數(shù)項級數(shù)的求和方法.doc

1、畢 業(yè) 設(shè) 計 論 文題目： 數(shù)項級數(shù)的求和方法系 別： 數(shù)理系專 業(yè)： 金融數(shù)學(xué)姓 名： 劉戰(zhàn)杰學(xué) 號： 171406124指導(dǎo)教師： 李 華河南城建學(xué)院2010年 5月 20日目 錄摘要2英語摘要3第一章 緒論41.1綜述41.2研究現(xiàn)狀51.3研究意義51.4本論文所作的工作51.5研究目標(biāo)51.6本論文解決的關(guān)鍵問題51.7本論文的創(chuàng)新之處51.8本論文的研究方法51.9本論文的內(nèi)容安排5第二章 數(shù)項級數(shù)求和的常用方法 62.1 引言 62.2預(yù)備知識 62.2.1 數(shù)項級數(shù)的定義 62.2.2 數(shù)項級數(shù)收斂的定義 62.2.3 常見的幾種重要的級數(shù) 72.3數(shù)項級數(shù)收斂的幾個重要判別

2、法72.3.1 比式判別法 72.3.2 根式判別法 72.3.3 積分判別法 82.3.4 比較判別法 82.3.5 萊布尼茨判別法 92.4幾種無窮級數(shù)求和的常用方法介紹92.4.1利用級數(shù)部分和的定義求級數(shù)的和92.4.2利用拆項法求級數(shù)的和102.4.3逐項求導(dǎo)法求正項級數(shù)的和112.4.4用傅里葉級數(shù)求級數(shù)的和 122.4.5逐項積分求級數(shù)的和 132.4.6利用泰勒級數(shù)求級數(shù)的和 142.4.7歐拉常數(shù)法求級數(shù)的和 142.4.8用matlab求數(shù)項級數(shù)的和15第三章 p-級數(shù)的拉格朗日插值法求和163.1拉格朗日插值 163.2拉格朗日插值法的MATLAB源代碼183.3在MAT

3、LAB中輸入的命令及結(jié)果193.4誤差分析 20結(jié) 束 語20致 謝 21參考文獻22摘要 關(guān)于數(shù)項級數(shù)求和的問題,很多學(xué)者對一些特定題目給出了一些有針對性的解決方法.數(shù)項級數(shù)是數(shù)學(xué)分析課程中的重要內(nèi)容之一,如果給定一個數(shù)項級數(shù),我們所關(guān)心的兩個基本問題是:此級數(shù)是否收斂?如果收斂,怎么求出此級數(shù)的和?本文主要針對p級數(shù)的求和進行了較為系統(tǒng)的研究,眾所周知,當(dāng)p為偶數(shù)時,p級數(shù)的和是精確值;當(dāng)p為大于1的非偶數(shù)時,p級數(shù)的和是無窮小數(shù).鑒于以上p級數(shù)的性質(zhì),本文將運用數(shù)學(xué)計算方法中的拉格朗日插值法,并借助于MATLAB,在一定的區(qū)間上求出p級數(shù)和的拉格朗日插值公式,從而求出p為非偶數(shù)時,p級數(shù)

4、的近似值并做出相應(yīng)的相對誤差分析.與此同時本文將介紹多種數(shù)項級數(shù)的求和方法,應(yīng)用了較多的高等數(shù)學(xué)知識,在一定程度上開闊了級數(shù)求和的解題思路.關(guān)鍵詞 p級數(shù);求和;余項;誤差估計;級數(shù).Abstract many scholars on specific topics have given some specific solutions about Sum of a number of problems. Mathematical analysis of several series is an important part of the course,if given a certain se

5、ries, we are concerned with two fundamental questions which are whether the convergence of this series? If convergence , what is the summation of this series ? In this paper, the sum of the p series for a more systematic study, it is well known that when p is even, the sum of p series is an exact va

6、lue; when p is greater than 1 and non-even, the sum of p series is infinite decimal. In view of the nature of the p series, this article will use the Lagrange interpolation method in the mathematical calculation, and the help of MATLAB, it will obtained the Lagrange interpolation formula about the s

7、um of p series in a certain interval , Thus it obtained p series approximation and make the corresponding relative error analysis when p is non-even.what is more, Here are a number of various number of series summation method and using more advanced mathematical knowledge, to a certain extent, broad

