實際問題與一元一次方程(常見題型)

1、實際問題與一元一次方程（一）基礎(chǔ)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.熟練掌握分析解決實際問題的一般方法及步驟；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路【要點梳理】知識點一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟列方程解應(yīng)用題的基本思路為：問題方程解答由此可得解決此類題的一般步驟為：審、找、設(shè)、列、解、檢、答 要點詮釋：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系。（2）“找”尋找等量關(guān)系；（3）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時也可以間接設(shè)未知數(shù)；（4）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)

2、一；（5）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值（6）“檢”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當(dāng)有不符合的解時，及時指出，舍去即可；（7）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚知識點二、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型1和、差、倍、分問題 （1）基本量及關(guān)系：增長量原有量×增長率，現(xiàn)有量原有量+增長量，現(xiàn)有量原有量-降低量（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等2行程問題 （1）三個基本量間的關(guān)系： 路程=速度×時間 （2）基本類型有： 相遇問題（或相向問題）：基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時間 尋找相等關(guān)系：甲

3、走的路程+乙走的路程兩地距離追及問題：基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時間尋找相等關(guān)系：第一， 同地不同時出發(fā)：前者走的路程追者走的路程；第二， 同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離追者走的路程航行問題：基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度水流速度，順?biāo)俣饶嫠俣?×水流速度；尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮3工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設(shè)為1基本關(guān)系式：（1）總工作量=工作效率×工作時間；（2）總工作量=各單位工作量之和4調(diào)配問題 尋找相等關(guān)系的方法：抓住調(diào)

4、配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關(guān)系去考慮【典型例題】類型一、和差倍分問題12011年北京市生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米，其中居民家庭用水比生產(chǎn)運營用水的3倍還多0.6億立方米，問生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水各多少億立方米?【答案與解析】設(shè)生產(chǎn)運營用水x億立方米，則居民家庭用水(5.8-x)億立方米 依題意，得5.8-x3x+0.6 解得x1.3 5.8-x5.8-1.34.5（億立方米）答：生產(chǎn)運營用水1.3億立方米，居民家庭用水4.5億立方米【總結(jié)升華】本題要求兩個未知數(shù)，不妨設(shè)其中一個未知數(shù)為x，另外一個用含x的式子表示本題的相等關(guān)系是生產(chǎn)運營用水量+居民家庭用水總量5.

5、8億立方米舉一反三：【變式】(麻城期末考試)麻商集團(tuán)三個季度共銷售冰箱2800臺，第一個季度銷售量是第二個季度的2倍第三個季度銷售量是第一個季度的2倍，試問麻商集團(tuán)第二個季度銷售冰箱多少臺?【答案】解：設(shè)第二個季度麻商集團(tuán)銷售冰箱x臺，則第一季度銷售量為2x臺，第三季度銷售量為4x臺，依題意可得：x+2x+4x2800，解得：x400 答：麻商集團(tuán)第二個季度銷售冰箱400臺類型二、行程問題1.一般問題2小山娃要到城里參加運動會，如果每小時走4千米，那么走完預(yù)訂時間離縣城還有0.5千米，如果他每小時走5千米，那么比預(yù)訂時間早半小時就可到達(dá)縣城試問學(xué)校到縣城的距離是多少千米?【答案與解析】 解：設(shè)

6、小山娃預(yù)訂的時間為x小時，由題意得： 4x+0.55(x-0.5)，解得x3 所以4x+0.54×3+0.512.5(千米) 答：學(xué)校到縣城的距離是12.5千米【總結(jié)升華】當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)有困難時，可采用間接設(shè)的方法即所設(shè)的不是最后所求的，而是通過求其它的數(shù)量間接地求最后的未知量舉一反三：【變式】某汽車在一段坡路上往返行駛，上坡的速度為10千米/時，下坡的速度為20千米/時，求汽車的平均速度【答案】解：設(shè)這段坡路長為a千米，汽車的平均速度為x千米/時，則上坡行駛的時間為小時，下坡行駛的時間為小時依題意，得：，化簡得： 顯然a0，解得答：汽車的平均速度為千米/時2.相遇問題（相向問題）

