南師附中物理競賽講義106光學(xué)例題t

1、10.6費(fèi)馬原理 光學(xué)例題費(fèi)馬原理：光線在兩點(diǎn)間的實(shí)際路徑是使所需的傳播時(shí)間為極值的路徑。在大部分情況下，此極值為極小值。 可得:我們定義折射率與路徑長的乘積為光程,用表示,于是,費(fèi)馬原理又可表述為:光線在兩點(diǎn)之間的實(shí)際路徑,是使光程為極值的路徑. NNCldBA例1、如圖所示，湖中有一小島A，A與直湖岸的距離為d，湖岸邊的一點(diǎn)B，B沿湖岸方向與A點(diǎn)的距離為l，一人自A點(diǎn)出發(fā),要到達(dá)B點(diǎn)。已知他在水中游泳的速度為v1，在岸上走的速度為v2，且v1<v2，要求他由A至B所用的時(shí)間最短，此人當(dāng)如何先擇其運(yùn)動(dòng)的路線? 【解析】根據(jù)費(fèi)馬原理,若要人由A到B的時(shí)間最短,則所走路徑應(yīng)類似于光線所走路

2、徑.這時(shí)的水和岸相當(dāng)于介質(zhì),折射率分別為n1、n2.設(shè)最短時(shí)間為如圖所示路徑.則等效光線由水到岸滿足下式:這時(shí)的C實(shí)際上為光線發(fā)生全反射的臨界角.所以,我們不難得到:當(dāng)時(shí),人所走的路徑為如圖所示的路徑.即沿著和垂直于岸的方向成C的角度游向岸邊再在岸上走至B點(diǎn).當(dāng)時(shí),人由A直接游到B點(diǎn).【點(diǎn)評】本題若從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度分析,也可以作出解答,但比較麻煩.例1. 一曲率半徑R=60cm的凹面鏡水平放置,使其凹面向上,并在其中裝滿水，水的折射率為，假如裝滿水后水的的深度比半徑R小得多，試問平行光束成像于何處?【解析】法一:直接用折射定律和反射定律來做,未裝水時(shí),平行光束經(jīng)鏡面反射后通過焦點(diǎn)F,它離開鏡面頂點(diǎn)

3、的距離為30cm,若裝有水,當(dāng)、為小角度,由圖可知:FFa圖16- 1,由折射定律:法二:用逐次成像法,物體先經(jīng)過平面折射成像:再經(jīng)球面反射成像:由于是水很淺,所以:令可得:再經(jīng)平面折射:d26如圖所示，在焦距f=0.15m的凸透鏡L主軸上有一小光源S，凸透鏡L另一側(cè)有兩個(gè)反射面相向放置的平面鏡OM1和OM2平面鏡OM1和OM2彼此垂直，且與透鏡L主軸成450，兩平面鏡的交線與透鏡主軸垂直已知小光源中心到兩平面鏡的交線距離SO=O.9m，透鏡到兩平面鏡的交線距離O1O=O.3m，試求： (1)小光源S在透鏡主軸上共成多少個(gè)像? (2)小光源S在透鏡主軸外共成多少個(gè)像? 分別指出像的虛實(shí)、位置及

4、放大率由折射率為n=1.5的玻璃制成的對稱的雙凸透鏡，在空氣中焦距為30cm（1）把它放在平面鏡上形成一個(gè)折、反射系統(tǒng)，該系統(tǒng)的焦距為多少？（2）在透鏡和平面鏡之間注滿水，水的折射率為4/3，這個(gè)系統(tǒng)的折射率為多少？(b)(a)A【解析】(1)由于平面鏡成像的對稱性,從S發(fā)出的光線經(jīng)透鏡折射,再經(jīng)平面鏡反射,相當(dāng)于從鏡中對稱的像點(diǎn)S發(fā)出,經(jīng)鏡中透鏡像折折射出的,最后再經(jīng)透鏡的折射成像.因此,它相當(dāng)于兩個(gè)相同的透鏡組成的密接透鏡組,如圖所示.該透鏡組的焦距為:(2)當(dāng)在平面鏡與透鏡間加水后,相當(dāng)于原透鏡跟一個(gè)水透鏡(平凹)密接,再經(jīng)平面鏡反射就相當(dāng)于兩個(gè)雙凸透鏡與一個(gè)雙凹水透鏡的密接.在空氣中的

