兩通道濾波器組

1、第7章 兩通道濾波器組7.1兩通道濾波器組中各信號的關(guān)系第6.1節(jié)已提及，濾波器組分為分析濾波器組和綜合濾波器組。分析濾波器組將分成M個(gè)子帶信號。若M2，則分析濾波器組由一個(gè)低通濾波器和一個(gè)高通濾波器所組成，它們把分成了一個(gè)低通信號和一個(gè)高通信號。我們可依據(jù)這兩個(gè)子帶信號所具有的能量的不同，也即“重要性”的不同而分別給以不同的對待及處理。例如，分別賦以不同的字長來實(shí)現(xiàn)信號的編碼及壓縮，或是別的處理。處理后的信號經(jīng)傳輸后再由綜合濾波器組重建出原信號。由于分析濾波器組將原信號的帶寬壓縮為1/M，因此，對每一個(gè)子帶信號均可作M倍的抽取，從而將抽樣率減低M倍。這樣可減小編碼和處理的計(jì)算量，同時(shí)，在硬件

2、實(shí)現(xiàn)時(shí)也可以降低對系統(tǒng)性能的要求，從而降低成本。在綜合濾波器組前面，再作M倍的插值，以得到和原信號相同的抽樣率。一個(gè)兩通道濾波器組如圖所示。2H0 (z)2G0 (z)H1 (z)22G1 (z)圖兩通道濾波器組如果，或，式中和為常數(shù)，我們稱是對的“準(zhǔn)確重建(Perfect Reconstruction，PR)”。本節(jié)首先討論圖中各信號間的關(guān)系，然后討論實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確重建的途徑。也即，如何確定,和才能去除混疊失真，幅度失真及相位失真。由圖及第五章關(guān)于抽取與插值的輸入、輸出關(guān)系，對圖中的分析濾波器組，有：， ( 7.1.1a )_ （b）即： （） 對綜合濾波器組，有：而 ，所以 （）將（ （）該式給

3、出了和及分析濾波器組，綜合濾波器組之間的關(guān)系（i0，1）。將（）式展開，有： 令 (7.1.5a) (b)則 ()由于是移位后的結(jié)果，因此它是混疊分量。顯然，若令，則可有效的去除混疊失真，這樣： ()反應(yīng)了去除混疊失真后的兩通道濾波器組的總的傳輸特性。系統(tǒng)的幅度失真及相位失真均與有關(guān)，因此又稱“失真?zhèn)鬟f函數(shù)（distortion transfer function）”。若令，則，那么，從而實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確重建的目的。問題是：如何保證？如何保證？在，按這種要求賦值的情況下，和相互之間有何關(guān)系？這是我們后續(xù)幾節(jié)主要討論的內(nèi)容。順便指出，利用(H0 (z)H1 (-z)G0 (z)G1 (z)H0 (-z

4、)H1 (z) 圖 兩通道濾波器組的調(diào)制性表示7.2 和的選擇觀察(b)式，若簡單的選取 (7.2.1a) (b)則，從而保證了去除混迭失真。由此可以看出，在兩通道濾波器組中，、選取是獨(dú)立于及的，也即，不論給出什么樣的和，只要按（）式選定和，即可去除混迭失真。這時(shí)， ()若令 (7.2.3a)則 (b)再令 （）則 （）顯然，因此，也稱為“失真函數(shù)”。在去除了混迭失真后，若保證是的準(zhǔn)確重建，即要求，關(guān)鍵就是和的選取。在給出，的選取方法之前，我們先深入的討論一下和的一般選取原則。由()式，我們有()將該式和()式合并，有 ()令 ， (7.2.8a) ， (7.2.9a)則 （）(7.2.8a)

