圓錐曲線大題練習(xí)1

1、1.已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點，且OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點.（）證明和均為定值;（）設(shè)線段PQ的中點為M，求的最大值；（）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得?若存在，判斷DEG的形狀；若不存在，請說明理由.2.如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線lMN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D.（I）設(shè)，求與的比值；（II）當(dāng)e變化時，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由3.設(shè)，點的坐標(biāo)為（1,1），點在拋物線上運動，點滿足，經(jīng)過點與軸垂直的直線交拋物

2、線于點，點滿足,求點的軌跡方程。 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足MB/OA， MAAB = MBBA，M點的軌跡為曲線C。（）求C的方程；（）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。5.在平面直角坐標(biāo)系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點已知為等腰三角形（）求橢圓的離心率；（）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程6.已知拋物線:，圓:的圓心為點M（）求點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離；（）已知點P是拋物線上一點（異于原點），過點P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點，若過M，P兩點的直線垂直于AB，求直線

3、的方程7.如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長.求，的方程；設(shè)與軸的交點為，過坐標(biāo)原點的直線與相交于點，直線，分別與相交于點，.()證明： ;()記,的面積分別為，問：是否存在直線，使得？請說明理由.1.已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點，且OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點.（）證明和均為定值;（）設(shè)線段PQ的中點為M，求的最大值；（）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得?若存在，判斷DEG的形狀；若不存在，請說明理由.【解析】（I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，P，Q兩點關(guān)于x軸對稱，所以因為在橢圓上，因此又因為所以；由、得此時 （2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的

4、方程為由題意知m，將其代入，得，其中即（*）又所以因為點O到直線的距離為所以，又整理得且符合（*）式，此時綜上所述，結(jié)論成立。 （II）解法一： （1）當(dāng)直線的斜率存在時，由（I）知因此 （2）當(dāng)直線的斜率存在時，由（I）知所以 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.綜合（1）（2）得|OM|PQ|的最大值為解法二：因為 所以即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。因此 |OM|PQ|的最大值為 （III）橢圓C上不存在三點D，E，G，使得證明：假設(shè)存在，由（I）得因此D，E，G只能在這四點中選取三個不同點，而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，與矛盾，所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G.2.如圖，已知橢圓C1的中

5、心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線lMN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D.（I）設(shè)，求與的比值；（II）當(dāng)e變化時，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由解：（I）因為C1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè)設(shè)直線，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得 4分當(dāng)表示A，B的縱坐標(biāo)，可知 6分 （II）t=0時的l不符合題意.時，BO/AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即解得因為所以當(dāng)時，不存在直線l，使得BO/AN；當(dāng)時，存在直線l使得BO/AN.3.設(shè)，點的坐標(biāo)為（1,1），

6、點在拋物線上運動，點滿足，經(jīng)過點與軸垂直的直線交拋物線于點，點滿足,求點的軌跡方程。 【命題意圖】：本題考查直線和拋物線的方程，平面向量的概念，性質(zhì)與運算，動點軌跡方程等基本知識，考查靈活運用知識探究問題和解決問題的能力，全面考核綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。【解析】：由知Q,M,P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè)，則，即 再設(shè),由，即，解得 將代入式，消去得 又點B在拋物線上，所以，再將式代入得 ，即，即，因為，等式兩邊同時約去得 這就是所求的點的軌跡方程?！窘忸}指導(dǎo)】：向量與解析幾何相結(jié)合時，關(guān)鍵是找到表示向量的各點坐標(biāo)，然后利用相關(guān)點代入法或根與系數(shù)關(guān)系解決問題，此外解析幾何中的代數(shù)式計算量都是很

7、大的，計算時應(yīng)細(xì)致加耐心。4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足MB/OA， MAAB = MBBA，M點的軌跡為曲線C。（）求C的方程；（）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。解析; ()設(shè)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由題意可知（+）=0, 即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.所以曲線C的方程式為y=x-2.()設(shè)P(x,y)為曲線C：y=x-2上一點，因為y=x,所以的斜率為x因此直線的方程為，即。則o點到的距離.又，所

8、以當(dāng)=0時取等號，所以o點到距離的最小值為2.點評：此題考查曲線方程的求法、直線方程、點到直線的距離、用不等式求最值以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等。要把握每一個環(huán)節(jié)的關(guān)鍵。5.在平面直角坐標(biāo)系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點已知為等腰三角形（）求橢圓的離心率；（）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程解：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問題能力與運算能力.滿分13分. （I）解：設(shè) 由題意，可得即整理得（舍），或所以（）解:由（）知,可得橢圓方程為.直線方程為,A,B兩點的坐標(biāo)滿足方程

9、組,消去y并整理,得,解得,得方程組的解,不妨設(shè),設(shè)點的坐標(biāo)為,則,.由得,于是,由，即,化簡得,將代入,得,所以,因此,點的軌跡方程是.6.已知拋物線:，圓:的圓心為點M（）求點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離；（）已知點P是拋物線上一點（異于原點），過點P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點，若過M，P兩點的直線垂直于AB，求直線的方程【解析】（）由得準(zhǔn)線方程為，由得M，點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為（）設(shè)點 ， 由題意得設(shè)過點的圓的切線方程為即 則即設(shè)，的斜率為（）則是上述方程的兩個不相等的根，將代入得由于是方程的根故，所以，由得解得點的坐標(biāo)為直線的方程為.7.是雙曲線E：上一點，M，N分別是雙曲線E

10、的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為（1）求雙曲線的離心率；（2）過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，C為雙曲線上一點，滿足，求的值解：（1）已知雙曲線E：，在雙曲線上，M，N分別為雙曲線E的左右頂點，所以，直線PM，PN斜率之積為而，比較得（2）設(shè)過右焦點且斜率為1的直線L：，交雙曲線E于A，B兩點，則不妨設(shè)，又，點C在雙曲線E上：*（1）又 聯(lián)立直線L和雙曲線E方程消去y得：由韋達(dá)定理得：，代入（1）式得：8.如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長.求，的方程；設(shè)與軸的交點為，過坐標(biāo)原點的直線與相交于點，直線，分別與相交于點，.()證明： ;()記,的面積分別為，問：是否存在直線，使得？請說明理由.解：由題意知，從而，又，解得，故，的方程分別為，（）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為由得設(shè)，則是上述方程的兩個實根，于是又點，所以故即（ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點的坐標(biāo)為又直線的斜率為