幾種特殊類型積分因子的求法

1、運用積分因子方法求解幾種特殊類型微分方程方小，數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院摘 要:針對滿足某些條件的微分方程,著重研究如何直接地、有效地求出其積分因子的方法,從而方便快捷地求出其通解.引言：方程取形式時的求解問題教材中主要介紹了五種類型的初等解法，實際上作為基礎(chǔ)的還是恰當(dāng)微分方程，其他類型均可借助積分因子化為這種類型，掌握一些特殊類型的積分因子求法及部分特殊結(jié)構(gòu)微分方程的積分因子的求法，從而大提高解微分方程的效率和可操作性.一.幾種特殊類型結(jié)構(gòu)的微分方程的積分因子的求法1常見一階微分方程幾種運用積分因子轉(zhuǎn)化成恰當(dāng)微分方程1.1可分離變量方程很容易求得積分因子為例 求的積分因子解：變形為積分因子為方程兩

2、邊乘以上積分因子得：兩邊積分得原方程的通解為12線性微分方程設(shè)及連續(xù)，試證方程為線性微分方程它有僅依賴于x的積分因子.證明：設(shè)方程是線性微分方程.即存在使得這樣所以，方程具有積分因子這即證明了方程有僅依賴于x的積分因子.例2 :解方程: 解: 于是積分因子為: 通解為: .1.3伯努利微分方程方程的積分因子是證明：設(shè)伯努利方程為，改寫為乘以即再乘以得即這是全微分方程，因此所求積分因子是例 求的積分因子及通解解：積分因子原方程兩邊同乘以，并化為對稱式為湊微分為：兩邊同時求積分得：1.4 齊次微分方程當(dāng)時有積分因子 證明 由于則有,同理，由于方程是齊次的，我們不妨設(shè)是m次齊次函數(shù)，則有由上面兩個式

3、子可推出，從而得到，因此方程當(dāng)時有積分因子例 解 此為齊次方程，故有積分因子乘以積分因子，原方程化為這是一個全微分方程，它的通解為 其中C為常數(shù)2、具有特殊結(jié)構(gòu)的一階微分方程的積分因子的求法2.1方程有積分因子:顯然,直接驗證可得=為上式的積分因子.若，則是方程的積分因子解：因為=故有積分因子于是原方程化為即 這是一個全微分方程，積分得出通解為或2.2 設(shè)函數(shù)連續(xù)、可微且,則方程有積分因子:證明:令,則原方程可化為 (1)(1) 式兩邊同乘以得顯然(2) 為恰當(dāng)方程,故(1) 有積分因子,因而原方程有積分因子,但對于一個較復(fù)雜的方程,往往不容易直接求得它的積分因子.例 解 原方程化為 因為 ,

4、故有積分因子乘上得即 二針對滿足某些條件的微分方程，運用積分因子方法求出通解.但是如果把它的左端分成幾組,比如分成兩組: (3)后,可分別求得各組的積分因子,也就是如果有 使于是借助于?？汕蟮?的積分因子.為了說明這一點,先注意下一事實.如果是 的一個積分因子,且,則 也是的積分因子.此處是的任一連續(xù)函數(shù).事實上 其中表示的一個原函數(shù).據(jù)此知,對于任意的函數(shù) 及、 都分別是(3) 的第一組和第二組的積分因子.函數(shù)有著廣泛選擇的可能性.若能選擇使則就既是(3) 的第一組也是第二組的積分因子.因而也就是的積分因子.例:解方程: 解:原方程改寫為顯然為使只須取,于是求得原方程的一個積分因子:而以之乘方程的兩端,便得 于是=通解為:結(jié)論1：設(shè)是方程的積分因子，從而求得可微方程使.也是方程的積分因子，其中是t的可微函數(shù).結(jié)論2：設(shè)，是方程的兩個積分因子，且常數(shù)，則（任意常數(shù)）是方程的通解.結(jié)論3：假設(shè)當(dāng)方程為齊次方程時，且為恰當(dāng)方程，則它的通解可表示為（c為任意常數(shù)）.參考文獻（頂格、宋體、小四號加粗）：1 劉廣珠.高中生考試焦慮成因分析J.陜西師大學(xué)報（哲社版），1995，24（1）：161-164.（參考文獻序號在文中采用右上標(biāo)注的