5、式中的下標(biāo)m表示調(diào)制，這是因?yàn)樵谠撌街杏谐霈F(xiàn)。又稱“混迭分量（AC）”矩陣。希望是對的準(zhǔn)確重建，等效于要求()這樣，。后者是混迭分量，因此需要舍棄。由該式，有 ()式中 ()這樣，我們得到： （7.2.14a）（b）這既是在保證PR條件下(見()式)，和選取的一般原則。分析該式，我們發(fā)現(xiàn)：1 取和是FIR的，則是FIR的，但由于出現(xiàn)在()式的分母上，那么和將變成IIR的，這是在應(yīng)用中所不希望的；2 保證和是FIR的唯一可能是令， （）則 （7.2.16a） （b）若令l=0，則(和0；若代入(7.1.5a)式，則，由(7,2,15)式，從而保證了準(zhǔn)確重建條件。但問題是如何選取， 取純延遲的形式

6、，這是我們下面要討論的主要內(nèi)容?，F(xiàn)在我們來分析一下，和在 ()式制約下所具有的時(shí)域關(guān)系。給定一濾波器，其頻率響應(yīng)為，單位抽樣響應(yīng)為，那么若1，則， （7.2.17a）若 則 ， （b）若 則 ， （7.2.17c）若 則 ， （d）以上四組關(guān)系在下面各章節(jié)的討論中是十分有用的。2由（）式，有 （7.2.18a） （b）3由于 無奇次項(xiàng)，所以 （）令，分別是和的時(shí)序倒轉(zhuǎn)，（7.2.20a）式可表示為 （）同理，由于 （7.2.22a）所以 （b）上述結(jié)果表明，在圖和，當(dāng)l為奇數(shù)時(shí)，與的偶序列移位正交，和的偶序號移位正交；若l為偶數(shù)，則與的奇序號移位正交，和的奇序號移位正交。這是兩通道濾波器組中的

7、交叉正交關(guān)系。4. 為保證準(zhǔn)確重建，由（ （）考慮,即（）式，由于只包含奇數(shù)項(xiàng)，所以只能為奇數(shù)。這就是說，在中，它的奇序號項(xiàng)只能有一項(xiàng)，即在處，于是，我們有 （7.2.24a）同理 （b）這是反映同一條支路上，分析濾波器和綜合濾波器之間的正交關(guān)系。7.3 標(biāo)準(zhǔn)正交鏡像濾波器組為了去除混迭失真，我們在上一節(jié)給出了和的選擇，即（）式，為了保證這一PR條件，則需要合適地選擇和。當(dāng)給定一個(gè)低通原型濾波器后，最簡單也是最直接地方法是選取，及 （7.3.1a）這時(shí) （b）是移位后地結(jié)果，所以是高通的，且，是相對為對稱的，故稱按此方法選定的濾波器組為“標(biāo)準(zhǔn)正交鏡像濾波器組”，也是最早提出的一種兩通道濾波器組

8、，簡稱QMFB61,102。讀者不難發(fā)現(xiàn)，按（）式，也是低通的，而是高通的。將（7.3.1a， （7.3.2a）于是 （b）為保證PR條件，等效地要求 （7.3.3a）或 （b）若令，則 （7.3.4a） （b）前已述及，的選取保證了去除混迭失真。如果，均選用具有線性相位的FIR濾波器，那么也是FIR的，且也具有線性相位，從而去除了相位失真，如果（）式真能成立，將去除幅度失真。這樣，三類失真皆可去除，從而實(shí)現(xiàn)PR。問題是，怎樣設(shè)計(jì)，令 （7.3.5a）則 （b）由（）式，有 （7.3.6a） （b）寫成矩陣形式，有 （7.3.7a） （b）由（，的定義，由 (）同時(shí)，由（22E1 (z2)E1

9、 (z2)22E0 (z2)E0 (z2) 圖 兩通道QMFB的多相結(jié)構(gòu)表示現(xiàn)在利用前述的結(jié)果來討論QMFB中的幅度失真與相位失真問題。1. 關(guān)于消除幅度失真由()式，去除幅度失真的必要條件是必須是全通的，消除相位失真的必要條件是具有線性相位。如果我們?nèi)。ǎ﹦t，從而達(dá)到了PR的要求。但是，這時(shí)的將不是再FIR濾波器，從而，和都不再是FIR濾波器。若想保證，和都是再FIR濾波器，那么和只能選取純延遲。例如，若令，那么 (7.3.10a) (b)顯然，該關(guān)系滿足，若按，來確定，那么及。這樣，既實(shí)現(xiàn)了混迭抵消，又實(shí)現(xiàn)了PR條件。然而，（）式給出的，無任何實(shí)際意義。這是因?yàn)樗鼈冏鳛橐粋€(gè)濾波器，既無平的