7、【高清課堂：實際問題與一元一次方程(一) 388410 相遇問題】3 A、B兩地相距100km，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲騎了1h后，乙從B地出發(fā)，問甲經(jīng)過多少時間與乙相遇？【答案與解析】解:設(shè)甲經(jīng)過x小時與乙相遇. 由題意得： 解得，x=2.75答：甲經(jīng)過2.75小時與乙相遇【總結(jié)升華】等量關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程=100km舉一反三：【變式】甲、乙兩人騎自行車，同時從相距45km的兩地相向而行，2小時相遇，每小時甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小時各行駛多少千米?【答案】解：設(shè)乙每小時行駛x千米，則甲每小時行駛(x

8、+2.5)千米，根據(jù)題意，得：解得：（千米）答：甲每小時行駛12.5千米，乙每小時行駛10千米3.追及問題（同向問題）4一隊學(xué)生去校外進(jìn)行軍事野營訓(xùn)練，他們以5千米/時的速度行進(jìn)，走了18分鐘時，學(xué)校要將一緊急通知傳給隊長，通訊員從學(xué)校出發(fā)，騎自行車以14千米/時的速度按原路追上去，通訊員用多少分鐘可以追上學(xué)生隊伍?【答案與解析】解：設(shè)通訊員x小時可以追上學(xué)生隊伍，則根據(jù)題意，得，得：， 小時=10分鐘答：通訊員用10分鐘可以追上學(xué)生隊伍【總結(jié)升華】追及問題：路程差=速度差×時間，此外注意：方程中x表示小時，18表示分鐘，兩邊單位不一致，應(yīng)先統(tǒng)一單位4.航行問題（順逆風(fēng)問題） 5一艘

9、船航行于A、B兩個碼頭之間，輪船順?biāo)叫行?小時，逆水航行需5小時，已知水流速度是4千米/時，求這兩個碼頭之間的距離【答案與解析】解法1：設(shè)船在靜水中速度為x千米/時，則船順?biāo)叫械乃俣葹?x+4)千米/時，逆水航行的速度為(x-4)千米/時，由兩碼頭的距離不變得方程：3(x+4)5(x-4)，解得：x=16，（16+4）×3=60（千米） 答：兩碼頭之間的距離為60千米解法2：設(shè)A、B兩碼頭之間的距離為x千米，則船順?biāo)叫袝r速度為千米/時，逆水航行時速度為千米/時，由船在靜水中的速度不變得方程：，解得：答：兩碼頭之間的距離為60千米【總結(jié)升華】順流速度=靜水速度+水流速度；逆流速度

10、=靜水速度-水流速度，根據(jù)兩個碼頭的距離不變或船在靜水中的速度不變列方程類型三、工程問題6一個水池有兩個注水管，兩個水管同時注水，10小時可以注滿水池；甲管單獨開15小時可以注滿水池，現(xiàn)兩管同時注水7小時，關(guān)掉甲管，單獨開乙管注水，還需要幾小時能注滿水池?【思路點撥】視水池的蓄水量為“1”，設(shè)乙管還需x小時可以注滿水池；那么甲乙合注1小時注水池的，甲管單獨注水每小時注水池的，合注7小時注水池的，乙管每小時注水池的【答案與解析】 解：設(shè)乙管還需x小時才能注滿水池 由題意得方程： 解此方程得：x9 答：單獨開乙管，還需9小時可以注滿水池【總結(jié)升華】工作效率×工作時間=工作量，如果沒有具體

11、的工作量，一般視總的工作量為“1” 舉一反三：【變式】修建某處住宅區(qū)的自來水管道，甲單獨完成需14天，乙單獨完成需18天，丙單獨完成需12天，前7天由甲、乙兩人合作，但乙中途離開了一段時間，后兩天由乙、丙合作完成問乙中途離開了幾天?【答案】解：設(shè)乙中途離開x天，由題意得解得：答：乙中途離開了3天類型四、調(diào)配問題（比例問題、勞動力調(diào)配問題）7星光服裝廠接受生產(chǎn)某種型號的學(xué)生服的任務(wù)，已知每3m長的某種布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，計劃用750m長的這種布料生產(chǎn)學(xué)生服，應(yīng)分別用多少布料生產(chǎn)上衣和褲子才能恰好配套?共能生產(chǎn)多少套?【思路點撥】每3米布料可做上衣2件或褲子3條，

