多元微分學的基本概念計算與應用

1、多元微分學的基本概念、計算與應用一、考試內容（一）多元函數微分學計算法則1、記憶下述推理框圖：且偏導連續(xù)可偏導可微 方向導數存在（數一）連續(xù)2、記憶二元函數的偏導數定義：；，對類似；在處連續(xù)，對在處連續(xù)類似；在處連續(xù)，對在處連續(xù)類似；在處連續(xù).3、記憶多元復合函數的求導法：，則全導數，或.，則，.，則，.;.4、隱函數的求導法（兩端求導法與公式法）：公式法1：若，則存在，且.公式法2：若，則存在，且.若確定，則.5、記憶多元函數高階混合偏導數的求導法：若多元函數高階混合偏導數連續(xù)，則其結果與求導次序無關.6、記憶多元函數的求微法：滿足，則，且有.可微，則.可微，則.可微，且確定，則由計算.（二

2、）多元函數的極值與最值問題1、極值的必要條件和極值的充分條件設函數在點具有偏導數，且在點處有極值，則有設函數在點的某個鄰域內連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數，又令則在點處是否取得極值的條件如下： （1）時具有極值，且當時有極大值，當時有極小值； （2）時沒有極值； （3）時可能有極值也可能沒有極值，還需另外討論.2、多元函數的極大值、極小值. 求的極值的一般步驟為：第一步 解方程組 求出的所有駐點；第二步 求出函數的二階偏導數，依次確定各駐點處A、 B、 C的值，并根據的符號判定駐點是否為極值點. 最后求出函數在極值點處的極值.3、條件極值解條件極值途徑是將條件極值問題轉化為無條件極值問題.一般有

3、三個方法：一是降元法；二是升元法-拉格朗日乘數法；三是幾何法.降元法是解決條件極值問題最徹底的方法，它可使得原目標函數降元，變成一（二）元函數，得到駐點后，利用極值的充分條件進行判定，但有時降元無法實現(xiàn)，也會出現(xiàn)降元后的目標函數變得非常繁瑣.對升元法-拉格朗日乘數法，一般有以下兩種情況：（1） 在條件（）下, 求目標函數（）的極值. 引進拉格朗日函數（）它將有約束條件的極值問題化為無條件的極值問題.求解時，一般先利用消去，得到的關系，在與聯(lián)立求解.若得到唯一駐點，則根據實際情況判斷其極值性；若得到幾個駐點，則根據其相應的函數值大小判斷其極值性.（2） 在條件和下，求目標函數的極值，則引進拉格朗

4、日函數 .用幾何法時需記憶一些平面（空間（數一）解析幾何的公式，如：（1）點到平面距離公式.（2）點到直線的距離公式.（3）求點到曲面的距離,需用到曲面的切平面公式.4、多元函數的最大值與最小值（閉區(qū)域上的連續(xù)函數一定取得最大值和最小值）求函數的最大值和最小值的一般步驟為：第一步 求函數在內所有駐點處的函數值；第二步 求在的邊界上的最大值和最小值；第三步 將前兩步得到的函數值進行比較，其中最大者即為最大值, 最小者即為最小值. 注：在證明不等式的問題時，需將在上的最值問題與積分估值定理聯(lián)合考慮.（三）特殊曲面（數一）1、平面的方程為， 拋物面方程為.2、 球面方程為,橢球面方程為.3、錐面方程

5、為其中錐面的半頂角為.4、 對，繞軸旋轉生成的旋轉曲面方程為.5、空間曲線關于面的投影柱面方程為(消).（四）空間切向量與法向量（數一）1、空間曲線過相應于點處的切向量為，切線方程為，有向曲線元，是與同向的單位向量，為弧長元素.（數二需掌握平面弧長元素）2、過其上點處的切向量為.3、曲面過其上點處的法向量為，切平面方程為.注：數二需掌握平面曲線上點處的法向量為.4、曲面過相應于點處的法向量為，有向曲面元，是與同側的單位向量，曲面面積元素.（五）方向導數與梯度（數一）1、記憶方向導數與梯度的計算公式：在點處的梯度為，在點處沿方向的方向導數為，為的方向角，為軸到的轉角，在處沿梯度方向的達到最大值.

