時(shí)聽到爆炸聲，說明爆炸點(diǎn)到A、B的距離相等，那么爆炸點(diǎn)應(yīng)在怎樣的曲線上？AB的中垂線。4、歸納總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合，待定系數(shù)法，分類討論掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，并利用焦點(diǎn)、焦距與方程關(guān)系確定雙曲線方程.5、課后作業(yè)習(xí)題 4,5,6.四 雙曲線§ 2.11 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力。（

12、三）學(xué)科滲透點(diǎn)本次課注意發(fā)揮類比和設(shè)想的作用，與橢圓進(jìn)行類比、設(shè)想，使學(xué)生得到關(guān)于雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程一個(gè)比較深刻的認(rèn)識(shí)。二、教材分析1、重點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（解決辦法：通過一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)得出雙曲線，再通過設(shè)問給出雙曲線的定義；對(duì)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程通過比較加深認(rèn)識(shí)）2、難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)（解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生完成，提醒學(xué)生與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)類比）3、疑點(diǎn)：雙曲線的方程是二次函數(shù)關(guān)系嗎？（解決方法：教師可以從引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時(shí)讓學(xué)生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)式）三、活動(dòng)設(shè)計(jì)提問、實(shí)驗(yàn)、設(shè)問、歸納定義、講解、演板

13、、口答、重點(diǎn)講解、小結(jié)四、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)提問1、橢圓的定義是什么？（學(xué)生回答、教師板書）平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓，教師要強(qiáng)調(diào)條件：（1）平面內(nèi)；（2）到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)；（3）常數(shù)2a>|F1F2|2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？（學(xué)生口答，教師板書）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2、a2+y2/b2=1（a>b>0）；焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為y2/a2+x2/b2=1（a>b>O）（二）雙曲線的概念把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程是怎樣的呢？1、簡(jiǎn)單

14、實(shí)驗(yàn)（邊演示、邊說明）如圖2-23，定點(diǎn)F1、F2是兩個(gè)按釘，MN是一個(gè)細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿過套管，點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫出另一支。注意：常數(shù)要大小于|F1F2|，否則作不出圖形，這們作出的曲線就叫做雙曲線。2、設(shè)問問題1：定點(diǎn)F1、F2與動(dòng)點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？請(qǐng)學(xué)生回答，不能，強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”問題2：|MF1|與|MF2|哪個(gè)大？請(qǐng)學(xué)生回答，不定：當(dāng)M在雙曲線右支上時(shí)，|MF1|<|MF2|；當(dāng)然M在雙曲線左支上時(shí)，|MF1|-|MF2|問題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)F1、F2距離的差是否

15、就是|MF1|-|MF2|？請(qǐng)學(xué)生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零，當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時(shí)，軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)>|F1F2|時(shí)，無軌跡3、定義在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于|F1F2|的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距）教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對(duì)照來記憶，不要死記。（三）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程現(xiàn)在來研究雙曲線的方程，我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程。這時(shí)設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引

16、導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo)。標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；（1）建系設(shè)點(diǎn)取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1、F2的垂直平分線為y軸（如圖2-24）建立直角坐標(biāo)系設(shè)M（x，y）為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c（c>0），那么F1、F2的坐標(biāo)分別是（-c，0）、（c，0）。又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)。（2）點(diǎn)的集合由定義可知，雙曲線就是集合：P=M|MF1|-| MF2|=2a=M|MF1|-| MF2|=±2a（3）代數(shù)方程|MF1|=（x+c）2+y2，|MF2|=（x-c）2+y2 ，（x+c）2+y2 -（x-c）2+y2 =±2a（4）化簡(jiǎn)方

17、程（由學(xué)生演板）將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得：（x+c）2+y2 =4a2±4a（x-c）2+y2 +（x-c）2+y2 化簡(jiǎn)得：cx-a2=±（x-c）2+y2 兩邊再平方，整理得：（c2-a2）x2-a2y2=a（c2-a2）（以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)。）由雙曲線定義，2c2a即ca，所以c2-a20設(shè)C2-a2=b2（b0），代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2 即 x2/a2-y2/b2=1這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較（引導(dǎo)學(xué)生歸納）：（1）x2/a2-y2/b2=1（a0，b0）表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，焦點(diǎn)是F1（-c，0）、F2（c，0

