層次分析法例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)建模作業(yè) 班級(jí)：高分子材料與工程 姓名：林志許 、 朱金波 、 任宇龍 學(xué)號(hào)：、層次分析法 某物流企業(yè)需要采購(gòu)一臺(tái)設(shè)備，在采購(gòu)設(shè)備時(shí)需要從功能、價(jià)格與可維護(hù)性三個(gè)角度進(jìn)行評(píng)價(jià)，考慮應(yīng)用層次分析法對(duì)3個(gè)不同品牌的設(shè)備進(jìn)行綜合分析評(píng)價(jià)和排序，從中選出能實(shí)現(xiàn)物流規(guī)劃總目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)備，其層次結(jié)構(gòu)如下圖所示。以A表示系統(tǒng)的總目標(biāo)，判斷層中表示功能，表示價(jià)格，表示可維護(hù)性。，表示備選的3種品牌的設(shè)備。購(gòu)買設(shè)備A功能B1價(jià)格B2維護(hù)性B3產(chǎn)品C1產(chǎn)品C2產(chǎn)品C3目標(biāo)層判斷層方案層圖 設(shè)備采購(gòu)層次結(jié)構(gòu)圖解題步驟：1、標(biāo)度及描述人們定性區(qū)分事物的能力習(xí)慣用5個(gè)屬性來表示，即同樣重要

2、、稍微重要、較強(qiáng)重要、強(qiáng)烈重要、絕對(duì)重要，當(dāng)需要較高精度時(shí)，可以取兩個(gè)相鄰屬性之間的值，這樣就得到9個(gè)數(shù)值，即9個(gè)標(biāo)度。為了便于將比較判斷定量化，引入19比率標(biāo)度方法，規(guī)定用1、3、5、7、9分別表示根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷，要素i與要素j相比：同樣重要、稍微重要、較強(qiáng)重要、強(qiáng)烈重要、絕對(duì)重要，而2、4、6、8表示上述兩判斷級(jí)之間的折衷值。 標(biāo)度定義（比較因素i與j）1因素i與j同樣重要3因素i與j稍微重要5因素i與j較強(qiáng)重要7因素i與j強(qiáng)烈重要9因素i與j絕對(duì)重要2、4、6、8兩個(gè)相鄰判斷因素的中間值倒數(shù)因素i與j比較得判斷矩陣a ij，則因素j與i相比的判斷為aji=1/aij注：aij表示要素i與要

3、素j相對(duì)重要度之比，且有下述關(guān)系： aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，n 顯然，比值越大，則要素i的重要度就越高。 2、構(gòu)建判斷矩陣A判斷矩陣是層次分析法的基本信息，也是進(jìn)行權(quán)重計(jì)算的重要依據(jù)。 根據(jù)結(jié)構(gòu)模型，將圖中各因素兩兩進(jìn)行判斷與比較，構(gòu)造判斷矩陣：判斷矩陣(即相對(duì)于物流系統(tǒng)總目標(biāo)，判斷層各因素相對(duì)重要性比較)如表1所示；判斷矩陣(相對(duì)功能，各方案的相對(duì)重要性比較)如表2所示；判斷矩陣(相對(duì)價(jià)格，各方案的相對(duì)重要性比較)如表3所示；判斷矩陣(相對(duì)可維護(hù)性，各方案的相對(duì)重要性比較)如表4所示。表1判斷矩陣11/323151/21/51表2 判斷矩陣1l/31/5311/3

4、531表3 判斷矩陣B2-C1271/2151/71/51表4判斷矩陣13l/7l/311/97913、計(jì)算各判斷矩陣的特征值、特征向量及一致性檢驗(yàn)指標(biāo)一般來講，在AHP法中計(jì)算判斷矩陣的最大特征值與特征向量，必不需要較高的精度，用求和法或求根法可以計(jì)算特征值的近似值。 求和法 1）將判斷矩陣A按列歸一化（即列元素之和為1）：bij= aij /aij；2）將歸一化的矩陣按行求和：ci=bij （i=1，2，3.n）；3）將ci歸一化：得到特征向量W=（w1，w2，wn ）T，wi=ci /ci ，W即為A的特征向量的近似值；4）求特征向量W對(duì)應(yīng)的最大特征值：求根法 1）計(jì)算判斷矩陣A每行元素

5、乘積的n次方根； （i =1, 2, , n）2）將歸一化，得到；W=（w1，w2，wn ）T即為A的特征向量的近似值；3）求特征向量W對(duì)應(yīng)的最大特征值：(1)判斷矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)計(jì)算矩陣的特征向量。計(jì)算判斷矩陣各行元素的乘積，并求其次方根，如，類似地有，。對(duì)向量規(guī)范化，有類似地有，。所求得的特征向量即為：計(jì)算矩陣的特征根類似地可以得到，。按照公式計(jì)算判斷矩陣最大特征根：一致性檢驗(yàn)。實(shí)際評(píng)價(jià)中評(píng)價(jià)者只能對(duì)A進(jìn)行粗略判斷，這樣有時(shí)會(huì)犯不一致的錯(cuò)誤。如，已判斷C1比C2重要，C2比C3較重要，那么，C1應(yīng)該比C3更重要。如果又判斷C1比C3較重要或同等重要，這就犯了邏輯錯(cuò)誤。這就

6、需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。 根據(jù)層次法原理，利用A的理論最大特征值max與n之差檢驗(yàn)一致性。 一致性指標(biāo)：計(jì)算<0.1，查同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)（表5所示）知，（一般認(rèn)為CI<0.1、 CR<0.1時(shí)，判斷矩陣的一致性可以接受，否則重新兩兩進(jìn)行比較）。表5 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)階數(shù)34567891011121314RI0.580.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.58(2)判斷矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)類似于第(1)步的計(jì)算過程，可以得到矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)如下：，(3)判斷矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)類似于第

7、(1)步的計(jì)算過程，可以得到矩陣刀：C的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)如下：，(4)判斷矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)類似于第(1)步的計(jì)算過程，可以得到矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗(yàn)如下：，4、層次總排序獲得同一層次各要素之間的相對(duì)重要度后，就可以自上而下地計(jì)算各級(jí)要素對(duì)總體的綜合重要度。設(shè)二級(jí)共有m個(gè)要素c1, c2,cm，它們對(duì)總值的重要度為w1, w2, wm；她的下一層次三級(jí)有p1, p2,pn共n個(gè)要素，令要素pi對(duì)cj的重要度（權(quán)重）為vij，則三級(jí)要素pi的綜合重要度為： 方案C1的重要度（權(quán)重）=0.230×0.105+0.648×0.529+0.122×0.149=0.426方案C2的重要度（權(quán)重）=0.230×0.258+0.648×0.333+0.122×0.066=0.283方案C3的重要度（權(quán)重）=0.230×0.637+0.648×0. 075+0.122×0.785=0.291依據(jù)各方案綜合重要度的大小，可對(duì)方案進(jìn)行排序、決策。 層次總排序如表6所示。表6 層次總排序?qū)哟螌哟螌哟蜟總排序權(quán)重0.230