切線長定理、弦切角、和圓有關(guān)的比例線段

1、切線長定理、弦切角、和圓有關(guān)的比例線段九年級數(shù)學(xué)同步輔 2009-06-29 23:12:37 閱讀105 評論0   字號：大中小 訂閱 切線長定理、弦切角、和圓有關(guān)的比例線段  學(xué)習(xí)目標(biāo)  1. 切線長概念    切線長是在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度，“切線長”是切線上一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。  2. 切線長定理    對于切線長定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；（2）若已知兩條

2、切線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑；（3）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，連結(jié)兩個切點可得到一個等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。  3. 弦切角、頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。    直線AB切O于P，PC、PD為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）  4. 弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。  5. 弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。  6. 遇到圓的切線，可聯(lián)想

3、“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長定理。  7. 與圓有關(guān)的比例線段定理圖形已知結(jié)論證法相交弦定理 O中，AB、CD為弦，交于PPA·PBPC·PD連結(jié)AC、BD，證：APCDPB相交弦定理的推論 O中，AB為直徑，CDAB于PPC2PA·PB用相交弦定理切割線定理 O中，PT切O于T，割線PB交O于APT2PA·PB連結(jié)TA、TB，證：PTBPAT切割線定理推論 PB、PD為O的兩條割線，交O于A、CPA·PBPC·PD過P作PT切O于T，用兩次切割線定理圓冪定理 

4、O中，割線PB交O于A，CD為弦P'C·P'Dr2OP'2PA·PBOP2r2r為O的半徑延長P'O交O于M，延長OP'交O于N，用相交弦定理證；過P作切線用切割線定理勾股定理證  8. 圓冪定理：過一定點P向O作任一直線，交O于兩點，則自定點P到兩交點的兩條線段之積為常數(shù)|（R為圓半徑），因為叫做點對于O的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理。 【典型例題】  例1. 如圖1，正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過A作半圓切線，切點為F，交CD于E，求DE：AE的值。圖1 

5、   解：由切線長定理知：AFAB1，EFCE    設(shè)CE為x，在RtADE中，由勾股定理        ，       例2. O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE6cm，BE2cm，CD7cm，那么CE_cm。圖2    解：由相交弦定理，得    AE·BECE·DE    AE6cm，BE2cm，CD7cm，

6、0;   ，    ，    即    CE3cm或CE4cm。    故應(yīng)填3或4。    點撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。   例3. 已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則_。    解：PP    PACB，    PACPBA，    ， &#

7、160;  。    又PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得        ，    即  ，    故應(yīng)填PC。    點撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。   例4. 如圖3，P是O外一點，PC切O于點C，PAB是O的割線，交O于A、B兩點，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是_cm。圖3 

8、;   解：PC是O的切線，PAB是O的割線，且PA：PB1：4    PB4PA    又PC12cm    由切割線定理，得        ，        PB4×624（cm）    AB24618（cm）    設(shè)圓心O到AB距離為d cm，    由勾股定理

9、，得        故應(yīng)填。   例5. 如圖4，AB為O的直徑，過B點作O的切線BC，OC交O于點E，AE的延長線交BC于點D，（1）求證：；（2）若ABBC2厘米，求CE、CD的長。圖4    點悟：要證，即要證CEDCBE。    證明：（1）連結(jié)BE        （2）。    又，    厘米。  

10、0; 點撥：有切線，并需尋找角的關(guān)系時常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。   例6. 如圖5，AB為O的直徑，弦CDAB，AE切O于A，交CD的延長線于E。圖5    求證：    證明：連結(jié)BD，    AE切O于A，    EADABD    AEAB，又ABCD，    AECD    AB為O的直徑    ADB90°

11、;    EADB90°    ADEBAD            CDAB        ADBC，   例7. 如圖6，PA、PC切O于A、C，PDB為割線。求證：AD·BCCD·AB圖6    點悟：由結(jié)論AD·BCCD·AB得，顯然要證PADPBA和PCDPBC 

12、0;  證明：PA切O于A，    PADPBA    又APDBPA，    PADPBA        同理可證PCDPBC        PA、PC分別切O于A、C    PAPC        AD·BCDC·AB   例8. 如圖7，在直角

13、三角形ABC中，A90°，以AB邊為直徑作O，交斜邊BC于點D，過D點作O的切線交AC于E。圖7    求證：BC2OE。    點悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證OE是ABC的中位線。而OAOB，只須證AECE。    證明：連結(jié)OD。    ACAB，AB為直徑    AC為O的切線，又DE切O于D    EAED，ODDE    OBOD，BODB  

14、0; 在RtABC中，C90°B    ODE90°        CEDC    EDEC    AEEC    OE是ABC的中位線    BC2OE   例9. 如圖8，在正方形ABCD中，AB1，是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧。點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點。

15、0;   當(dāng)DEF45°時，求證點G為線段EF的中點；圖8    解：由DEF45°，得    ，    DFEDEF    DEDF    又ADDC    AEFC    因為AB是圓B的半徑，ADAB，所以AD切圓B于點A；同理，CD切圓B于點C。    又因為EF切圓B于點G，所以AEEG，F(xiàn)CFG。 

16、;   因此EGFG，即點G為線段EF的中點。 【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一、選擇題  1. 已知：PA、PB切O于點A、B，連結(jié)AB，若AB8，弦AB的弦心距3，則PA（    ）    A.                  B.         

17、          C. 5                      D. 8  2. 下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（    ）    A. 平行四邊形      

18、0;                    B. 矩形    C. 菱形                         

19、0;           D. 梯形  3. 已知：如圖1直線MN與O相切于C，AB為直徑，CAB40°，則MCA的度數(shù)（    ）圖1    A. 50°                 B. 40°   &

20、#160;             C. 60°                 D. 55°  4. 圓內(nèi)兩弦相交，一弦長8cm且被交點平分，另一弦被交點分為1：4，則另一弦長為（    ）    A. 8cm 

21、60;                B. 10cm                C. 12cm                D. 16cm

22、60; 5. 在ABC中，D是BC邊上的點，AD，BD3cm，DC4cm，如果E是AD的延長線與ABC的外接圓的交點，那么DE長等于（    ）    A.                          B.     C.    

23、60;                    D.   6. PT切O于T，CT為直徑，D為OC上一點，直線PD交O于B和A，B在線段PD上，若CD2，AD3，BD4，則PB等于（    ）    A. 20           

24、         B. 10                     C. 5               D.  二、填空題  7. AB、CD是O切線，AB

25、CD，EF是O的切線，它和AB、CD分別交于E、F，則EOF_度。  8. 已知：O和不在O上的一點P，過P的直線交O于A、B兩點，若PA·PB24，OP5，則O的半徑長為_。  9. 若PA為O的切線，A為切點，PBC割線交O于B、C，若BC20，則PC的長為_。  10. 正ABC內(nèi)接于O，M、N分別為AB、AC中點，延長MN交O于點D，連結(jié)BD交AC于P，則_。 三、解答題  11. 如圖2，ABC中，AC2cm，周長為8cm，F(xiàn)、K、N是ABC與內(nèi)切圓的切點，DE切O于點M，且DEAC，求DE的長。圖2  12. 如

26、圖3，已知P為O的直徑AB延長線上一點，PC切O于C，CDAB于D，求證：CB平分DCP。圖3  13. 如圖4，已知AD為O的直徑，AB是O的切線，過B的割線BMN交AD的延長線于C，且BMMNNC，若AB，求O的半徑。圖4【試題答案】一、選擇題  1. A                   2. C               3. A               4. B