18、），這里c2=a2+b2；（2）y2/a2-x2/b2=1（a0，b0）表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，焦點(diǎn)是F1（0，-c）、F2（0，c），這里c2=a2+b2（只須將（1）方程的x、y互換即可得到）。教師指出：（1）雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a0，b0，但a不一定大于b；（2）如果x2 項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上，注意有別于橢圓能過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上。（3）雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2 。（四）練習(xí)與例題1、求滿足下列的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)F1（-3，0）、F2（3，0），且2

19、a=4；本題由學(xué)生先練習(xí)再口答：x2/4-y2/5=1；2、證明：橢圓x2/25-y2/9=1與雙曲線x2-15y2=15的焦點(diǎn)相同。由學(xué)生演板完成，橢圓焦點(diǎn)F1（-4，0）、F2（4，0）；雙曲線焦點(diǎn)F1 （-4，0）、F2 （4，0）。3、已知兩點(diǎn)F1（-5，0）、F2（5，0），求與它們的距離的差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡方程，如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？由教師講解：按定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42 因此，所求方程是x2/32-y2/42，即x2/9-y2/16=1因?yàn)椋?a=12，2c=10，且2a2c所

20、以動(dòng)點(diǎn)無軌跡（五）小結(jié)1、定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡。2、標(biāo)準(zhǔn)方程：x2/a2-y2/b2=1（，），2/a2-2/b2=1（，）、圖形（見圖2-25）4、焦點(diǎn)：F1（-c，0）、F2（c，0）；5、a、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c2=a2+b2 五、布置作業(yè)1、根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（-6，0）、（6，0），并且經(jīng)過點(diǎn)A（-5，2）；（2）經(jīng)過點(diǎn)P（-3，27）和Q（-62，-7），焦點(diǎn)在y軸上。2、已知x2/1+k+y2/1-k=1表示雙曲線，求k的取值范圍。3、已知圓錐曲線的方程為mx2+ny

21、2=m+n（m0m+n，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)。作業(yè)答案：1、（1）x2/20-y2/16=1（2）y2/25-x2/75=12、由（1+k）（1-k）0解得：k-1或k13、原方程可化為：x2/（m+n）/m+y2/（m+n）/n=1m+n/m0，m+n/n，故此曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，a2=m+n/n，b2=-m+n/-m，c=a2+b2=m2-n2/mn焦點(diǎn)F1（0，-m2-n2/mn）、F2（0，-m2-n2/mn）六、板書設(shè)計(jì)§2.12 雙曲線的幾何性質(zhì)一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)出這些性質(zhì)，并能具體估計(jì)雙曲線的形

22、狀特征。（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力。（三）學(xué)科滲透點(diǎn)使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題。二、教材分析1、重點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用。（解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓的幾何性質(zhì)得出，至于漸近線引導(dǎo)學(xué)生證明。）2、難點(diǎn)：雙曲線的漸近線方程的導(dǎo)出和論證。（解決辦法：先引導(dǎo)學(xué)生觀察以原點(diǎn)為中心，2a、2b長(zhǎng)為鄰邊的矩形的兩條對(duì)角線，再論證這兩條對(duì)角線即為雙曲線的漸近線。）3、疑點(diǎn)：雙曲線的漸近線的證明。（解決辦法：通過詳細(xì)講解。）三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

23、提問、類比、重點(diǎn)講解、演板、講解并歸納、小結(jié)。四、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)提問引人新課1、橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？請(qǐng)一同學(xué)回答。應(yīng)為：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率，是從標(biāo)準(zhǔn)方程探討的。2、雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？再請(qǐng)一同學(xué)回答，應(yīng)為：中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2-y2/b2=1；中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2/a2-x2/b2=1。下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì)。（二）類比聯(lián)想得出性質(zhì)（性質(zhì)1-3）引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格（讓學(xué)生回答，教師引導(dǎo)、啟發(fā)、訂正并板書），<見下頁>（三）問題之中導(dǎo)出漸近線（性

24、質(zhì)4）在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)，以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對(duì)于估計(jì)橢圓的形狀，畫出橢圓的簡(jiǎn)圖都有很大作用，試問對(duì)雙曲線x2/a2-y2/b2=1，仍以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形（板書圖形），那么雙曲線和這個(gè)矩形有什么關(guān)系？這個(gè)矩形對(duì)于估計(jì)和畫出雙曲線簡(jiǎn)圖（圖2-26）有什么指導(dǎo)意義？這些問題不要求學(xué)生回答，只引起學(xué)生類比聯(lián)想。接著再提出問題：當(dāng)a、b為已知時(shí)，這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線的方程是什么？請(qǐng)一同學(xué)回答，應(yīng)為y=±b/a x，并畫出兩條對(duì)角線，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從圖觀察得出結(jié)論：雙曲線x2/a2-y2/b2=1的各支向外延伸時(shí)，與這兩條漸近線逐漸接近。下面，我們來證明它；雙曲

