導(dǎo)數(shù)微分邊際與彈性

1、微積分教案章節(jié)次數(shù)第10講：第三章 §3.1 導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)目的要求1. 理解導(dǎo)數(shù)概念，意義。2. 知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟(jì)意義。3. 了解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。主要內(nèi)容引例：變速直線運動的速度，平面曲線的切線斜率導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。 重點難點對導(dǎo)數(shù)概念的理解，及其可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)作業(yè)： 97頁 習(xí)題3-1： 4、5，6，7、8，10，12，13，15備注第三章 導(dǎo)數(shù)、微分、邊際與彈性第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)目的與要求：理解導(dǎo)數(shù)概念，意義 教學(xué)重點（難點）：對導(dǎo)數(shù)概念理解，及其與連續(xù)的關(guān)系一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義

2、 左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù) 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點處切線：例1 討論在x = 0處可導(dǎo)性.解： ，在x = 0連續(xù) 不存在,在x = 0不可導(dǎo)例2 已知存在，則=例3 設(shè)函數(shù)可微， 則例4 設(shè) 為使在x = x0 處可導(dǎo)，應(yīng)如何選取常數(shù)a、b。解：首先必須在x0連續(xù) ； 存在。 從而（由得）例5 = x (x-1)(x-2)(x-9) , 則 例6 設(shè)在x = 0 領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)， 則 （分母0） 例7 設(shè)函數(shù) f (1+x ) = a f ( x ) ，且 (a , b 0)， 問存在否?解： 四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可以證明：可導(dǎo)連續(xù)。即可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件；連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。微積分教案章節(jié)次數(shù)第11

3、講：第三章 §3.2求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式（一）教學(xué)目的要求1. 熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運算法則。2. 熟練利用法則求導(dǎo)。主要內(nèi)容基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)的四則運算法則重點難點求導(dǎo)法則的應(yīng)用。教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)作業(yè)： 107頁 習(xí)題3-2： 2、3(2)(4)(6)(8)(10)，4、備注第二節(jié) 求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式（一） 教學(xué)目的與要求：理解求導(dǎo)法則，利用法則求導(dǎo)教學(xué)重點（難點）： 求導(dǎo)法則的應(yīng)用一、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)二、導(dǎo)數(shù)四則運算法則例1 設(shè) 分析：先用法則展開，再用基本公式求導(dǎo)，解略例2 設(shè)分析：先用法則展

4、開，然后根據(jù)基本公式求導(dǎo)，解略例3 證明（1） （2）分析：用三角公式化簡，然后用公式與法則證明。例4 設(shè)分析：用法則公式師生共同討論給出。 微積分教案章節(jié)次數(shù)第12講：第三章 §3.2求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式（二）教學(xué)目的要求1. 掌握反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（反函數(shù)求導(dǎo)公式的證明不作要求）。2. 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法。主要內(nèi)容基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)的四則運算法則重點難點求導(dǎo)法則的應(yīng)用。教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)作業(yè)： 107頁 習(xí)題3-2： 5(1)(3)(5)(7)(9) ,6、(1)(3)(5)(7)(9),7、(1)(3)(5)(7)(9)

5、, 10、(1)(3)(5)(7)(9),備注第二節(jié) 求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式（二）教學(xué)目的與要求：掌握反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（反函數(shù)求導(dǎo)公式的證明不作要求），熟練掌握復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法。教學(xué)重點（難點）： 求導(dǎo)法則的應(yīng)用定理：在x有導(dǎo)數(shù)，在對應(yīng)點u有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在x處也有導(dǎo)數(shù)，。例1 例2 求解： 例3 例4 例5 例6 例7 求解： 例8 例9 求解： 微積分教案章節(jié)次數(shù)第13講：第三章 §3.3高階導(dǎo)數(shù)§3.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教學(xué)目的要求1. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。2. 掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法與對數(shù)求導(dǎo)法。3. 掌握求二階、三階導(dǎo)數(shù)及某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的方法。主要內(nèi)容