8、en the solving problem ideas for our reference in the study. Key words p-series; summation; remainder; error estimates; series.第一章 緒論1.1綜述近代微積分的發(fā)展,主要是在17世紀上半葉.這個時期標(biāo)志著文藝復(fù)興以來在資本主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學(xué)開始邁入綜合與突破階段,這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難,使微積分的基本問題空前的成為人們關(guān)注的焦點.在這個時期,幾乎所有的數(shù)學(xué)大師都致力于相關(guān)問題的研究,特別是描述運動與變化的無限小算法,并在相當(dāng)短時期內(nèi),取得了迅速

9、的發(fā)展.開普勒、卡瓦列里、笛卡爾、費馬、巴羅、沃利斯等人作出了具有代表性的工作.牛頓和萊布尼茲以足夠的敏銳和能力認識到微分和積分的互逆關(guān)系,在微積分的真正創(chuàng)立上作出了偉大貢獻.在18世紀,微積分進一步深入發(fā)展并和廣泛的應(yīng)用緊密交織在一起.其中它的發(fā)展與無窮級數(shù)的研究密不可分.牛頓在他的流數(shù)理論中自由運用無窮級數(shù),他憑借二項式定理得到了許多函數(shù)的級數(shù).泰勒級數(shù)則提供了將函數(shù)展成無窮級數(shù)的一般方法.在18世紀,各種初等函數(shù)的級數(shù)展開陸續(xù)得到,并在解析運算中初等函數(shù)成為微積分的有力工具.其中,雅各布,伯努利撰寫了一系列無窮級數(shù)的論文,使他們成為當(dāng)時這一領(lǐng)域的權(quán)威.這一時期,一方面,微積分不斷取得各種

10、顯著的成就,得到各種更強有力的應(yīng)用;另一方面,在某些領(lǐng)域,數(shù)學(xué)家們由于濫用微積分而得到很多荒謬的結(jié)論.這種荒謬性突出的表現(xiàn)在無窮級數(shù)的使用上.以二項式的負指數(shù)冪的無窮展開為例.牛頓在研究積分問題時得到了一般的二項式展開定理.根據(jù)這一定理,我們有.用代替上式中的 即得.在上式中,令,得.為簡便起見,我們把這式子稱為F.如果我們對F右邊使用結(jié)合律,顯然會有.對比這兩個式子我們將得到,這顯然是荒謬的,但是問題并沒有到此結(jié)束.我們對F右邊換一種結(jié)合方式, 比如,我們又得到.如此可以一直進行下去.事實上如果我們對F右邊是用所有類型的交換律和結(jié)合律,我們將得到所有的整數(shù);也就是說和所有的整數(shù)都相同!上面的

11、結(jié)果已經(jīng)夠讓人驚訝了,但是還有更加令人不可思議的現(xiàn)象存在,如果我們在的表達式中令,將有.這就是說,無窮多個正數(shù)的和竟然是一個負數(shù).這些悖論刺激了人們對無窮級數(shù)收斂的思考.18世紀先后出現(xiàn)了一些級數(shù)收斂判別法則.萊布尼茲判定法;達朗貝爾級數(shù)絕對收斂判別法等等.這些說明18世紀的數(shù)學(xué)家已開始注意到無窮級數(shù)的收斂問題,盡管對這一問題真正嚴格的處理要等到19世紀.柯西對無窮級數(shù)進行了嚴格化的處理,明確定義了級數(shù)的收斂性,并研究了級數(shù)收斂的判別條件.1.2研究現(xiàn)狀關(guān)于數(shù)項級數(shù)的求和,已有許多專家和學(xué)者對此產(chǎn)生了濃厚的興趣,他們對某些具體的題目做出了具體的解法,像定義法,解微分方程法,特殊函數(shù)的展開式,逐

12、項微分積分法等等.雖然方法很多,但是都是對一些特殊的數(shù)項級數(shù)求和,而對一般普通的數(shù)項級數(shù)的求和方法問題很少學(xué)者提及,因此在這方面我們有研究的必要,并且有很大的研究空間.數(shù)項級數(shù)不僅在自然科學(xué)和工程技術(shù)中能解決許多問題,同時也是研究分析數(shù)學(xué)的重要工具.其原因是很多函數(shù)能用數(shù)項級數(shù)表示,同時又能借助于數(shù)項級數(shù)來研究函數(shù)逼近和近似計算的問題.因此數(shù)項級數(shù)理論在分析數(shù)學(xué)或者實際應(yīng)用中是研究函數(shù)的一種必要的數(shù)學(xué)工具,因而數(shù)項級數(shù)的求和問題非常重要,我們必須掌握它,因此數(shù)項級數(shù)的求和問題就成為實際應(yīng)用中亟待解決的課題了.1.4本論文所作的工作數(shù)項級數(shù)的求和方法和收斂問題一直以來都屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域里重要的研究內(nèi)

