華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試卷_第1頁
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1、姓名 學(xué)號 學(xué)院 專業(yè) 座位號 ( 密 封 線 內(nèi) 不 答 題 )密封線線_ _ 華南理工大學(xué)2010數(shù)學(xué)競賽試卷注意事項：1. 考前請將密封線內(nèi)填寫清楚； 2. 所有答案請直接答在試卷上； 3考試形式：閉卷； 4. 本試卷共 8 大題，滿分100分，考試時間120分鐘。一、計算下列各題 （每小題6分，本大題共36分）. 求極限解 原式. 求極限解 由于故 ,從而由夾逼準(zhǔn)則. 求極限,其中為不超過的最大整數(shù).解 由于故由夾逼準(zhǔn)則. 在原點附近,試用一個二次多項式近似代替函數(shù)解 由于從而可用泰勒多項式近似為. 計算解 由可得. 計算,其中為球面與平面的交線解 ,由曲線的輪換對稱性可得二、（本題8

2、分）設(shè)在點附近有定義，且在點可導(dǎo),求。解：原式三、（本題10分）證明滿足關(guān)系式證 設(shè),則兩邊再求階導(dǎo)數(shù),得從而因為故四、（本題10分）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可微, 且。證明：(1)存在使得; (2)存在使得證 (1)設(shè),則在上連續(xù)，且,從而有零點定理,存在使得; (2)設(shè),則在上連續(xù)，在內(nèi)可微, 且由羅爾定理,存在使得,即五、（本題10分）已知滿足,求解 從而, 從而代入,解之得六、（本題10分）設(shè)在區(qū)域上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足關(guān)系式, 證明：（1）等式成立，其中曲線為區(qū)域的邊界，為的外法線方向；（2）若在上恒等于零，則在區(qū)域內(nèi)也恒等于零證 （1）設(shè)單位切向量為，則外法線單位法向量為，從而等式左邊由格林公式，等式左邊再由已知可得，左邊=右邊（2）由已知從而為常數(shù)，再由于邊界上，因此七、（本題8分）計算。其中是的上側(cè)解 取下側(cè)則 原式七、（本題8分）假定一個半徑為的雪球，其融化時體積的變化率正比于雪球的表面積，比例常數(shù)為。已知兩小時內(nèi)融化其體積的四分之一，問剩余部分需要多少小時才能全部融化。解 由已知，令時，則由

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