25、線在第一象限的部分可寫成：y=b/ax2-a2（xa）設(shè)M（x，y）是它上面的點(diǎn)，N（x，7）是直線y=b/a x上與M有相同的橫坐標(biāo)的點(diǎn)，則y=b/a x。y=b/ax2-a2=b/ax1-（a/x）2b/ax=y|MN|=y-y=b/a（x-x2-a2）=b/a（x-x2-a2）（x+x2-a2）/ x+x2-a2 =ab/ x+x2-a2 設(shè)|MQ|是點(diǎn)M到直線y=b/ax的距離，則有|MQ|MN|當(dāng)x逐漸增大時(shí)，|MN|逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON。在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況。我們把兩

26、條直線y=±b/ax叫做雙曲線的漸近線?，F(xiàn)在來看看實(shí)軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點(diǎn)y軸上的雙曲線方程是由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對(duì)調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字母對(duì)調(diào)而得，所以，雙曲線y2/a2-x2/b2=1的漸近線的方程是x=±b/a y即y=±a/b x。定義：直線y=±a/b x叫做雙曲線x2/a2-y2/b2=1的漸近線。這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精確地畫出雙曲線。例如：畫雙曲線x2/25-y2/16=1，先作漸近線y=±4/5x，再描幾個(gè)點(diǎn)，就

27、可以隨后畫出比較精確的雙曲線。（四）順其自然介紹離心率（性質(zhì)5）由于正確認(rèn)識(shí)了漸近線的概念，對(duì)于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對(duì)雙曲線的形狀的影響：1、雙曲線的焦距與實(shí)軸的比e=c/a叫做雙曲線的離心率，且e1。2、由于b/a=c2-a2/a= c2/a2 1=e2-1，所以e越大，b/a也越大，即漸近線y=±b/ax的斜率絕對(duì)值越大，這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊。這時(shí)，教師指出：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變。（五）練

28、習(xí)與例題1、求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。請(qǐng)一學(xué)生演板，其他同學(xué)練習(xí)，教師巡視，練習(xí)畢予以訂正。解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程y2/42=x2/32=1 由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a=4，虛半軸長(zhǎng)b=3。C=a2+b2=42+32=5焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-5），（0，5）離心率為e=c/a=5/4漸近一方程為x=±3/4y，即y=±4/3x 2、點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)F（c，o）的距離和它到定直線l：x=a2/c的距離的比是常數(shù)（c/a）（ca0），求點(diǎn)M的軌跡（圖2-27）。本題實(shí)質(zhì)上是雙曲線的第二定義，要重點(diǎn)講解并加以歸納小結(jié)。解：設(shè)d是

29、點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合：P=M|MF|/d=c/a由此得（x-c）x2-a2y2=a2（c2-a2）設(shè)c2-a2=b2，就可化為x2/a2-y2/b2=1這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。由此例不難歸納出雙曲線的第二定義。（一） 雙曲線的第二定義1、定義（由學(xué)生歸納給出）平面內(nèi)點(diǎn)M與一定點(diǎn)的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e=c/a（e1）時(shí)，這個(gè)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。2、說明（1）對(duì)于雙曲線x2/a2-x2/2=1，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）的準(zhǔn)線方程是x=a2/c，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（-c，0）的準(zhǔn)

30、線方程是x=-a2/c。（2）對(duì)于雙曲線y2/a2-x2/b2=1，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（0，c）的準(zhǔn)線方程是y=a2/c，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（0，-c）的準(zhǔn)線方程是y=-a2/c。（二） 小結(jié)（由學(xué)生課后完成）將雙曲線的幾何性質(zhì)按兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式列表小結(jié)。五、布置作業(yè)1、已知雙曲線方程如下，求它們的兩個(gè)焦點(diǎn)、離心率e和漸近線方程。（1）16x2-9y2=144；（2）16x2-9y2=-144。2、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）實(shí)軸的長(zhǎng)是10，虛軸長(zhǎng)是8，焦點(diǎn)在x軸上；（2）焦距是10，虛軸長(zhǎng)是8，焦點(diǎn)在y軸上；（3）離心率e=2，經(jīng)過點(diǎn)M（-5，3）；（1） 兩條漸近線的方程是y=±2/3x，經(jīng)過