6、注：在處的全微分在處沿方向的方向導數為，其沿梯度方向的達到最大值.二、典型例題（公共）例1、設則.例2、設，問在點處:(1)偏導數是否存在? (2)偏導數是否連續(xù)? (3)是否可微?解： (1)，同理；(2)因，可知該極限不存在由對稱性，同理證不存在. 故及在處不連續(xù)；(3)，則其于處可微.注：常用夾逼求二重極限，（）.例3、設則.例4、設,具有二階連續(xù)偏導數,具有二階連續(xù)導數, 求.解：，.注：對常用確定，用確定，.，.例5、設函數可微，確定了，其中為常數，且滿足，則提示：本題用全微分法，也可運用兩端求導法與公式法，但在其過程中，要注意鏈式法則例6、已知具有二階導數，且，由所確定，設，求.解

7、：在中, 令 得，將其兩邊對求導得，再對求導得將代入上面兩式得，將，代入上面兩式得.注：常用兩端求導法求隱函數二階（偏）導數值，可進一步研究其極值性.例7、設,而是由方程所確定的的函數,若都具有一階連續(xù)偏導數，則.提示：方程的兩邊求微分得.例8、求由方程確定的函數的極值.解將方程兩邊對求偏導, 得因,代入得駐點，將上述兩個方程再對求偏導, 得 ， 則，將代入方程,得當則為極小值.當則為極大值.解二 配方法：，為極大值, 為極小值.例9、已知函數 的全微分，并且求在橢圓域上的最大值和最小值.解:，則，由，則令得可能極值點為，且再考慮其在邊界曲線上的情形：令，由 得駐點， ，而，可見在區(qū)域內的最大

8、值為，最小值為.推廣：求證：.例10求函數 在條件下的極值.解 令 有 ，得 ，又得， 解得駐點，注意約束集為單位圓，是有界閉集，故在其上必有最大（?。┲?，且最值必在駐點達到，最大者為極大值，最小者為極小值.例11、求曲線與之間的距離.（數一）解：任取，則由，得唯一駐點，從幾何意義知客觀存在，故所求距離為注：（1）的最小值為從幾何意義上知，到的距離之和最小為（2）函數的最小值為提示：該題可轉化為在上求一點，使其到直線的距離最短注：該題可用幾何法求解三、空間切（法）向量、方向導數與梯度（數一）例1、求曲線過點的切線方程，并判斷其與的位置關系解: 曲線在的切向量則其切線方程為，而已知平面的法向量則

9、又不在平面上，故所求切線方程與平面平行例2、橢球面與錐面的交線上點處的切線方程為.（）例3、在第一卦限內求曲面上一點，使過該點的切平面垂直于，且與三個坐標面所圍立體的體積為.解: 設點，過其切平面法向量，得（1）切平面在三坐標軸上的截距為：則題設體積 ，即，與（1）聯(lián)立，得點為和. 例4、函數在點處的梯度等于(D)(A)(B) (C) (D)例5、在點處沿下列哪個方向的方向導數最大（）解：，故選（）例6、設確定了隱函數，求其在點處方向導數的最大值解：當時，設， 則 ,有，故例7、若函數在點處沿軸正方向的方向導數取得最大值，則提示：例8、求在處沿指向方向的方向導數.提示：.例9、求函數在點處沿的