10、通帶，也無高度衰減的阻帶及較窄的過渡帶。也許讀者會(huì)問，我們的目的不是準(zhǔn)確重建嗎？既然最終有，何必要關(guān)心濾波器組中間過程的、的性能呢？實(shí)際上，盡管PR是最終目的，但濾波器組的核心作用是信號的子帶分解。因此，在兩通道FB中，我們希望、能把分成頻譜分別在和的兩個(gè)子帶信號，且希望頻譜盡量不重疊，因此對、通帶和阻帶的性能要求是非常高的。因此，在要求FIR的情況下，既要保持PR，又要使、具有實(shí)際意義是不可能。也即，在、有實(shí)用價(jià)值的情況下，不可能完全消除幅度失真，因此也做不到PR。解決該問題的方法有兩種途徑：（1） 放棄的簡單形式，取更為合理的形式。這一點(diǎn)，我們將在下一節(jié)討論；（2） 選用IIR濾波器。本書

11、不打算討論IIR濾波器組，對此感興趣的讀者可參閱文獻(xiàn)152關(guān)于消除相位失真我們知道，F(xiàn)IR濾波器是容易設(shè)計(jì)成線性相位的。例如，假定是N點(diǎn)FIR低通濾波器，即若，則是線性相位的，那么，和也是線性相位的，從而和也是線性相位的，于是去除了相位失真?，F(xiàn)在來分析一下，在保證線性相位的條件下，的幅度情況?？杀硎緸?)式中是的實(shí)函數(shù)，可正可負(fù)，代表的“增益”，將該式代入(b)式，有 （）如果（N1）為偶數(shù)，即N為奇數(shù)，則在處為零，也即。那么將不可能是全通函數(shù)，這將產(chǎn)生嚴(yán)重的幅度失真。如果選擇N為偶數(shù)，則 ()由該式看出，若保證 ()則，可以去除幅度失真。()式實(shí)際上可寫成 ()這是我們已在第六章熟知的功率互

12、補(bǔ)形式。而()式稱為“功率對稱”N前面我們分別討論了QMFB中消除相位失真及幅度失真的途徑及各自存在的制約與問題?？傊?，使用了FIR濾波器組及，不可能同時(shí)去除相位失真和幅度失真。一般的做法是在保證線性相位的情況下，設(shè)計(jì)，使其幅頻特性近似()式。3()式的近似從濾波器的特性看，(，但在設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)按()來設(shè)計(jì)，相差的系數(shù)可合并到常數(shù)c中。文獻(xiàn)75提出了一個(gè)設(shè)計(jì)以滿足()式的優(yōu)化方法。其思路是：首先確定一目標(biāo)函數(shù)，它包含兩部分內(nèi)容，一是反應(yīng)在阻帶的衰減，二是反映通帶相加接近于1的程度。定義為(7.3.17a)式中 ，及 (b) （7.3.1c）顯然，是在阻帶內(nèi)的能量，它應(yīng)越小越好，是在內(nèi)()式左邊1

13、的誤差，也應(yīng)該越小越好。式中調(diào)整兩個(gè)誤差源及的重要程度。在使最小的過程中，止帶頻率是預(yù)先給定的。為使()式接近功率互補(bǔ)，應(yīng)取。具體的優(yōu)化算法可參看文獻(xiàn)77, 4。此方法又稱Johnston算法。文獻(xiàn)114對信號的抽取、插值、多相結(jié)構(gòu)及濾波器組的基本概念給出了概括性的介紹。7.4 共軛正交鏡像濾波器組上一節(jié)指出，由于在QMFB中簡單的選擇，從而在保證PR的情況下使、無實(shí)際意義，最后只能采取次最佳的方法來設(shè)計(jì)，使整個(gè)濾波器組近似實(shí)現(xiàn)PR。為克服QMFB的這一不足，文獻(xiàn)106,107提出了一個(gè)指定和關(guān)系的方法。假定是一個(gè)低通FIR濾波器，令()式中N為偶數(shù)。按該式，由得到包含如下三個(gè)步驟：1. 將變

