排列組合組合練習題精心總結(jié)

1、排列組合教案1.分類計數(shù)原理(加法原理)完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法例：1.在填寫志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到，在A大學里有4種他所感興趣的專業(yè)，在B大學里有5種感興趣的專業(yè)，如果這名學生只能選擇一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？2.一工作可以用2種方法完成，有5人只會用第一種方法完成，另有4人只會用第二種方法完成，從中選出一人來完成這項工作，不同的選法的種數(shù)是 2.分步計數(shù)原理（乘法原理）完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，做第步有種不同的方

2、法，那么完成這件事共有：種不同的方法例：1.從A村到B村的道路有3條，從B村到C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村到C村，不同的線路種數(shù)是 2.設某班有男生30名，女生24名.現(xiàn)要從中選出男、女生一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？3.從集合和中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中能確定不同點的個數(shù)是_ _；3.分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別 分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件例：1.書架的第一層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.（1） 從書

3、架中任意取一本書，有多少種取法？（2） 從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？2.現(xiàn)有高一年級的學生3名，高二年級的學生5名，高三年級的學生4名，問：（1）從中任選一名參加接待外賓活動，有多少種不同的選法？（2）從3個年級的學生各選一名參加接待外賓活動，有多少種不同的選法？排列定義 從n個不同的元素中，取m個不重復的元素，按次序排列，稱為從n個中取m個的無重排列。排列的全體組成的集合用 A(n,m)表示。排列的個數(shù)用表示。當m=n時稱為全排列。 (1)排列數(shù)公式；。例：1. ； ； ； ； ； ； ； 1.要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，

4、共有多少種掛法？2.從5本不同的書中選出3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？3.從參加乒乓球團體比賽的5名運動員中選出3名，并按排列的順序出場比賽，有多少種不同的方法？組合定義 從n個不同元素中取m個不重復的元素組成一個子集，而不考慮其元素的順序，稱為從n個中取m個的無重組合。組合的全體組成的集合用C(n,m)表示，組合的個數(shù)用表示.(2)組合數(shù)公式；其中. 例： ； ；= ； ； ； ； 1.（1）平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？（2）平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條？2.在一100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品，從這10

5、0件產(chǎn)品中任意抽出3件，（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)：；.例：1. ， ；2. ， . 2. ； 3 ；解排列組合問題的方法有：一：特殊元素先排列：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。1 (1995年上海高考題) 1名老師和4名獲獎學生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法 種2（2000年全國高考題）乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名隊員參加

6、比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有 種.3.某班上午要上語、數(shù)、外和體育4門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為_ _；4.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設，其中甲同學不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？5.從6名運動員中選出4人參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？6.用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，可以組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)_個；7.用1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字組成無

7、重復的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個（1）數(shù)字1不排在個位和千位 （2）數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位。8.某單位準備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號為1到6的6種不同花色的石材可選擇，其中1號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果有_ _種；9.的一邊AB上有4個點，另一邊AC上有5個點，連同的頂點共10個點，以這些點為頂點，可以構(gòu)成_ _個三角形；10.用六種不同顏色把右圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色，則共有 種不同涂法；ACBD11如圖5：四個區(qū)域坐定4個單位

8、的人，有四種不同顏色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是 種（84） 圖512將一四棱錐(圖6)的每個頂點染一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法共 種（420） 圖6 13.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有 72種二：相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。1.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排

9、法種數(shù)為_；2. 4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？3.有8本不同的書；其中數(shù)學書3本，外語書2本，其它學科書3本若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有( )種(結(jié)果用數(shù)值表示)4.五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，則不同的排法有（ ）A、60種 B、48種 C、36種 D、24種三：不相鄰問題插空法：（可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.）1.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ）A、1440種 B、3600種 C、4820種 D、480

10、0種3一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈，2個相聲，3個獨唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序有多少種？2. 用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有( )個(用數(shù)字作答)四：可重復的排列求冪法:允許重復排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地個不同元素排在個不同位置的排列數(shù)有種方法.1.把6名實習生分配到7個車間實習共有多少種不同方法？2.將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有 種；五：有序問題組合法1.學號為1，2，3，4的四名學生的考試成績且滿足，則這四位同學考試

11、成績的所有可能情況有_種；2.設集合，對任意，有，則映射的個數(shù)是_ _；3.離心率等于(其中且)的不同形狀的的雙曲線的個數(shù)為_ _。六：定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法有（ ）A、24種 B、60種 C、90種 D、120種2.6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”順序排的排隊方法有多少種？3.4個男生和3個女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。4.由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)

