分?jǐn)?shù)的速算與巧算一

1、第一講 分?jǐn)?shù)的速算與巧算（一） 班級 姓名【知識要點】1.裂項：是計算中需要發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過程，裂項與通項歸納是密不可分的，本講要求學(xué)生掌握裂項技巧及尋找通項進(jìn)行解題的能力?！局R點撥】一、裂項綜合（一） “裂差”型運(yùn)算（1）對于分母可以寫作兩個因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即，那么有（2）對于分母上為3個或4個連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：，形式的，我們有：裂差型裂項的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。（2）分母上均為幾個自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2

2、個分母上的因數(shù)“首尾相接”（3）分母上幾個因數(shù)間的差是一個定值。（二） “裂和”型運(yùn)算：常見的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式：（1） （2）裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡化目的。三、整數(shù)裂項（1）（2）例題精講【模塊一】分?jǐn)?shù)裂項【例 1】 【解析】 原式【鞏固】【例 2】 計算： ?！窘馕觥?如果式子中每一項的分子都相同，那么就是一道很常見的分?jǐn)?shù)裂項的題目但是本題中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2。相比較于2，4，6，這一公差為2的等差數(shù)列(該數(shù)列的第

3、個數(shù)恰好為的2倍)，原式中分子所成的等差數(shù)列每一項都比其大3，所以可以先把原式中每一項的分子都分成3與另一個的和再進(jìn)行計算。原式 也可以直接進(jìn)行通項歸納根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項公式為，所以，再將每一項的與分別加在一起進(jìn)行裂項。后面的過程與前面的方法相同?！眷柟獭?計算： 【鞏固】 計算： 【例 3】【解析】 原式【例 4】 【解析】 本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分?jǐn)?shù)裂差型裂項”問題。此類問題需要從最簡單的項開始入手，通過公式的運(yùn)算尋找規(guī)律。從第一項開始，對分母進(jìn)行等差數(shù)列求和運(yùn)算公式的代入有， 原式【鞏固】【鞏固】 【鞏固】【例 5】 . 【解析】 這題是利用平方差公式進(jìn)行裂項：，原式【鞏固】 計算：【鞏固】 計算： 【鞏固】 計算： 【鞏固】 【例 6】 【解析】原式【鞏固】 計算：【鞏固】【例 7】 【解析】 找通項原式，通過試寫我們又發(fā)現(xiàn)數(shù)列存在以上規(guī)律，這樣我們就可以輕松寫出全部的項，所以有原式【例 8】【解析】原式=【鞏固】【例 9】 計算：【解析】 通項公式：，原式【鞏固】 計算： 【例 10】 【解析】 雖然很容易看出，可是再仔細(xì)一看，并沒有什么效果，因為這不象分?jǐn)?shù)裂項那樣能消去很多項我們再來看后面的式子，每一項的分母容易讓我