14、成，等效地將移動(dòng)，所以得到的是高通的；2. 將變成，這等效于將翻轉(zhuǎn)變成。若是因果的，即，那么將是非因果的，其范圍是從；3. 乘以延遲因子，目的是令變成因果的。將(7.4.2a) （7.4.2b）顯然，仍是低通的，仍是高通的?，F(xiàn)把這四個(gè)濾波器頻域、時(shí)域的關(guān)系歸納如下（參看()式）：N為偶數(shù)(7.4.3a) (b)(7.4.3c)(d)按()式定義的和的幅頻特性雖然和按(7.3.1a變成了，所以在相頻響應(yīng)上比(7.3.1a“共軛正交鏡像濾波器組”，簡稱CQMFB。將()令 （7.4.5a）則 再令 (7.4.6a)則 (b)請注意此處、的定義與(1.5a)式，有 （）若令()則為一純延遲，從而實(shí)現(xiàn)

15、對的準(zhǔn)確重建。此式與(1(7.3.2a)式中的，這一區(qū)別為用譜分解的方法設(shè)計(jì)打下了基礎(chǔ)；2 （b）式中的，而(7.4.6a)式中的，可以想象，要設(shè)計(jì)一濾波器，令為一全通函數(shù)要比令為全通函數(shù)困難得多；3 由()式有(7.4.9a)或 (b)即滿足功率對稱關(guān)系。該式又可改寫為()即，滿足功率互補(bǔ)關(guān)系。對QMFB，我們已在(具有線性相位，二是要求NN為偶數(shù)是為了后面半帶濾波器設(shè)計(jì)的需要而提出的）。此外順便指出，我們說的PR是指，既避免了幅度失真又避免了相位失真。在IIR的情況下，我們可最終做到這一結(jié)果，但，和不會(huì)是線性相位的。在7.3節(jié)已看到，為保證PR，只能取()式的純延遲形式。但是，整個(gè)濾波器組

16、去除相位失真并不意味著，和都是線性相位的。我們后面將要證明，在正交鏡像濾波器組中，滿足PR的，必不是線性相位的。為要PR，又要FB中每一個(gè)濾波器都是線性相位的，那還要另辟途徑，有關(guān)內(nèi)容我們將在7.8節(jié)討論?，F(xiàn)在我們證明在CQMFB中的兩個(gè)基本事實(shí)：事實(shí)一：滿足()式PR條件的必是一個(gè)半帶濾波器；事實(shí)二：和各自及相互之間有如下正交性：（1） 和各自都具有偶次移位的正交歸一性，即，（7.4.11a），（b）（2） 和之間具有偶次移位的正交性，即，（）事實(shí)1的證明：將寫成多相形式，有則 將、代入()式，有因此由半帶濾波器的定義，因此為一半帶濾波器。證畢。由此，我們欲設(shè)計(jì)一個(gè)滿足PR條件的，可先設(shè)計(jì)一

17、半帶濾波器，然后將分解為和，于是可得到。有關(guān)的設(shè)計(jì)將在下一節(jié)討論。一個(gè)功率互補(bǔ)的半帶濾波器，若能給出的分解，則稱為“合適的半帶濾波器（Valid ）”。讀者很容易證明，和有著相同的幅頻特性。事實(shí)2的證明：先證明(7.4.11a)式：由 有 此處等于的自相關(guān)函數(shù)。前已證明，為一半帶濾波器，因此，除外，因此有同理可證(，即是將和做互相關(guān)，由于例如，若如圖(a)所示，圖；（b）若定義 ()并按同樣的方法定義，和，則(116： ， (7.4.14a) ， 或 (b) ，或 (7.4.14a)式中上標(biāo)H代表共軛轉(zhuǎn)置，而(b)式可表為；()7.5共軛正交鏡像慮波器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)CQMFB的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)，一旦設(shè)計(jì)

