利用正余弦定理判定三角形形狀

1、利用正、余弦定理判定三角形形狀判定三角形形狀在高中數(shù)學中有著重要的地位，在求解三角形、三角函數(shù)的問題時該知識點有著廣泛的應用本文對該類問題常用知識點及常用分析方法總結如下.一、三角形形狀的判斷依據(jù)（1）等腰三角形.（2）等邊三角形且有一角為.（3）直角三角形.（4）等腰直角三角形且.（5）鈍角三角形.（6）銳角三角形最大邊滿足最大角.二、判定三角形形狀基本思想方法：1.計算、化簡過程中常用的數(shù)學思想：（1）化歸、轉(zhuǎn)化思想的應用， 即利用正弦定理（或余弦定理）進行代換，將已知條件中的等式轉(zhuǎn)化為都是邊或都是角的等式.（2）消元思想，常用，減少角的個數(shù).2.計算、化簡的方向有兩個：（1）利用正、余弦

2、定理統(tǒng)一成角，再通過兩角和與差、倍角等三角公式進行恒等變形，得出三角形兩角之間的關系.（2）利用正、余弦定理統(tǒng)一成邊，再通過邊恒等變形、分解因式等方法，得出三角形邊之間的關系.三、解三角形常用知識要點1.正弦定理： （為三角形外接圓半徑）.變形公式：（1）；（2）；（3）2.余弦定理： ,. 變形公式：，. 3.三角形面積公式：4.三角形中的常用結論：（1），.（2）， .5.三解形中化簡計算，常用兩角和與差的正、余弦公式及二倍角公式.四、典型例題1. 直接利用三角形三邊關系進行判斷例1. 在中，角所對的邊分別為，滿足，試判斷三角形的形狀.【解析】由題意，可設，.則邊最大.因為，所以，.則最大

3、角為銳角.所以為銳角三角形.【點評】已知條件均為三邊之間的關系，不需要利用正弦定理或余弦定理統(tǒng)一成邊或角，直接計算最大邊所對的角的余弦值即可.例2. 在中，角所對的邊分別為，若成等比數(shù)列，且，試判斷三角形的形狀.【解析】因為成等比數(shù)列，所以.又，所以，.所以，為最長邊，角為最大角.因為.可得角為鈍角.所以為鈍角三角形.【點評】已知條件均為三邊之間的關系，不需要利用正弦定理或余弦定理統(tǒng)一成邊或角，直接計算最大邊所對的角的余弦值即可.例3.在中，角所對的邊分別為，且有，試判斷三角形的形狀.【解析】 . , 是減函數(shù). .即, ., 為銳角.為銳角三角形.【點評】（1）已知條件均為三邊之間的關系，不

4、需要利用正弦定理或余弦定理統(tǒng)一成邊或角，直接計算最大邊所對的角的余弦值即可.（2）本題利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行放縮是關鍵.2.直接利用三角恒等變形，轉(zhuǎn)化為角關系進行判斷例4.（05北京）在中，已知那么一定是（ ）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形三角形 D.正三角形【解析】，.在中可得，即.所以是等腰三角形.故選B.【點評】（1）本題條件均為各角之間的三角函數(shù)關系，無需利用正、余弦定理統(tǒng)一成邊或角的等式，可直接進行三角恒等變形，從而得到角之間的關系，判斷出三角形形狀.（2）本題也可利用正、余弦定理均統(tǒng)一成邊之間的關系，再恒等變形，得到兩邊之間的關系，從而判斷出三角形形狀.例5.在

5、中，已知，試判斷此三角形的類型.【解析】 由得，所以，即，整理得， 所以，.在中可得，.所以，是等腰三角形.【點評】(1)本題關鍵：看到，可聯(lián)想降次公式.(2)由于已知條件都是三角函數(shù)關系式，故無需向邊的關系轉(zhuǎn)化，而是進行三角函數(shù)式的恒等變形.3.需要先利用正（余）弦定理統(tǒng)一成邊或角的等式，再進行三角恒等變形得出角的關系或邊的關系，進行判斷例6.在中，若，試判斷三角形的形狀.【解析】方法一：均統(tǒng)一成角.，代入已知，得即，.所以.在中，可得或所以，或所以，為等腰三角形或直角三角形.【點評】已知等式是關于邊的二次齊次式，可利用正弦定理變式，將等式統(tǒng)一成角的三角函數(shù)等式，再化簡.方法二：均統(tǒng)一成邊.

6、由余弦定理得，.代入已知，得：.整理，得： 或.所以，為等腰三角形或直角三角形.【點評】（1）已知等式中有余弦，可用余弦定理代換，將等式統(tǒng)一成邊的等式，再化簡.（2）變形過程中，等式兩邊不能隨意同除以某式子，常進行因式分解，否則易丟解出錯.例7.在中，已知 ，試判定ABC的形狀.【解析】方法一：均統(tǒng)一成邊由已知得， ， 所以，即，可得.因為，所以. 所以，為直角三角形.方法二：均統(tǒng)一成角. 已知等式可化為： 又在中， 所以，即.可得， . 所以，為直角三角形.【點評】（1）本題等式兩邊均為正弦的齊次式，可利用正、余弦定理代換，統(tǒng)一成邊的等式，再變形.（2）本題等式兩邊均為角，也可直接進行三角恒

7、等變形，關鍵是與的變形方法，有兩種：一是和差化積公式應用；也可令，再利用兩角和與差的正、余弦公式化簡.（3）體現(xiàn)了消元思想的應用.【小結】判斷三角形形狀問題解題規(guī)律：1.角化邊：應用正弦定理、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊與邊之間的關系，通過因式分解等方法化簡得到邊與邊關系式，從而判斷出三角形的形狀.2.邊化角：應用正弦定理、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間三角函數(shù)的關系，通過三角恒等變形以及三角形內(nèi)角和定理得到內(nèi)角之間的關系，從而判斷出三角形的形狀. 鞏固練習：1.在中，已知,判斷該三角形的形狀.2. 在中，如果，且角為銳角，判斷此三角形的形狀.3.在中，若試判斷的形狀.鞏固練習答案：1.【解析】方法一：均統(tǒng)一成角.，.由正弦定理，即知，.在中，可得，所以，或.即或.即為等腰三角形或直角三角形.方法二：均統(tǒng)一成邊.同上可得，由正、余弦定理得：，即.所以或.即為等腰三角形或直角三角形.2. 【解析】由，得，又是銳角，.又，即，.由正弦定理，得：，.，.故此三角形是等腰直角三角形.3. 【解析】方法一：均統(tǒng)一成角.由已知條件及正弦