幾個著名不等式

1、2.2 幾個著名不等式2.2.1 著名不等式柯西不等式 對于任意兩組實數(shù)和有上述不等式只有當時，等號才能成立證明 因為對任意x，有將上式展開得上述二次三項式對任意x均大于等于0，故其判別式不能大于0，所以當判別式等于0時，上述方程有重根，設(shè)重根為x=k，則這時所以上述不等式只有當時等號才能成立。如令，則得柯西不等式在高等代數(shù)中的意義是：兩個向量的數(shù)積不大于兩個向量長度的乘積若則其中例 若都是正數(shù)，求證證明 構(gòu)造兩個實數(shù)列則由柯西不等式得即*赫勒德爾不等式 由柯西不等式可得但所以有同理有一般地有現(xiàn)在證明上述不等式對任意不等于2m的正整數(shù)也成立（假定所有數(shù)列均為正數(shù)列）設(shè)共k個實數(shù)列設(shè)共k個再令則

2、有但 所以所以即該不等式對任意不等于2m的整數(shù)k也成立上述不等式的證明有些麻煩，不好記，現(xiàn)用反歸納法給出一個簡潔的證明由證明知，不等式對無窮多個自然數(shù)k=2m成立現(xiàn)在假設(shè)不等式對m=k成立（是k個數(shù)列）但是左邊所以即不等式對m=k-1也成立。由反歸納法知，不等式對任意整數(shù)k均成立例 設(shè)非負實數(shù)滿足求證證明 當n=1時，結(jié)論顯然正確假設(shè)命題在n=k時正確，非負實數(shù)滿足則成立現(xiàn)設(shè)為k+1個非負實數(shù)，滿足要證令，則由歸納假設(shè)但是，因為，所以所以證畢如果令這里均為正實數(shù)，則得現(xiàn)在證明下面不等式其中均為正有理數(shù)，且證明上面的不等式稱為赫勒德爾不等式當為正無理數(shù)且滿足條件時，上述不等式當然也成立，只要根據(jù)

3、“每一無理數(shù)都有理數(shù)的極限”，便可證明最后，再應(yīng)用“算術(shù)平均值大于幾何平均值”來證明赫勒德爾不等式對于，得即 于是有所以上式是兩個實數(shù)列的赫勒德爾不等式對三個實數(shù)列情況，即令這時即赫勒德爾不等式對三個實數(shù)列也成立同理可得赫勒德爾不等式又四個實數(shù)列也成立。令這里則得當時，上式就是柯西不等式由上述不等式可得其中，所以即上述不等式稱為明可夫斯基不等式當k=2時，它的幾何意義是兩個向量和的模小于每個向量模的和 凸函數(shù)下面我們給出凸函數(shù)定義及其性質(zhì)定義2.1 如果函數(shù)f(x)滿足以下條件：對任意x1和x2，有其中，則稱f(x)為下凸函數(shù)如果函數(shù)f(x)滿足下面條件，對任意的x1和x2有其中，則稱f(x)

4、為上凸函數(shù)凸函數(shù)的幾何意義分別用圖和圖表示下凸函數(shù)的幾何特征是曲線f(x)上的點均在相應(yīng)弦的下方，而上凸函數(shù)的幾何特征是曲線f(x)上的點均在弦的上方顯然，當時，即是x1與x2中間的點反之，當x是x1與x2中間的點時，即x1<x< x2，令有，且，有所以閉區(qū)間中所有點均為的形式反之，也是區(qū)間中的點定理2.1 若f(x)是下凸函數(shù)，則下面不等式成立：其中證明 當n=2時，上式即為下凸函數(shù)定義，所以定理成立現(xiàn)假設(shè)k=n時定理成立當k=n+1時，令這時所以所以定理對k=n+1也成立同理，對上凸函數(shù)f(x)也有其中例 由圖形知是上凸函數(shù)所以令，則有除去對數(shù)符號，得如果令，上式的意義即為算術(shù)平均值大于幾何平均值例 設(shè)這時（以后說明為什么下凸函數(shù)，所以是下凸函數(shù)消去，得除去對數(shù)符號，得令，則得即幾何平均值大于等于的調(diào)和值例 求證圓內(nèi)接n邊形中，以正n邊形面積為最大證明 設(shè)圓的半徑為，內(nèi)接n邊形的面積為，n邊形各邊所對應(yīng)的圓心角為則因為都區(qū)間是上凸函數(shù)所以上式只有在時等號才能成立，也就是說