12、意思是每1米布料可做上衣 件，或做褲子1條，此外恰好配套說明褲子的數(shù)量應(yīng)該等于上衣的數(shù)量【答案與解析】解：設(shè)做上衣需要xm，則做褲子為(750-x)m，做上衣的件數(shù)為件，做褲子的件數(shù)為，則有：解得：x450， 750-x750-450300(m)， （套） 答：用450m做上衣，300m做褲子恰好配套，共能生產(chǎn)300套【總結(jié)升華】用參數(shù)表示上衣總件數(shù)與褲子的總件數(shù)，等量關(guān)系：上衣總件數(shù)褲子的總件數(shù)舉一反三：【高清課堂：實際問題與一元一次方程(一) 調(diào)配問題】【變式】甲隊有72人，乙隊有68人，需要從甲隊調(diào)出多少人到乙隊，才能使甲隊恰好是乙隊人數(shù)的 .解：設(shè)從甲隊調(diào)出x人到乙隊.由題意得， 解得

13、，x=12.答：需要從甲隊調(diào)出 12人到乙隊，才能使甲隊恰好是乙隊人數(shù)的 .實際問題與一元一次方程（二）（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.熟練掌握分析解決實際問題的一般方法及步驟；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路【要點梳理】要點一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟要點二、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型（待續(xù)）1和、差、倍、分問題 （1）基本量及關(guān)系：增長量原有量×增長率，現(xiàn)有量原有量+增長量，現(xiàn)有量原有量-降低量（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等2行程問題 （1）三個基本量間的關(guān)系： 路程=速度×時間 （

14、2）基本類型有： 相遇問題（或相向問題）：基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時間 尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程兩地距離追及問題：基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時間尋找相等關(guān)系： 第一，同地不同時出發(fā)：前者走的路程追者走的路程； 第二，同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離追者走的路程航行問題：基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度水流速度，順?biāo)俣饶嫠俣?×水速；尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮3工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設(shè)為1基本關(guān)系式：（1）總工

15、作量=工作效率×工作時間；（2）總工作量=各單位工作量之和4調(diào)配問題 尋找相等關(guān)系的方法：抓住調(diào)配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關(guān)系去考慮【典型例題】類型一、和差倍分問題1旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？ 【答案與解析】解：設(shè)油箱里原有汽油x公斤，由題意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40% 解得：x=10 答：油箱里原有汽油10公斤.【點評】等量關(guān)系為：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. 舉一反三：【變式】某班舉辦了

16、一次集郵展覽，展出的郵票若平均每人3張則多24張，若平均每人4張則少26張，這個班有多少學(xué)生?一共展出了多少張郵票?【答案】解：設(shè)這個班有x名學(xué)生，根據(jù)題意得： 3x+244x-26 解得：x50 所以3x+243×50+24174 答：這個班有50名學(xué)生，一共展出了174張郵票類型二、行程問題1.車過橋問題2. 某橋長1200m，現(xiàn)有一列勻速行駛的火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全過橋共用了50s，而整個火車在橋上的時間是30s，求火車的長度和速度【思路點撥】正確理解火車“完全過橋”和“完全在橋上”的不同含義【答案與解析】解：設(shè)火車車身長為xm，根據(jù)題意，得：，解得：x300，

17、所以答：火車的長度是300m，車速是30m/s【點評】火車“完全過橋”和“完全在橋上”是兩種不同的情況，借助線段圖分析如下(注：A點表示火車頭)： (1)火車從上橋到完全過橋如圖(1)所示，此時火車走的路程是橋長+車長(2)火車完全在橋上如圖(2)所示，此時火車走的路程是橋長車長由于火車是勻速行駛的，所以等量關(guān)系是火車從上橋到完全過橋的速度整個火車在橋上的速度 舉一反三：【變式】某要塞有步兵692人，每4人一橫排，各排相距1米向前行走，每分鐘走86米，通過長86米的橋，從第一排上橋到排尾離橋需要幾分鐘？【答案】 解：設(shè)從第一排上橋到排尾離橋需要x分鐘，列方程得：，解得：x3答：從第一排上橋到排

18、尾離橋需要3分鐘2.相遇問題（相向問題） 3小李騎自行車從A地到B地，小明騎自行車從B地到A地，兩人都勻速前進(jìn).已知兩人在上午8時同時出發(fā)，到上午10時，兩人還相距36千米，到中午12點，兩人又相距36千米.求A、B兩地間的路程.【答案與解析】解：設(shè)A、B兩地間的路程為x千米，由題意得：解得：108答：A、B兩地間的路程為108千米.【點評】根據(jù)“勻速前進(jìn)”可知A、B的速度不變，進(jìn)而A、B的速度和不變.利用速度和=小李和小明前進(jìn)的路程和時間可得方程舉一反三：【高清課堂：實際問題與一元一次方程(一)388410二次相遇問題】【變式】甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩站同時開出，相向而行，途中相遇后繼續(xù)