10、方向導數，其中為過處的內法向量.解：令,則可取,故.注1：過處法向量的方向為向上（下），有向曲面的側規(guī)定為其法向量的指向，有向曲面的上（下）側，其法向量的指向為向上（下）.注2：若為封閉曲面，則有向曲面的側也規(guī)定為其法向量的指向，有向曲面的內（外）側，其法向量指向曲面內（外）部，這樣的法向量簡稱內（外）法向量.四、課后練習（公共）1（A）、設則.2（A）、已知，則（B）（A），都存在（B）不存在，存在（C）存在，不存在（D），都不存在3（A）、考慮二元函數的下面4條性質:在點處連續(xù),在點處的兩個偏導數連續(xù),在點處可微,在點處的兩個偏導數存在.若用表示可由性質推出性質,則有( )（A）（B）（C

11、）（D）.4（A）、二元函數在點處可微的一個充分條件是(D)(A) (B)(C) (D)5（B）、如果在處連續(xù)，那么下列命題正確的是(B)（A）若極限存在，則在處可微（B）若極限存在，則在處可微（C）若在處可微，則極限存在（D）若在處可微，則極限存在提示：，反之不行6（A）、設連續(xù)，且則.7（B）、設問在點處:(1) 是否連續(xù)?（是，夾逼） (2)偏導數是否存在? （是） (3)是否可微? （否,特殊路徑）8（A）、設, 其中存在，則(B)(A) (B)(C) (D)9（A）、設，根據隱函數存在定理，在的一個鄰域內該方程能確定的具有連續(xù)偏導數的隱函數的個數為10（A）、設則.11（A）、設函數

12、，則.12（A）、設確定，則.13（A）、設函數，其中可微，則.14（A）、設是二元可微函數，則.15（A）、設由確定,其中可微,且則.16（A）、設，確定，則17（A）、設二導連續(xù), 則.18（A）、設函數，則19（B）、設二階偏導連續(xù), 且滿足 又, 則.20（B）、設,若都具有一階連續(xù)偏導數，且,則.21（B）、設由確定，其中二階可導，且，則（）,（）記，.22（B）、設函數，其中函數具有二階連續(xù)偏導數，函數可導，且在處取得極值，則23（A）、求函數的極值.是其極大值24（A）、求二元函數的極值.為其極小值25（A）、設函數具有二階連續(xù)導數，且，則函數在點處取得極小值的一個充分條件為（A

13、）（A）（B）（C）（D）26（B）、設均為可微函數，且，已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是(D)(A) 若，則 (B) 若，則. (C) 若，則 (D) 若，則. 27（B）、設是由確定的函數,求的極值點與極值. 是其極小點,極小值為；是其極大點,極大值為28（B）、在約束下的最大值為，最小值為.29（B）、在上值域為. 30（B）、在上的值域為.31（B）、面上到距離平方和最小的點為.32（B）、上點到坐標原點的最長距離為，最短距離為133（B）、內接于面的長方體（各表面平行于坐標面）的最大體積為.34（B）、已知曲線，求點距離面最遠點和最近點.最遠點為，最近點為.35（B）

14、、拋物面被平面截成一個橢圓,求原點到橢圓的最長和最短距離.五、空間切（法）向量、方向導數與梯度課后練習（數一）1(A)、曲面在點的切平面方程為（A）（A）（B）（C）（D）2(A)、若上點處的切平面平行于平面則點的坐標是(C)(A)(B)(C)(D)3(B)、設在點的附近有定義，且，則(C)(A)(B)曲面在處的法向量為(C)曲線在處的切向量為(D)曲線在處的切向量為提示：在處的切向量為.4(A)、曲面上點處的平面與面夾角的余弦為.5(A)、求過點的法線方程，并判斷其與的位置關系法線方程為；平行6(A)、確定并求的切線, 使之與平面垂直.；.7(B)、求過作與曲面相切的平面方程.（用平面束方程）.8(B)、設直線在平面上,而平面與曲面相切于點求之值.（,用平面束方程）9(A)、求證：上任何點處的切平面在各坐標軸上的截距之和等于.10(B)、設可微，證明：曲面