6、高階導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法重點難點求導(dǎo)法則的應(yīng)用。教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)作業(yè)： 113頁 習(xí)題3-3：1、奇數(shù)題號，2、4、7、奇數(shù)題號120頁 習(xí)題3-4：1、2、4，備注第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的與要求：了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求二階、三階導(dǎo)數(shù)及某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的方法。教學(xué)重點（難點）： 求導(dǎo)法則的應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)、二階： 高階導(dǎo)數(shù)（n階）略。 例1 例2 設(shè)在()上二階連續(xù)可導(dǎo)，且，對函數(shù)(1) 確定的值，使在（）上連續(xù)；(2) 對（1）中確定的，證明：在（）上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。解： （1） 即當(dāng) 在連續(xù)，也就是在（）連續(xù) （2） 而 所以，在連續(xù)，即在連續(xù)

7、。第四節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的與要求：掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法與對數(shù)求導(dǎo)法。教學(xué)重點（難點）： 求導(dǎo)法則的應(yīng)用一、隱含數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法：（1）對恒等式的兩邊關(guān)于求導(dǎo)數(shù)， （2）若遇到的函數(shù)，視是中間變量。按復(fù)合求導(dǎo)法先對求導(dǎo)再乘上， （3）整理等式，解出。例1 求由所確定的隱含數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析：由題設(shè)是的函數(shù)，是的復(fù)合函數(shù)（是中間變量）解：兩邊求導(dǎo)，。例2 分析：是的函數(shù)，而是的函數(shù)，所以是的復(fù)合函數(shù)。解：兩邊求導(dǎo)（把看成）整理得：所以：二、對數(shù)求導(dǎo)法1、冪指函數(shù) 求導(dǎo)法：方法1、可化為指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)，其化法： （由對數(shù)性質(zhì)：（1）（2）方法2：（1）對已知等式兩邊取對數(shù)， （2）

8、再按隱含數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)例3 求的導(dǎo)數(shù)用兩種方法給予講解例4 求的導(dǎo)數(shù)分析：分兩步：設(shè)分別求。2、對較繁的乘除式子（或是冪的連乘積）方法：（1）兩邊取對數(shù)（應(yīng)用對數(shù)性質(zhì)；積、除、冪的對數(shù)法則） （2）兩邊求導(dǎo)按隱含數(shù)求導(dǎo)法去解例5 求例6 求例7 是由方程所確定的隱函數(shù),試求,。解: 方程兩邊對x求導(dǎo)： 方程兩邊再對x求導(dǎo)： 由原方程知，當(dāng)時，代入得再將，代入式，得3、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例8 設(shè)求：解：當(dāng) 不存在，故微積分教案章節(jié)次數(shù)第14講：第三章 §3.5 函數(shù)的微分 習(xí)題課教學(xué)目的要求1. 了解微分的概念。2. 掌握可導(dǎo)與可微的關(guān)系，以及微分形式的不變性。3. 熟練掌握求可微函數(shù)微分的

9、方法。主要內(nèi)容微分的概念微分公式與微分運算法則可導(dǎo)與可微的關(guān)系微分形式的不變性重點難點微分公式與微分運算法則。教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)作業(yè)： 129頁 習(xí)題3-5：1、3、4、5備注微分近似運算考試時不作要求。第五節(jié) 函數(shù)的微分教學(xué)目的與要求：理解微分的意義與可導(dǎo)的關(guān)系；熟悉微分的應(yīng)用教學(xué)重點（難點）：微分公式與微分運算法則 定理 函數(shù)在點處可微的充分必要條件是在點處可導(dǎo)，且. 可導(dǎo) 可微基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則基本初等函數(shù)的微分公式函數(shù)和、差、積、商的微分法則 一階微分形式不變性 （自變量） 如，(中間變量)例： ， ， 微積分教案章節(jié)次數(shù)第15講： 第