19、沿原路線行駛，在分別到達(dá)對方車站后立即返回，兩車第二次相遇時距A站34km，已知甲車的速度是70km/h，乙車的速度是52km/h，求A、B兩站間的距離.【答案】解：設(shè)A、B兩站間的距離為x km，由題意得： 解得：x=122答： A、B兩站間的距離為122km.3.追及問題（同向問題）4一輛卡車從甲地勻速開往乙地，出發(fā)2小時后，一輛轎車從甲地去追這輛卡車，轎車的速度比卡車的速度每小時快30千米，但轎車行駛一小時后突遇故障，修理15分鐘后，又上路追這輛卡車，但速度減小了，結(jié)果又用兩小時才追上這輛卡車，求卡車的速度【答案與解析】解：設(shè)卡車的速度為x千米/時，由題意得： 解得：x=24 答：卡車的

20、速度為24千米/時【點評】采用“線示”分析法，畫出示意圖利用轎車行駛的總路程等于卡車行駛的總路程來列方程，理清兩車行駛的速度與時間4.航行問題（順逆風(fēng)問題）5盛夏，某校組織長江夜游，在流速為2.5千米/時的航段，從A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小時已知A、C兩地相距10千米，船在靜水中的速度為7.5千米/時，求A、B兩地間的距離【思路點撥】由于C的位置不確定，要分類討論：（1）C地在A、B之間；（2）C地在A地上游【答案與解析】解：設(shè)A、B兩地間的距離為x千米 (1)當(dāng)C地在A、B兩地之間時，依題意得 解這個方程得：x20(千米) (2)當(dāng)C地在A地上游時，依題意得

21、： 解這個方程得： 答：A、B兩地間的距離為20千米或千米【點評】這是航行問題，本題需分類討論，采用“線示”分析法畫出示意圖(如下圖所示)，然后利用“共乘”4小時構(gòu)建方程求解5.環(huán)形問題6環(huán)城自行車賽，最快的人在開始48分鐘后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，環(huán)城一周是20千米，求兩個人的速度. 【答案與解析】解；設(shè)最慢的人速度為x千米/時，則最快的人的速度為x千米/時， 由題意得:x×-x×=20 解得：x=10 答：最快的人的速度為35千米/時，最慢的人的速度為10千米/時.【點評】這是環(huán)形路上的追及問題，距離差為環(huán)城一周20千米.相等關(guān)系為：最快的

22、人騎的路程 - 最慢人騎的路程=20千米. 舉一反三：【變式】兩人沿著邊長為90m的正方形行走，按ABCDA方向，甲從A以65m/min的速度，乙從B以72m/min的速度行走，如圖所示，當(dāng)乙第一次追上甲時，在正方形的哪一條邊上?【答案】解：設(shè)乙追上甲用了x分鐘，則有： 72x-65x3×90 （分）答：乙第一次追上甲時走了(m) 此時乙在AD邊上類型三、工程問題7一個蓄水池有甲、乙兩個進(jìn)水管和一個丙排水管，單獨開甲管6小時可注滿水池；單獨開乙管8小時可注滿水池，單獨開丙管9小時可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時開放2小時，然后打開丙管，問打開丙管后幾小時可注滿水池?【答案與解析】解

23、：設(shè)再過x小時可把水注滿由題意得：解得：答：打開丙管后小時可把水放滿【點評】相等關(guān)系：甲、乙開2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1舉一反三：【變式】收割一塊水稻田，若每小時收割4畝，預(yù)計若干小時完成，收割后，改用新式農(nóng)機(jī)，工作效率提高到原來的倍，因此比預(yù)計時間提早1小時完成，求這塊水稻田的面積【答案】解：設(shè)這塊水稻田的面積為x畝，由題意得： 解得：答：這塊水稻田的面積為36畝類型四、配套問題（比例問題、勞動力調(diào)配問題）8某工程隊每天安排120個工人修建水庫，平均每天每個工人能挖土5 m3或運土3 m3，為了使挖出的土及時被運走，問：應(yīng)如何安排挖土和運土的工人?【答案與解析】解：設(shè)安排x人挖