13、容.本文將簡略介紹一些基本的數(shù)項級數(shù)求和的方法,然后把MATLAB編程及其拉格朗日插值法的思路應(yīng)用于p級數(shù)求和中去,著重推導(dǎo)p級數(shù)（p為大于1的非偶數(shù)）的求和的一般方法,進而推出此類級數(shù)和的近似值.1.5研究目標(biāo)探索數(shù)項級數(shù)求和的新方法,借助數(shù)學(xué)計算工具（MATLAB）,將計算方法的知識應(yīng)用到p級數(shù)（p為大于1的非偶數(shù)）的求和上,導(dǎo)出p級數(shù)比較普遍的計算公式1.6本論文解決的關(guān)鍵問題本論文主要解決了在工程技術(shù)中應(yīng)用到p級數(shù)和時的近似計算問題,在一定程度上簡化了計算強度,提高了工作效率.1.7本論文的創(chuàng)新之處本文的創(chuàng)新之處在于將拉格朗日插值法應(yīng)用到p級數(shù)（p為大于1的非偶數(shù)）求和,給出近似值的一

14、般公式并給出相對誤差.1.8本論文的研究方法將計算方法中拉格朗日插值法應(yīng)用到p級數(shù)（p為大于1的非偶數(shù)）求和上,導(dǎo)出計算近似值的一般函數(shù).1.9本論文的內(nèi)容安排根據(jù)本論文的主要內(nèi)容,將論文分為三章:第一章 緒論第二章 簡要給出數(shù)項級數(shù)求和的預(yù)備知識和求和的一些常用方法第三章 詳細介紹拉格朗日插值法在級數(shù)中的應(yīng)用,并對所研究的問題做了一個簡略的,不盡成熟的說明.第二章 數(shù)項級數(shù)求和的常用方法2.1引言數(shù)項級數(shù)求和作為一個微積分中的基本和重要的問題,從開始研究到現(xiàn)在已經(jīng)積累了很多豐富有效的方法以及許多重要的應(yīng)用.一方面很多函數(shù)可以用數(shù)項級數(shù)來表示;另一方面,又能借助于數(shù)項級數(shù)來研究函數(shù)逼近和近似計

15、算等問題.在自然科學(xué)和工程技術(shù)中有許多問題也可以由數(shù)項級數(shù)來解決.數(shù)值分析教材中詳述講解了拉格朗日插值法,而對于p級數(shù)的求和,從華東師范大學(xué)出版的數(shù)學(xué)分析中可得到:對于p為偶數(shù)的p級數(shù)都有精確值,而對于p為奇數(shù)或p大于1的非整數(shù)p級數(shù)沒有精確值,因此,可以將拉格朗日插值法用于p級數(shù)的求和,給出近似值的一般公式并給出相對誤差.2.2預(yù)備知識（2.2.12.2.3）2.2.1數(shù)項級數(shù)的定義定義 若數(shù)列,即 (1)將（1）的項依次用加號連接起來,即 (2) 簡寫為稱為數(shù)項級數(shù),簡稱級數(shù).稱為級數(shù)（2）的項,稱為（2）的第項與通項.考察前項部分和或于是,級數(shù)（2）對應(yīng)數(shù)列:2.2.2數(shù)項級數(shù)收斂的定義

16、 定義 如果級數(shù)（2）的部分和數(shù)列收斂,即稱級數(shù)（2）收斂,并稱是級數(shù)（2）的和.記為如果部分和數(shù)列發(fā)散,稱級數(shù)（2）發(fā)散,此時級數(shù)（2）沒有和.2.2.3常見的幾種重要的級數(shù)1.等比級數(shù)（幾何級數(shù)）,則級數(shù)收斂,其和為;,則級數(shù)發(fā)散;,則級數(shù)發(fā)散;,則級數(shù)發(fā)散.2.調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的3. 級數(shù)收斂,發(fā)散.2.3數(shù)項級數(shù)收斂的幾個重要判別法2.3.1比式判別法設(shè)是正項級數(shù),若,則級數(shù)收斂;或,則級數(shù)發(fā)散. 2.3.2根式判別法設(shè)為正項級數(shù),且.當(dāng)時,級數(shù)收斂;當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.2.3.3積分判別法設(shè)為上非負減函數(shù),那么正項級數(shù)與反常積分同時收斂或發(fā)散.2.3.4比較判別法設(shè)和是兩個正項級數(shù)

