chapter5彈性力學(xué)

1、 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 1Chapter 5 彈性力學(xué)問(wèn)題的建立彈性力學(xué)問(wèn)題的建立000zzyzxzyzyyxyxzxyxxfzyxfzyxfzyx0102101zrzzzrzrzrrrr zrrfrzrrfrzrrfrzrr0,ijjif5-1 彈性力學(xué)基本方程彈性力學(xué)基本方程1、平衡方程、平衡方程在直角坐標(biāo)系中：在柱坐標(biāo)系中：簡(jiǎn)記為： 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 2在球坐標(biāo)系中0311sin102311sin10211sin1fctgrrrrfctgrrrrfctg

2、rrrrrrrrrrrrrrxwzuzwzvywyvyuxvxuzxzyzyxyx)(21,jiijijuuzwyvxur2、幾何方程：、幾何方程：在直角坐標(biāo)系中：簡(jiǎn)記為：體積應(yīng)變?cè)谥鴺?biāo)系中3zuruurruzzrrr1zuruurzururuurrzzrzzrr11zuurrrurzr11體積應(yīng)變?cè)谇蜃鴺?biāo)系中ruurctguuurrurrrr1sin11rrrrurrurruurrurrur1)(sinsin1)(sin1sinsin1122uururrrr體積應(yīng)變 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 其中為工程彈性常數(shù)3、物理方程（本構(gòu)

3、方程、廣義虎克定律）：、物理方程（本構(gòu)方程、廣義虎克定律）：4)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEEzxzxyzyzxyxyGGG111zzyyxx222zxzxzxyzyzyzxyxyxy222ijijij2,E)2(1EG以應(yīng)力分量表示應(yīng)變分量：以應(yīng)變分量表示應(yīng)力分量：簡(jiǎn)記為：其中、為拉梅系數(shù)。12211EGEzyx體積應(yīng)變。 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 5ijijdU0ijijijijUU*00以應(yīng)變能密度函數(shù)和應(yīng)變余能密度函數(shù)表示應(yīng)力和應(yīng)變：令應(yīng)變能應(yīng)變余能0*0UUijij則4、邊界條件：、邊界條件：外力邊界條件：

4、zzyzxzyzyyxyxzxyxxTnmlTnmlTnml簡(jiǎn)記為：ijjiTl位移邊界條件：wwvvuu簡(jiǎn)記為：iiuu 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 5、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：6zyxzyxyxzyxzxzyxzyxzzxzyyzyxxyxyzxyzzzxyzxyyyzxyzxxzxxzyzzyxyyx222222222222222222222 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 7討論：1為物體處于彈性狀態(tài)時(shí)，彈性力學(xué)基本方程有：平衡方程：3個(gè)；幾何方程：6個(gè)；物理方程：

5、6個(gè)共15個(gè)基本方程，可以在給定的邊界條件下求解15個(gè)未知量：位移分量：u,v,w3個(gè)應(yīng)變分量：6個(gè)應(yīng)力分量：6個(gè)zxyzxyzyx,zxyzxyzyx,2彈性力學(xué)的基本方程組一般地控制了彈性體內(nèi)應(yīng)力、應(yīng)變和位移之間相互關(guān)系的普遍規(guī)律?？紤]具體邊界條件的定解問(wèn)題則具體給出了各邊值問(wèn)題的特定規(guī)律。 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 3一般情況下,求解彈性力學(xué)問(wèn)題要求給出以下一些基本條件.a、彈性體的幾何形狀，物理性質(zhì)。b、作用于彈性體上的體力和面力。c、彈性體受約束的情況。85-2. 求解彈性力學(xué)問(wèn)題的基本方法求解彈性力學(xué)問(wèn)題的基本方法 應(yīng)用

6、彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 2位移法求解的主要方程：位移法求解的主要方程：以位移分量為基本未知量時(shí)，1應(yīng)力分量zwyvxuuuuiiijjiijij,其中2平衡方程（拉梅方程）02,iiifu展開(kāi)為：1提出：提出： 按基本未知量劃分：考慮到彈性力學(xué)問(wèn)題基本方程中應(yīng)力，應(yīng)變和位移分量之間的關(guān)系,可以位移分量為基本未知量求解，或以應(yīng)力分量為基本未知量求解，分別稱之為位移法和力法。按求解技術(shù)劃分：考慮到彈性力學(xué)問(wèn)題的復(fù)雜性，對(duì)于一些較為典型的問(wèn)題，可以用解析法求解。但對(duì)于大量的彈性力學(xué)問(wèn)題，要采用近似法或數(shù)值方法求解。如有限差分法，有限單元法等

7、。9000222zyxfuzfuyfux2222222zyx其中 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 3外力邊界條件：zyxTnzwmywzvlxwzuTnzvywmyvlxvyuTnzuxwmyuxvlxu)2()()()()2()()()()2(3力法求解的主要方程：力法求解的主要方程：以應(yīng)力分量為基本未知量時(shí)，協(xié)調(diào)方程為(Beltrami-Michell方程)：10 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 211121112111222222222zfyfxfzzfyfxfyzfyfxfx

8、zyxzzyxyzyxx)(11)(11)(11222222yfxfyxxfzfxzzfyfzyxyxyzxzxyzyz其中zyx常體力下，有0,12ijij*注意：無(wú)論是位移法還是力法求解彈性力學(xué)問(wèn)題，需要在嚴(yán)格的邊界條件下求解復(fù)雜的偏微分方程組，在數(shù)學(xué)上往往是比較困難的。對(duì)于一些典型問(wèn)題，常采用逆解法和半逆解法。11 5-3. 彈性力學(xué)解的唯一性定理彈性力學(xué)解的唯一性定理 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 1、提出：、提出： 1對(duì)偏微分方程而言，解的適定性問(wèn)題是非常重要的。所謂適定性，包括：存在性存在性、穩(wěn)定性穩(wěn)定性、唯一性唯一性。彈性