24、土，則運土的有(120-x)人，依題意得：5x3(120-x)，解得x45 120-4575(人)答：應(yīng)安排45人挖土，75人運土【點評】用參數(shù)表示挖土數(shù)與運土數(shù)，等量關(guān)系：挖土與運土的總立方米數(shù)應(yīng)相等舉一反三：【高清課堂：實際問題與一元一次方程(一) 配制問題】【變式】某商店選用A、B兩種價格分別是每千克28元和每千克20元的糖果混合成雜拌糖果后出售，為使這種雜拌糖果的售價是每千克25元，要配制這種雜拌糖果100千克，問要用這兩種糖果各多少千克？【答案】解：設(shè)要用A種糖果x千克，則B種糖果用(100-x)千克.依題意，得： 28x+20(100-x)=25×100 解得：x=62.

25、5. 當(dāng)x=62.5時，100-x=37.5.答：要用A、B兩種糖果分別為62.5千克和37.5千克.實際問題與一元一次方程（三）（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)進(jìn)一步提高分析實際問題中數(shù)量關(guān)系的能力，能熟練找出相等關(guān)系并列出方程；(2)熟悉利潤，存貸款，數(shù)字及方案設(shè)計問題的解題思路【要點梳理】要點一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟要點三、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型（續(xù)）1利潤問題 （1） (2) 標(biāo)價成本(或進(jìn)價)×(1利潤率) (3) 實際售價標(biāo)價×打折率(4) 利潤售價成本(或進(jìn)價)成本×利潤率注意：“商品利潤售價成本”中的右邊為正時，是盈利；當(dāng)右邊為負(fù)時

26、，就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售2存貸款問題 （1）利息=本金×利率×期數(shù)（2）本息和（本利和）本金利息本金本金×利率×期數(shù)本金×(1利率×期數(shù))（3）實得利息=利息-利息稅（4）利息稅=利息×利息稅率（5）年利率月利率×12（6）月利率年利率×3.數(shù)字問題 已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a4方案問題 選擇設(shè)計方案的一般步驟： （1）運用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種

27、方案值相等的情況（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論【典型例題】類型一、利潤問題【高清課堂：實際問題與一元一次方程(二) 利潤問題例2】1以現(xiàn)價銷售一件商品的利潤率為30%，如果商家在現(xiàn)有的價格基礎(chǔ)上先提價40%，后降價50%的方法進(jìn)行銷售，商家還能有利潤嗎？為什么？【答案與解析】解：設(shè)該商品的成本為a元，則商品的現(xiàn)價為(1+30%)a元，依題意其后來折扣的售價為(1+30%)a·(1+40%)(1-50%)=0.91a.0.91a-a=-0.09a, ·100%=-9%.答：商家不僅沒有利潤，而且虧損的利潤率為9%

28、.【總結(jié)升華】解答此類問題時，一定要弄清題意分清售價、進(jìn)價、數(shù)量、利潤之間的關(guān)系很重要舉一反三：【高清課堂：實際問題與一元一次方程(二)388413利潤問題例3】【變式1】某個商品的進(jìn)價是500元，把它提價40%后作為標(biāo)價.如果商家要想保住12%的利潤率搞促銷活動，請你計算一下廣告上可寫出打幾折？【答案】解：設(shè)該商品打x折，依題意，則： 500(1+40%)·=500（1+12%）.x=8. 答：該商品的廣告上可寫上打八折.【變式2】張新和李明相約到圖書大廈去買書，請你根據(jù)他們的對話內(nèi)容(如圖所示)，求出李明上次所買書籍的原價【答案】 解：設(shè)李明上次購買書籍的原價為x元，由題意得：0

29、.8x+20x-12，解這個方程得：x160答：李明上次所買書籍的原價是160元類型二、存貸款問題2爸爸為小強存了一個五年期的教育儲蓄，年利率為2.7，五年后取出本息和為17025元，爸爸開始存入多少元.【答案與解析】解：設(shè)爸爸開始存入x元.根據(jù)題意，得xx×2.7×517025.解之，得x15000答：爸爸開始存入15000元.【總結(jié)升華】本息和本金利息，利息本金×利率×期數(shù)類型三、數(shù)字問題3一個三位數(shù)，十位上的數(shù)是百位上的數(shù)的2倍，百位、個位上的數(shù)的和比十位上的數(shù)大2，又個位、十位、百位上的數(shù)的和是14，求這個三位數(shù).【答案與解析】解：設(shè)百位上的數(shù)為