17、,如果存在某正整數(shù),對一切有若級數(shù)收斂,則級數(shù)也收斂;若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)也發(fā)散.推論1若任意的正整數(shù),使當(dāng)時有 ,則有由收斂, 則收斂;由發(fā)散, 則發(fā)散.推論2設(shè)和兩個正項級數(shù),若,則當(dāng)時,級數(shù),同時收斂或發(fā)散;當(dāng)時且級數(shù)收斂,級數(shù)也收斂;當(dāng)時且級數(shù)發(fā)散,級數(shù)也發(fā)散.2.3.5萊布尼茨判別法交錯級數(shù):若級數(shù)的各項符號正負相間,即 則稱為交錯級數(shù).若交錯級數(shù)滿足下述兩個條件:數(shù)列單調(diào)遞減;,則級數(shù)收斂.2.4幾種無窮級數(shù)求和的常用方法介紹2.4.1利用級數(shù)部分和的定義求級數(shù)的和定義:如果正項級數(shù)的部分和數(shù)列有極限,即則稱正項級數(shù)收斂,這時極限記作級數(shù)的和,并寫成:如果沒有極限,則稱正項級數(shù)發(fā)散.

18、例1:求正項級數(shù)的和解:由于 ,則所以 故該級數(shù)收斂其和為2.4.2利用拆項法求級數(shù)的和拆項法就是將常數(shù)項收斂級數(shù)的一般項拆成多個常見的級數(shù)一般項和的思想即其中,是常用級數(shù).目前,我們常見的級數(shù)為: 例2:求級數(shù)的和解: 由于 所以 2.4.3逐項求導(dǎo)法求正項級數(shù)的和冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì):設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,則和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的,且有逐項求導(dǎo)公式 :其中,逐項求導(dǎo)后得到的冪函數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 例3:求級數(shù)的和解: 顯然冪級數(shù)的收斂區(qū)間為,設(shè) 由于 所以 由于冪級數(shù)在收斂區(qū)間上是連續(xù)的,所以上式對也成立,即 令 ,則2.4.4用傅里葉級數(shù)求級數(shù)的和傅里葉級數(shù)求和就是將函數(shù)展開成

19、正弦級數(shù)或余弦級數(shù),然后再求和.例4:求級數(shù)的和解:設(shè)是周期為的周期函數(shù),它在上的表達式為: (1)將展開成傅里葉級數(shù).由傅里葉級數(shù)展開式知:,按公式有 將求的系數(shù)代入:得: （2） 其中 又由（1）式知:在處連續(xù),且,將代入（2）式,則所以 即 2.4.5逐項積分求級數(shù)的和冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì):設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,則和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是可積的,且有逐項積分公式:其中,逐項積分后得到的冪函數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.例3:求級數(shù)的和解:設(shè)在其收斂域內(nèi)逐項積分得 其中于是 其中所以 2.4.6利用泰勒級數(shù)求級數(shù)的和例6:求級數(shù)的和.解:設(shè),將展開為泰勒級數(shù)得:則 2.4.7歐拉常數(shù)法求級數(shù)的和極限

20、的值為歐拉常數(shù),設(shè)為,則有其中,利用此式,可求某些數(shù)項級數(shù)的和.例7:求級數(shù)的和解: 由于即 2.4.8 用matlab求數(shù)項級數(shù)的和用matlab進行級數(shù)求和運算,必須在命令窗口輸入計算命令,格式如下:>> syms n; s=symsum(,n,1,inf)例8: 求級數(shù)的和 例:（1） （2） （3）輸入: 1. >> syms n; s=symsum(1/n*(n+1),n,1,inf)2. >> syms n; s=symsum(1/n2,n,1,inf)3. >> syms n; s=symsum(-1)(n+1)/n,n,1,inf

21、)輸出:1. 12. Pi2/63. log(2)從上例可見:如果級數(shù)收斂,我們用MATLAB計算級數(shù)和結(jié)果都是有限實數(shù),級數(shù)收斂于它. 第三章 p-級數(shù)的拉格朗日插值法求和3.1拉格朗日插值法3.1.1線性插值與拋物插值下面討論的簡單情形,假定給定區(qū)間及端點函數(shù)值,要求線性插值多項式,使它滿足,.的幾何意義就是通過兩點與的直線,的表達式可由幾何意義直接給出 （點斜式） （兩點式）由兩點式看出,是由兩個線性函數(shù),的線性組合得到,其系數(shù)分別為及,即顯然,及是線性插值多項式,在節(jié)點及上滿足條件: 我們稱函數(shù)及為線性插值基函數(shù).同理對于的情形,此時插值函數(shù)表式:基函數(shù),及是二次函數(shù),且在節(jié)點上滿足條