12、字小于十位數(shù)字的共有（ ）A、210種 B、300種 C、464種 D、600種七：“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:1.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙 型電視機各一臺，則不同的取法共有 （ ） A、140種 B、80種 C、70種 D、35種2.如從7名男同學和5名女同學中選出5人，至少有2名女同學當選的選法有_種八：多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計數(shù)再相加。1.某化工廠實驗生產(chǎn)中需依次投入2種化工原料，現(xiàn)有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時使用，且依次投料時，若使用甲原料，則甲必須先投放. 那么不同的實驗

13、方案共有_種；2.某公司新招聘進8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個部門.其中兩名英語翻譯人員不能同給一個部門；另三名電腦編程人員也不能同給一個部門，則不同的分配方案有_種；九：閣板法，名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法，（每組至少一份），（每組至少一份，分成n份，需要n-1個隔板，當不是每組至少一份時，先轉(zhuǎn)化為每組至少一份后再做）1. 某校準備組建一個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學生組成，每班至少一人，名額分配方案共 種 。2.10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？3.10個相同的球各分給3個人，每人至少一個，有多少種分發(fā)？每人至少兩

14、個呢？4.有20個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子里，要求每個盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號數(shù)，問有多少種不同的方法？（）十.（不同物品）分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！。1.本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？2.把6個不同蘋果平均分成三堆，一共有 種分法.3.把6個不同蘋果平均分成3份給3個小朋友，一共有 種分法.4.把6個不同的蘋果分成4堆，一共有 種分法.5.把6個不同蘋果分給4個小朋友，每個小朋友至少1個，一共有 種分法.6.6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？7.4名優(yōu)秀學生全部保送到3所學校去，每所學校至少去一名，則

15、不同的保送方案有多少種？8.5本不同的書，全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）A、480種 B、240種 C、120種 D、96種9某年級6個班的數(shù)學課，分配給甲乙丙三名數(shù)學教師任教，每人教兩個班，則分派方法的種數(shù)。10.12名同學分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有（ ）A、種 B、種 C、種 D、種11.有甲乙丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需一人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法種數(shù)是（ ） A、1260種 B、2025種 C、2520種 D、5040種12.如4名醫(yī)生和6名護士組成一個醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學

16、校去為學生體檢，每所學校需要一名醫(yī)生和至少一名護士的不同選派方法有_種（答：37440）；十一：選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.1.如某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是_ _。2.四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？3.9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓練，有多少種不同的分組方法？十二：標號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入

17、，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.1.將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ） A、6種 B、9種 C、11種 D、23種2.同室4人各寫1張賀年卡，然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有 種；3.設有編號為1、2、3、4、5的五個茶杯和編號為1、2、3、4、5的5個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有_ _種4.設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩

18、個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？十三：多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。1.如若2n個學生排成一排的排法數(shù)為x，這2 n個學生排成前后兩排，每排各n個學生的排法數(shù)為y，則x,y的大小關(guān)系為_；2. 6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（ ）A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種3.8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？十四：圓排問題單排法:把個不同元素放在圓周個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（

19、即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之分，下列個普通排列：在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認為相同，個元素的圓排列數(shù)有種.因此可將某個元素固定展成單排，其它的元素全排列.1.有5個人站成一圈，一共有多少種站法？1.有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？十五：排除法，部分合條件問題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.1.以正方體的頂點為頂點的四面體共有（ ）A、70種 B、64種 C、58種 D、52種2.四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有

20、（ ）A、150種 B、147種 C、144種 D、141種3.如在平面直角坐標系中，由六個點(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1,2)，(2,1)可以確定三角形的個數(shù)為_。3. 有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三維書？十六：已排好元素中新增元素增位排列法1.在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？2.某班新年聯(lián)歡晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_ _。3.如（

21、1）書架上有3本不同的書，如果保持這些書的相對順序不便，再放上2本不同的書，有 種不同的放法；二項式定理：例：1.的展開式為 2.的展開式為 3.的展開式為 4.設N*，化簡_；5.設N*，化簡_；例：1. 的展開式中，每項的系數(shù)和為 2. 的展開式中，每項的二項式系數(shù)和為 3. 的展開式中，每項的二項式系數(shù)和為 4. 的展開式中，每項的系數(shù)和為 二項式的題型一：（求或的系數(shù)）1（重慶3）的展開式中的系數(shù)是（ ）A16B70C560D11202(2008天津理) 的二項展開式中，的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）.3（全國1/13）的展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)之和等于 4（全國2/13） 的展開式中的系數(shù)為 5(2008全國卷理) 的展開式中的系數(shù)是（ ） A B C3 D46(2008四川理) 展開式中的系數(shù)為_。7（2008浙江文、理）在的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ） （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）2748. (2008廣東理)已知(k是正整數(shù))的展開式中，的系數(shù)小于