30、x，則十位上的數(shù)為2x，個位上的數(shù)為14-2x-x 由題意得：x+14-2x-x=2x+2 解得：x=3 x=3， 2x=6，14-2x-x=5答：這個三位數(shù)為365【總結(jié)升華】在數(shù)字問題中應(yīng)注意：（1）求的是一個三位數(shù)，而不是三個數(shù)；（2）這類應(yīng)用題，一般設(shè)間接未知數(shù)，切勿求出x就答；(3) 三位數(shù)字的表示方法是百位上的數(shù)字乘以100，10位上的數(shù)字乘以10，然后把所得的結(jié)果和個位數(shù)字相加舉一反三：【變式】一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大4，這個兩位數(shù)又是這兩個數(shù)字的和的4倍，求這個兩位數(shù).【答案】解：設(shè)十位上的數(shù)字為，則個位上的數(shù)字為（），由題意得： 解得： 答：這兩位數(shù)是48.類

31、型四、方案設(shè)計問題4為鼓勵學(xué)生參加體育鍛煉學(xué)校計劃拿出不超過1600元的資金再購買一批籃球和排球已知籃球和排球的單價比為3:2，單價和為80元 (1)籃球和排球的單價分別是多少元?(2)若要求購買的籃球和排球的總數(shù)量是36個，且購買的籃球數(shù)量不少于26個請?zhí)骄坑心膸追N購買方案?【答案與解析】解：(1)設(shè)籃球和排球的單價分別為3x元和2x元 依題意3x+2x80，解得x16 即 3x48，2x32答：籃球和排球的單價分別為48元和32元 (2)采用列表法探索：類別方案籃球（x個）排球（36-x）個合計（元）(1)26101568(2)2791584(3)2881600(4)2971616由列表可

32、知，共有三種購買方案：方案一：購買籃球26個，排球10個；方案二：購買籃球27個，排球9個；方案三：購買籃球28個，排球8個【總結(jié)升華】本例設(shè)未知數(shù)的方法很獨特，值得借鑒采用列表的方法探索方案，值得學(xué)習(xí)舉一反三：【變式】(武昌區(qū)期末調(diào)考)某校組織10位教師和部分學(xué)生外出考察，全程票價為25元，對集體購票，客運公司有兩種優(yōu)惠方案可供選擇：方案一：所有師生按票價的88%購票；方案二：前20人購全票，從第21人開始，每人按票價的80%購票 (1)若有30位學(xué)生參加考察，問選擇哪種方案更省錢? (2)參加考察的學(xué)生人數(shù)是多少時，兩種方案車費一樣多?【答案】 解：設(shè)有x位學(xué)生參加考察 按方案一購票費用為

33、：25×88%(10+x)22x+220 按方案二購票費用為：20×25+25×80%(x+10-20)20x+300 (1)當(dāng)x30時： 22x+220660+220880(元) 20x+300600+300900(元) 答：當(dāng)有30位學(xué)生參加考察，選擇方案一更省錢 (2)設(shè)22x+22020x+300，解得：x40答：參加考察的學(xué)生人數(shù)為40人時，兩種方案車費一樣多實際問題與一元一次方程（四）（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)進(jìn)一步提高分析實際問題中數(shù)量關(guān)系的能力，能熟練找出相等關(guān)系并列出方程；(2)熟悉利潤，存貸款，數(shù)字及方案設(shè)計問題的解題思路【要點梳理】要點一、用

34、一元一次方程解決實際問題的一般步驟要點三、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型（續(xù)）1利潤問題 （1） (2) 售價 (1利潤率). 成本(3) 售價標(biāo)價×打折率(4) 利潤售價成本(或進(jìn)價) 利潤 成本×利潤率注意：“商品利潤售價成本”中的商品利潤為正時，是盈利；當(dāng)為商品利潤負(fù)時，就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售2存貸款問題 （1）利息=本金×利率×期數(shù)（2）本息和（本利和）本金利息本金本金×利率×期數(shù)本金×(1利率×期數(shù))（3）實得利息=利息-利息稅（4）利息稅=利息×利息稅率（5）年利率