22、件: 并且 3.1.2拉格朗日插值多項式定義 若次多項式在個節(jié)點上滿足條件 就稱這個次多項式為節(jié)點上的次插值基函數(shù).由及的情況,可推出次插值基函數(shù)為:其中 記 則 所以 3.2拉格朗日插值法的MATLAB源代碼function f =Language(x,y,x0)syms p;if(length(x) = length(y) n = length(x);else disp('x和y的維數(shù)不相等！'); return;endf= 0.0;for(i=1:n) l = y(i); for(j = 1:i-1) l = l*(p-x(j)/(x(i)-x(j); end; for(

23、j = i+1:n) l = l*(p-x(j)/(x(i)-x(j); end; f = f + l; simplify(f); if(i=n) if(nargin = 3) f = subs(f,'p',x0); else f = collect(f); f = vpa(f,6); end endend3.3在MATLAB中輸入的命令及結(jié)果3.3.1輸入命令及顯示結(jié)果（輸入的命令主要是要計算P=2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7, 8 ,9 ,10 ,2.5, 5.5, 7.5級數(shù)的精確和）>> syms n; s=symsum(1/n2,n,1,inf) s =

24、1/6*pi2 >> syms n; s=symsum(1/n3,n,1,inf) s =zeta(3) >> syms n; s=symsum(1/n4,n,1,inf) s =1/90*pi4 >> syms n; s=symsum(1/n5,n,1,inf) s =zeta(5)>> syms n; s=symsum(1/n6,n,1,inf) s =1/945*pi6>> syms n; s=symsum(1/n7,n,1,inf) s =zeta(7)>> syms n; s=symsum(1/n8,n,1,in

25、f) s =1/9450*pi8>> syms n; s=symsum(1/n9,n,1,inf)s =zeta(9)>> syms n; s=symsum(1/n10,n,1,inf) s =1/93555*pi10>> vpa(zeta(3.5)ans =1.1267338673170566032410988555057>> vpa(zeta(4.5) ans =1.0547075107614543032497067542863>> vpa(zeta(5) ans =1.036927755143369989099255690234

26、7>> vpa(zeta(5.5) ans =1.0252045799546856130746164126322>> vpa(zeta(6.5) ans =1.0120058998885248513488477328792>> vpa(zeta(7)ans =1.0083492773819229260112706469954>> vpa(zeta(7.5) ans =1.005826727536522913197813977603>> vpa(zeta(9) ans =1.0020083928260821171107863847283

27、3.3.2計算拉格朗日插值函數(shù)及目標(biāo)函數(shù)值（該命令是用于計算拉格朗日插值函數(shù)及將p=3.5 ,4.5, 5, 5.5 ,6.5, 7, 7.5, 9 代入插值函數(shù)的近似值）>> x=2 4 6 8 10;>> y=1/6*pi2 1/90*pi4 1/945*pi6 1/9450*pi8 1/93555*pi10;>> f=Language(x,y) f =-1.48452*p+.321115*p2-.303516e-1*p3+.105309e-2*p4+3.55548>> f=Language(x,y,3.5)f =1.1500>>

28、 f=Language(x,y,4.5)f =1.0438>> f=Language(x,y,5)f =1.0250>> f=Language(x,y,5.5)f =1.0182>> f=Language(x,y,6.5)f =1.0177>> f=Language(x,y,7)f =1.0163>> f=Language(x,y,7.5)f =1.0117>> f=Language(x,y,9) f =0.9881 3.4誤差分析由3.3.1與3.3.2知:當(dāng)P=3.5時,相對誤差0.0206當(dāng)P=4.5時,相對誤差0.

29、0103當(dāng)P=5.0時,相對誤差0.0115當(dāng)P=5.5時,相對誤差0.0068當(dāng)P=6.5時,相對誤差0.0056當(dāng)P=7.0時,相對誤差0.0078當(dāng)P=7.5時,相對誤差0.0058當(dāng)P=9.0時,相對誤差0.01393.5結(jié)束語由以上數(shù)據(jù)的相對誤差可看出:誤差范圍大致在0.0%-2.0%之間,精度相當(dāng)高,此時拉格朗日插值函數(shù): f=-1.48452*p+.321115*p2-.303516e-1*p3+.105309e-2*p4+3.55548在區(qū)間上可以滿足一般工程用途.致 謝短短的幾個月時間,完成了本篇論文,對自己來說是一個不小的挑戰(zhàn).本次論文的順利完成,從課題選擇到具體的寫作過程,無不凝聚著李老師的心血和汗水.李老師要指導(dǎo)很多同學(xué)的論文,加上本來就有的教學(xué)任務(wù)和科研項目,工作量之大可想而知,她還在百忙之中抽出大量的時間來指導(dǎo)我們.她的循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