31、點(diǎn)M（9/2，-1）。3、求以橢圓x2/8+y2/5=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，而以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程。4、已知雙曲線x2/4-y2/5=1上的P點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離等于3，求P點(diǎn)到兩準(zhǔn)線及右焦點(diǎn)的距離。作業(yè)答案：1、（1）F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），e=5/3，漸近線方程為y=±4/3x。（2）（1）F1（0，-5），F(xiàn)2（0，5），e=5/4，漸近線方程為y=±4/3x。2、（1）x2/25-y2/16=1 （2）y2/9-x2/16=1（3）x2/16-y2/16=1 （4）x2/18-y2/8=13、x2/3-y2/5=14、P點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為2，到右準(zhǔn)線的距

32、離是14/3，到右焦點(diǎn)的距離為7。六、板書設(shè)計(jì)§2.13雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)的應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生進(jìn)一步理解雙曲線的定義，掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)。（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)通過對(duì)雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的進(jìn)一步研究，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用雙曲線的各方面知識(shí)的能力。（三）學(xué)科滲透點(diǎn)雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)是來源于實(shí)踐的理論，同時(shí)服務(wù)于實(shí)踐，通過本次課可進(jìn)行辯證唯物主義思想教育。二、教材分析1、重點(diǎn)：雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)的應(yīng)用。（解決辦法：多加強(qiáng)這方面的題型訓(xùn)練，使學(xué)生掌握它們的規(guī)律。）2、難點(diǎn)：雙曲線的焦半徑和弦長(zhǎng)問題。（解決辦法

33、：先證明焦半徑公式，再用它解決一些問題。）3、疑點(diǎn)：雙曲線的焦半徑公式的復(fù)雜性（解決辦法：將雙曲線的焦半徑用一表格小結(jié)出來。）三、活動(dòng)設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)提問、填表、講解、口答、演板、討論四、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)1、定義：（請(qǐng)兩名學(xué)生回答，教師板書）第一定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)2a（2a|F1F2|=2c）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2 叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距，即|PF1|-|PF2|=2a （2a|F1F2|=2a第二定義：平面內(nèi)點(diǎn)M與定點(diǎn)F的距離和它到一條定直線l的距離的比是常數(shù)e=c/a（e1）時(shí)，這個(gè)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，定點(diǎn)F是雙曲線

34、的焦點(diǎn)，定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。2、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì)（教師事先準(zhǔn)備一塊小黑板，設(shè)計(jì)如下表格，請(qǐng)兩名同學(xué)填寫，其他同學(xué)糾錯(cuò)，教師巡視。）3、共軛雙曲線的性質(zhì)（共軛雙曲線是指以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸而得到雙曲線，參考課本例3）：（1）雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸近線；（2）雙曲線和它的共軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上。（二）舉例例1 已知雙曲線漸近線方程是y=1/2x，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距是10，求它的方程。分析：由于雙曲線的焦點(diǎn)位置未確定，所以雙曲線的方程可設(shè)兩種情形：x2/a2-y2/b2=1 或 y2/a2-x2/b2=1 解：（由學(xué)生演板完成

35、）設(shè)雙曲線方程為x2/a2-y2/b2=1 或 y2/a2-x2/b2=1 ，則有：b/a=1/2 或 a/b=1/22c=10 2c=10c2=a2+b2 c2=a2+b2 即 a2=20 或 a2=5b2=5 b2=20故所求的雙曲線方程為x2/20-y2/5=1或y2/5-x2/20=1再分析：在家知道已知雙曲線可以確定唯一的漸近線的方程；反之，如果已知雙曲線的漸近線方程，能否確定唯一的雙曲線方程呢？從上述解法以及共軛雙曲線的性質(zhì)易知：雙曲線不唯一。一般地，以x/a±y/b=0為漸近線的雙曲線系x2/a2-y2/b2=（R且0）當(dāng)0時(shí)，雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)0時(shí)，雙