35、月利率×12（6）月利率年利率×3.數(shù)字問題 已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a4方案問題 選擇設(shè)計方案的一般步驟： （1）運用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論【典型例題】類型一、利潤問題1文星商店以每支4元的價格進(jìn)100支鋼筆，賣出時每支的標(biāo)價6元，當(dāng)賣出一部分鋼筆后，剩余的打9折出售，賣完時商店贏利188元，其中打9折的鋼筆有幾支?【答案與解析】解：

36、設(shè)打折的鋼筆有x支，則有： 6(100-x)+6×90%x100×4+188 解得x20 答：打9折的鋼筆有20支【總結(jié)升華】本題可以采用列表法分析問題：售價數(shù)量售出總價按標(biāo)價出售6 100-x6(100-x)剩余的打折出售6×90%x6×90%x此外本題還可以這樣列方程：(6-4)(100-x)+(6×0.9-4)x188，這是以利潤作為相等關(guān)系來構(gòu)建方程的，其結(jié)果一樣舉一反三：【高清課堂：實際問題與一元一次方程(二) 388413 思考與研究1】【變式】某種商品的標(biāo)價為900元，為了適應(yīng)市場競爭，店主打出廣告：該商品九折出售，并返100元現(xiàn)

37、金.這樣他仍可獲得10%的利潤率（相對于進(jìn)貨價），問此商品的進(jìn)貨價是多少？（用四舍五入法精確到個位）【答案】解：設(shè)此商品的進(jìn)貨價為x元，依題意，得：(900×0.9-100)-x=10%x， 得：x= x645.答：此商品的進(jìn)價約為645元.類型二、存貸款問題2某公司從銀行貸款20萬元，用來生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該貸款的年利率為15%(不計復(fù)利)，每個產(chǎn)品成本是3.2元，售價是5元，應(yīng)納稅款為銷售款的10%如果每年生產(chǎn)10萬個，并把所得利潤(利潤售價成本應(yīng)納稅款)用來償還貸款，問幾年后能一次性還清?【答案與解析】 解：設(shè)x年后能一次性還清貸款，根據(jù)題意， 得(5-3.2-5×1

38、0%)·10x20+20×15%x 解之，得x2 答：所以2年后能一次性還清貸款【總結(jié)升華】解答本題利用了類比的數(shù)學(xué)方法，把貸款與存款相類比，貸款金額相當(dāng)于存款本金，貸款的年利率相當(dāng)于存款的年利率，每年產(chǎn)品的利潤售價成本應(yīng)納稅款，產(chǎn)品的總利潤等于本息和舉一反三：【高清課堂：實際問題與一元一次方程(二) 388413 貸款問題】【變式】小華父母為了準(zhǔn)備她上大學(xué)時的16000元學(xué)費，在她上初一時參加教育儲蓄，準(zhǔn)備先存一部分，等她上大學(xué)時再貸一部分.小華父母存的是六年期（年利率為2.88%），上大學(xué)貸款的部分打算用8年時間還清（年貸款利息率為6.21%），貸款利息的50%由政府補

39、貼.如果參加教育儲蓄所獲得的利息與申請貸款所支出的利息相等，小華父母用了多少錢參加教育儲蓄？還準(zhǔn)備貸多少款？【答案】解：設(shè)小華父母用x元參加教育儲蓄，依題意， x×2.88%×6=(16000-x)×6.21%×8×50%, 解得, x9436(元) 16000-9436=6564(元).答：小華父母用9436元參加教育儲蓄，還準(zhǔn)備貸6564元.類型三、數(shù)字問題3一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字的4倍多1，將這兩個數(shù)字調(diào)換順序所得的數(shù)比原數(shù)小63，求原數(shù)【答案與解析】 解：設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為4x+1根據(jù)題意得：10(4x+1)+x10x+(4x+1)+63，解得x2， 4x+14×2+19，故這個兩位數(shù)為92 答： 這個兩位數(shù)是92【總結(jié)升華】在數(shù)字問題中應(yīng)注意：（1）求的是一個兩位數(shù)，而不是兩個數(shù)；（2）這類應(yīng)用題，一般設(shè)間接未知數(shù)，切勿求出x就答；（3）兩位數(shù)的表示方法是10位上的數(shù)字乘以10，把所得的結(jié)果和個位數(shù)字相加類型四、方案設(shè)計問題4某牛奶加工廠有鮮奶9噸，若在市場上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤500元，制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤1200元；制