5、透鏡焦距可按下式求得:雙凸透鏡及水透鏡的折射面曲率半徑相同,但凸透鏡和凹透鏡半徑的符號相反.設(shè)玻璃雙凸透鏡焦距為f1,水雙凹透鏡的焦距為f2 (均對周圍介質(zhì)為空氣來說).則:式中n1、n2分別為玻璃和水的折射率.密接透鏡組等效焦距為f,則有:將n1=1.5,n2=,f1=30cm代入得:f=22.5cm【答案】15cm,22.5cm.【總結(jié)】此題要用到透鏡的焦距公式,密接透鏡的有關(guān)知識(shí).此題非常困難,困難的原因就在于學(xué)生對這一塊內(nèi)容不熟悉,平時(shí)在這方面的練習(xí)不夠.好象有點(diǎn)問題:中間的凹透鏡的兩個(gè)折射面的曲率均應(yīng)為r2?,答案題目把一個(gè)面的曲率看成是一個(gè)是r1,另一個(gè)面的曲率看成是r2,好象是值

6、得研究了.研究的思路是:用四次平面折射來看看.例10、如圖5所示，兩個(gè)薄凸透鏡與一個(gè)平面鏡及物屏共軸放在光具座上，每個(gè)凸透鏡的兩表面的曲率半徑均為R，的焦距分別為，它們之間的距離用d表示，且更靠近物屏。物屏上開有一個(gè)箭形小孔，若左右移動(dòng)物屏，同時(shí)改變d的大小，發(fā)現(xiàn)在物屏上可以多次得到倒立的清晰像，且左右移動(dòng)平面鏡對像無影響。問在物屏上能有幾次得到這樣的像，定量分析得到這些像的條件（在透鏡面有部分光線發(fā)生反射，不考慮2次以上的反射成像）。物屏上可以得到4個(gè)像。1、凸透鏡L1的后有面反射達(dá)到自準(zhǔn)直成像，光路如圖，設(shè)物屏到L1的距離為u1. 得 此情況一定能通過移動(dòng)物屏觀察到像2、L2前表面反射達(dá)到

7、自準(zhǔn)直成像，光路如圖，設(shè)物屏到L1的距離為u2此情況出現(xiàn)的條件為 3、L2后表面反射達(dá)到自準(zhǔn)直成像，光路如圖，設(shè)對L2成像時(shí)的物距為u，物屏與L1距離為u3，則 聯(lián)立二式 此情況出現(xiàn)的條件為： 4、由平面鏡反射達(dá)到自準(zhǔn)直成像，光路如圖，設(shè)物屏到L1的距離為u4 出現(xiàn)此情況的條件為： 圖1-5-54例15、在焦距為20.00cm的薄凸透鏡的主軸上離透鏡中心30.00cm處有一小發(fā)光點(diǎn)S，一個(gè)厚度可以忽略的光楔C（頂角很小的三棱鏡）放在發(fā)光點(diǎn)與透鏡之間，垂直于軸，與透鏡的距離為2.00cm，如圖1-5-54所示，設(shè)光楔的折射率n=1.5，楔角=0.028弧度。在透鏡另一側(cè)離透鏡中心46.25cm處

8、放一平面鏡M，其反射面向著透鏡并垂直于主軸。問最后形成的發(fā)光點(diǎn)的像相對發(fā)光點(diǎn)的位置在何處（只討論近軸光線，小角度近似適用。在分析計(jì)算過程中應(yīng)作出必要的光路圖）？分析:這是一個(gè)光具成像問題，厚度可忽略的光楔在成像過程中的作用相當(dāng)于一使光線產(chǎn)生偏折的薄平板，平面鏡使光線反射后再次經(jīng)凸透鏡成像，在這一過程中，我們再根據(jù)折射定律、透鏡成像公式及有關(guān)數(shù)學(xué)近似進(jìn)行一系列計(jì)算，就可得出最后結(jié)果。圖1-5-55解:共有五次成像過程。（1）光楔使入射光線偏折，其偏向角（出射光線與入射光線方向的夾角）用表示，由圖1-5-55可知，對近軸光線，很小，有；因也很小，同樣有 圖1-5-56故有 代入數(shù)值，得 因與入射角

9、大小無關(guān)，各成像光線經(jīng)光楔后都偏折同樣角度。又因光楔厚度可忽略，所以作光路圖時(shí)可畫成一使光線產(chǎn)生偏折角的薄平板，圖1-5-56。光點(diǎn)S經(jīng)光楔成一虛像點(diǎn)。對近軸光線，在S正上方，到S的距離為h，離光楔距離。 代入數(shù)據(jù)，得 （2）為透鏡L的實(shí)物，像點(diǎn)的位置可由下式求出圖1-5-57 以u=30.00cm,f=20.00cm代入，得 將視為與光軸垂直的小物，由透鏡的放大率公式 可求得即像點(diǎn)在光軸下方與光軸的距離為0.78cm，與透鏡的中心距離為60.00cm處，圖1-5-57。（3）在平面鏡之后，對平面鏡是虛物，經(jīng)平面鏡成像，像點(diǎn)與對稱于平面鏡（圖1-5-57） （4）作為透鏡的實(shí)物，經(jīng)透鏡折射后再次成像，設(shè)像點(diǎn)，及與L的距離分別為和，則 ，在透鏡左側(cè)，主軸上方，圖1-5-58。