36、曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上。另解：（教師講解并板書） 可設(shè)所求的雙曲線方程為x±2y=0可設(shè)所求的雙曲線方程為 x2-4y2=（R且0）即x2/-y2/4=1|+|/4=C2=25， |=20，即=±20所求雙曲線方程為x2/20-y2/5=1或y2/5-x2/20=1例 2 已知F1、F2是雙曲線16x2-9y2=144的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|=32，求F1PF2的大小。解：原方程化為x2/9-y2/16=1。 a2=9， b2=16 c2=25從而|F1F2|=2c=10又由雙曲線的定義可得：|PF1|+|PF2|=2a=6|PF

37、1|2+|PF2|2=（|PF1|-|PF2|）2+2|PF1|PF2|=62+2×32=100而|F1 F2|2 =100 |PF1|2+|PF2|2 =|F1 F2|2 F1PF2=90°例3（1）證明：設(shè)P（x0，y0）為雙曲線x2/a2-y2/b2=1或y2/a2-x2/b2=1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右或下、上兩焦點(diǎn)，則雙曲線的焦半徑|PF|為：（2）求證：以雙曲線的任意焦半徑為直徑的圓，與以實(shí)軸為直徑的圓外切對(duì)于（1）僅就焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線x2/a2-y2/b2=1右支上的點(diǎn)P（x0，y0），左焦點(diǎn)半徑|PF1|進(jìn)行證明，由學(xué)生演板完成。證明：作PQ

38、垂直于左準(zhǔn)線，垂足為Q，由雙曲線的定義可知：|PF1|/|PQ|=e |PQ|= x0 +a2/c，|PF1|/ e |PQ|= e （x0 +a2/c）exo+a對(duì)于（2）教師講解并板書：如圖2-28，設(shè)雙曲線方程為x2/a2-y2/b2=1，且設(shè)F1、F2為其左、右焦點(diǎn)，P（x0，y0）為雙曲線上右支上一點(diǎn)，則|PF1|=exo+a，|PF2|=exo-a。取F1P的中點(diǎn)為01，連結(jié)O1O，只須證明：以F1P為直徑的圓與實(shí)軸A1A2為直徑的圓內(nèi)切。即證：|O1O|=|PF1|/2-2a= exo+a/2-2a/2= exo-a/2在PF1F2中，O1O為PF1F2 的中位線|O1O|=1/

39、2|PF2|=1/2（exo-a）即 |O1O|=1/2（exo-a）故以雙曲線的任意焦半徑為直徑的圓，與以實(shí)軸為直徑的圓內(nèi)切。例4 過點(diǎn)A（2，1）作直線l交雙曲線于P1、P2兩點(diǎn)，求P1、P2 的中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）+1，將上述方程代入雙曲線方程x2-y2/2=1，整理得：（2-k2）x2-2k(1-2kx-4k2 +4k-3=0當(dāng)2-k20即k±2時(shí)，設(shè)P1P2的中點(diǎn)為M（x0 ，y0），則x0=x1x2/2=k（2k-1）/k2-2y0=2（2k-1）k2-2x0/k=y0 /2，即k=2x0/y0（k1/2）代入y0=2k（2k-1）/k2-

40、2得：2x2-4x0-y2+y0=0故2-k2=0即k=±2時(shí)，直線與漸近線平行，不存在中點(diǎn)；當(dāng)k不存在時(shí)，直線x=2的弦中點(diǎn)M（2，0）也在軌跡上。故所求軌跡的方程為：2x2-4x-y2+y=0小結(jié)：解此題使用了求中點(diǎn)軌跡方程的常用方法，學(xué)了參數(shù)方程后，也可用直線的參數(shù)方程求得中點(diǎn)的軌跡方程。（三）練習(xí)1、求與定點(diǎn)A（5，0）及定直線l：x=16/5的距離比是5：4的點(diǎn)的軌跡方程。由學(xué)生練習(xí)后口答完成，由雙曲線的第二定義易得軌跡方程為x2/16-y2/9=12、判定當(dāng)（1）k4、（2）4k9時(shí)，方程x2/9-k+y2/4-k=1分別表示什么曲線？由學(xué)生演板。（1）k4時(shí)，9-k0，4-k0，方程表示橢圓；（2）當(dāng)49時(shí)，9-k0，4-k0，方程表示雙曲線。3、過點(diǎn)A（1，1）能否作直線l，交雙曲線x2-y2/2=1于P1、P2 兩點(diǎn)，使點(diǎn)B為P1P2的中點(diǎn)？由學(xué)生討論完成，教師給予提示，解答為：設(shè)存在直線l：y=k（x-1）+1。將上述方程代入雙曲線x2-y2/2=1，并整理得：（2