9、力學(xué)問(wèn)題的控制方程是偏微分方程組，也要討論解的適定性。2由于彈性力學(xué)問(wèn)題求解的復(fù)雜性，常采用逆解法和半逆解法，認(rèn)為選取的解答只要滿足基本方程和邊界條件，就是正確的解。這只有在解是唯一性這樣一個(gè)前提下才能成立。2、適定性討論：、適定性討論： 1解的存在性：存在性僅從數(shù)學(xué)上探討是不容易的，但對(duì)于彈性力學(xué)問(wèn)題，從物理上看，這是很自然的，因?yàn)橛辛耸芰图s束，彈性體就會(huì)存在應(yīng)力、應(yīng)變和位移。2解的穩(wěn)定性：穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，解也只作微小變動(dòng)。穩(wěn)定性的討論不論在數(shù)學(xué)上還是在物理上都是很復(fù)雜的，這里只能先做肯定的認(rèn)可。12 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY O

10、F SOLIDS 3解的唯一性唯一性定理：受力作用和邊界位移約束的彈性體處于平衡時(shí)，其應(yīng)力、應(yīng)變和位移的解是唯一的。證明：采用反證法。假設(shè)可能存在兩組解：這兩組解對(duì)應(yīng)于同一邊界條件和受力情況。ijijiijijiuu則這兩組解的差：必然滿足體力為零的平衡方程：以及外力為零的外力邊界條件：和位移為零的位移邊界條件：ijijijijijijiiiuuu中在Vjji0,上在邊界10iT上在邊界20iu這里為彈性體的全部邊界，為外力邊界，為位移邊界。211213 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 顯然，解對(duì)應(yīng)于不受外力作用、邊界上不產(chǎn)生位移的彈性力

11、學(xué)問(wèn)題，它們只能是零解。因?yàn)槿羰欠橇憬?，則彈性體內(nèi)有變形能存在，而變形能是外力作功的結(jié)果。由于外力功為零，故產(chǎn)生矛盾。ijijiu,ijijiu,5-4 疊加原理疊加原理1、彈性力學(xué)問(wèn)題解的可疊加性：由于彈性力學(xué)基本方程和邊界條件都是線性的，所以可疊加性成立。即，對(duì)于同一彈性體，在兩組不同的受力情況下的兩組解，當(dāng)兩組受力疊加成一組受力時(shí)，其解便是前兩組解的疊加。2、疊加原理的證明：設(shè)彈性體受力：ijijiiiuFT, , , ijijiiiuFT14 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 外力邊界條件：jjiilTjjiilT疊加：0) ()(

12、,iijjijiFFjjijiiilTT)() (結(jié)論：。F，F(xiàn)TT，F(xiàn)T，F(xiàn)Tiiiiijijiiijiiij下的解是則下的解是下的解是若, ,平衡方程0,ijjiF0,ijjiF3、討論：1疊加原理成立的條件：小變形、線彈性本構(gòu)方程。2對(duì)非線性問(wèn)題和大變形情況，疊加原理不能適用。3疊加原理對(duì)彈性力學(xué)問(wèn)題和其它線性問(wèn)題有非常廣泛的應(yīng)用，很多情況下是解決問(wèn)題的重要途徑。155-5.圣維南圣維南(Saint Venant)原理：原理：1、提出：求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，對(duì)應(yīng)于不同的邊界條件，彈性體內(nèi)則有不同的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往邊界條件比較復(fù)雜，如果完全按實(shí)際情況處理，可能根本無(wú)法求

13、出解答。但是通過(guò)將邊界條件加以較少的改變就有可能求出解答來(lái)。那么，邊界條件改變應(yīng)遵循什么規(guī)則，改變邊界條件后求出的解答與實(shí)際情況的符合程度如何？2、圣維南原理：如果作用在物體表面較小區(qū)域上的一組外力被作用于同一區(qū)域上的靜力相當(dāng)靜力相當(dāng)?shù)牧硪唤M外力所代替，這種載荷的變化只引起局部的應(yīng)力和應(yīng)變的改變，而離此區(qū)域較遠(yuǎn)的物體其它部分的應(yīng)力和應(yīng)變基本上沒(méi)有作變化。所謂“靜力相當(dāng)”系指兩組不同分布的力具有相同的合力或合力偶。*注意:圣維南原理的應(yīng)用條件 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 16例題：圖示橡皮立方塊放在同樣大小的剛性盒內(nèi)，上面用剛性蓋密封后

14、加均勻壓力q設(shè)橡皮與蓋盒間無(wú)摩擦力，且不考慮體力。求：橡皮受力后的位移場(chǎng)和應(yīng)力分布。zw02,iiiFu 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 解一：分析：由于橡皮周?chē)谋诰鶠閯傂?，則由對(duì)稱性知u =v=0，w=w(z)zz0qyx體積應(yīng)變由拉梅方程：0200000222222222222zwuzwFuzzywzywFuyzxwzxwFuxzyx恒等恒等有17由邊界條件：Z =0，W =0則C2=0得W =C1Z考慮外力邊界條件：Z =Z0處022zwqz222211qCqCdzdwzz則 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 由積分：W=C1Z+C2考慮zqw2于是有qzEw1121或應(yīng)力分量：qqqqqzzyyxx22122122000 xwzuzvywxvyuzxyzxyqqq12212,131max32118 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 主應(yīng)力和最大切應(yīng)力為：解二：由題意知：yxzxyzxyyx0廣義虎克定律給出：0)(10)(