18、出來，由（，和。上一節(jié)已證明，若符合（）式的PR條件， 則為一半帶濾波器。為此，我們可按下述步驟設(shè)計(jì)6。1利用第六章已講過的方法，首先設(shè)計(jì)一個(gè)半帶濾波器。的長度N = 4J-1，其通帶截止頻率和阻帶截止頻率以為對稱，且通帶和阻帶的紋波一樣大。所以，當(dāng)用Chebyshev最佳一致逼近法設(shè)計(jì)該半帶濾波器時(shí)19，通帶和阻帶的加權(quán)應(yīng)一樣大；2由于，因此，對一切，始終是非負(fù)的。而半帶濾波器在阻帶內(nèi)有可能取負(fù)值。為此，我們令中間過渡的濾波器()式中為在阻帶內(nèi)的最大紋波值。假定為零相位，實(shí)現(xiàn)()式的一個(gè)簡單辦法是令 ()再令()則是一個(gè)半帶濾波器，是非負(fù)的，且在處的值為0.5；3對作譜分解是的有理多項(xiàng)式，其

19、系數(shù)皆為實(shí)數(shù)，且是線性相位的。應(yīng)有個(gè)零點(diǎn)，這些零點(diǎn)將是成對共軛及以單位圓為鏡像對稱出現(xiàn)的，這些零點(diǎn)屬于和。其分配原則是：（1） 為保證為實(shí)數(shù)，若將的一個(gè)零點(diǎn)賦給，則其共軛零點(diǎn)也賦給。（2） 若把單位圓內(nèi)的（2J1）個(gè)零點(diǎn)賦給，那么，單位圓外的（2J1）個(gè)零點(diǎn)將屬于，這時(shí)，是最小相位的，它不再具備線性相位特性；（3） 若把以單位圓為鏡像對稱的（2J1）個(gè)零點(diǎn)賦給，則具有線性相位19；（4） 我們在7.8節(jié)將要證明，滿足功率對稱的濾波器（即QMFB和CQMFB兩種情況）若具有線性相位，那么它只能取(時(shí)，應(yīng)取最小相位形式。4對的因式分解對作譜分解時(shí)，由于()及 ()所以由此我們可以得到對定標(biāo)的常數(shù)K

20、()這樣，按()式即可得到。由(，和，從而描述PR條件的CQMFB可以求出。例751：試設(shè)計(jì)一共軛正交鏡像濾波器組，并給出相關(guān)過程。按上述設(shè)計(jì)步驟，本例的設(shè)計(jì)過程如下：1. 令N22，用Chebyshev最佳一致逼近設(shè)計(jì)單帶濾波器，再由此單帶濾波器得到半帶濾波器，其過程如同例。這樣，2. 利用(，其抽樣響應(yīng)和大致相同，如圖(c)所示。其幅頻響應(yīng)如圖(d)所示，可以看出，它已經(jīng)非負(fù)；3. 的長度也為43，對作譜分解，其極零圖如圖（e）所示。它有位于在原點(diǎn)的42重極點(diǎn)，有10對零點(diǎn)以單位圓為對稱，另有11對零點(diǎn)幾乎都位于單位圓上（左半邊）。將作譜解后，取單位圓內(nèi)的零點(diǎn)賦予，的極零圖如(f)所示。4. 求出后自然也求出，同理，均一一求出，它們分別示于圖(g)，（h），(i)和(j)。分別求和的幅頻響應(yīng)，再求，將這三條曲線都繪于圖(k)，可以看出，和確實(shí)實(shí)現(xiàn)了功率互補(bǔ)。 圖CQMFB的設(shè)計(jì)過程（a） 半帶濾波器，（b）