10、六節(jié) 邊際與彈性 教學(xué)目的要求1. 知道邊際與彈性的概念及其經(jīng)濟(jì)意義。2. 會求某些簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題。主要內(nèi)容邊際與彈性重點難點邊際與彈性的概念及其經(jīng)濟(jì)含義彈性的概念及計算教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)作業(yè)：143頁 習(xí)題3-6：2、3、4、5、7、8備注§3.7 邊際與彈性教學(xué)目的與要求：知道邊際與彈性的概念及其經(jīng)濟(jì)意義；會求解簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題。教學(xué)重點（難點）：邊際與彈性的概念及其經(jīng)濟(jì)含義一、 邊際概念如果函數(shù)在處可導(dǎo)，則在內(nèi)的平均變化為；在處的瞬時變化率為， 經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱它為在處的邊際函數(shù)值.利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量變化率的方法，稱為邊際分析方法。二、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常

11、見的邊際函數(shù)1. 邊際成本(反映總成本對產(chǎn)量的變化率)C'(Q)C(Q+1) - C(Q)=C(Q)經(jīng)濟(jì)意義：C'(Q)近似等于當(dāng)產(chǎn)量為Q時，再多生產(chǎn)一個單位所增加的成本。邊際平均成本： 2. 邊際收益(反映總收益對銷售量的變化率)R'(Q)R(Q+1) R(Q)=R(Q)經(jīng)濟(jì)意義：R'(Q)近似等于當(dāng)銷售量為Q時，再多銷售一個單位的產(chǎn)品總收益的改變量。3. 邊際利潤(反映總利潤對產(chǎn)量或銷售量的變化率) L'(Q) = R'(Q) C'(Q) L(Q+1) L(Q)=L(Q)經(jīng)濟(jì)意義：L'(Q)近似等于當(dāng)銷售量為Q時，再多銷售一個

12、單位的產(chǎn)品總利潤的改變量。4. 邊際需求 顯然 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用：最低平均成本最大收益最大利潤例1 某工廠在一段時期內(nèi)，生產(chǎn)某種產(chǎn)品Q噸的成本函數(shù) ，求最低平均成本。例2 某產(chǎn)品的需求函數(shù)是Q = 20000-100p，需求量為多少單位時，總收益最大，并求最大總收益。 例3 玩具廠生產(chǎn)某種玩具，每個定價10元，每天的總成本函數(shù)：C(Q)=10+2Q+0.01Q2假定產(chǎn)品全部賣完，問每天生產(chǎn)多少個，才能使其利潤最大？并求最大利潤。例4 某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時，公寓會全部租出去當(dāng)租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護(hù)費試問房租

13、定為多少可獲得最大收入？三、彈性概念經(jīng)濟(jì)函數(shù)的相對變化率彈性彈性可以定量地描述一個經(jīng)濟(jì)變量對另一個經(jīng)濟(jì)變量變化的反應(yīng)程度。1. 彈性的定義定義設(shè)函數(shù)y = f (x)在點x0處可導(dǎo)，稱為函數(shù)y = f (x)在點x0處的彈性。稱為彈性函數(shù)。 2.經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)（1）需求量的價格彈性商品的需求量Q對價格p變化的反應(yīng)程度稱為需求彈性.定義 設(shè)某種商品的需求量Q是價格p的函數(shù)Q = f (p), 則稱為該商品的需求價格彈性，簡稱為需求彈性。一般地, 價格上漲時, 需求量將減少, 所以常常假設(shè)需求函數(shù)是價格的減函數(shù), 從而需求的價格彈性一般為負(fù)值。為方便起見,常用|Ed|表示需求彈性的大小。需

14、求彈性的經(jīng)濟(jì)意義當(dāng)某商品的價格上漲(或下跌) 1%時，需求彈性表示該商品需求量將減少(或增加)約| Ed|%。|Ed|>1：富有彈性，價格變動對需求量影響較大，降價|Ed|<1：缺乏彈性，價格變動對需求量影響不大，提價|Ed|=1：單位彈性，臨界狀態(tài)，價格暫時不變。（2）.需求彈性與總收益設(shè)需求函數(shù)為Q = f (p)，則總收益為 R=pQ=pf (p)(1) |Ed|>1，1+ Ed <0，故提價(p> 0)使總收益減少(R< 0)，降價(p< 0)使總收益增加(DR> 0)；(2) |Ed|<1，1+ Ed >0，故提價(p> 0)使總收益增加(