解析幾何范圍最值、定點(diǎn)定值問題

1、解析幾何范圍最值、定點(diǎn)定值問題一、范圍最值問題：1、已知平面內(nèi)一動點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程(2)過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)l1與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，l2與軌跡C交于D、E兩點(diǎn)，求的最小值2、已知橢圓以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，坐標(biāo)軸為對稱軸，且該橢圓以拋物線的焦點(diǎn)P為其一個焦點(diǎn)，以雙曲線的焦點(diǎn)Q為頂點(diǎn)。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，且C，D分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)M是線段CD上的動點(diǎn)，求的取值范圍。解：(1)拋物線的焦點(diǎn)P為(4，0)，雙曲線的焦點(diǎn)Q為(5，0)可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知有a>b>0，且

2、a=5，c=4 3分，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 5分(2)設(shè)，線段CD方程為，即7分點(diǎn)M是線段CD上，10分將代入得 . 12分，的最大值為24，的最小值為。的取值范圍是。 .14分3、已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切(I)求橢圓C的方程；(II)設(shè)P(4，0)，M，N是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連結(jié)PN交橢圓C于另一點(diǎn)E，求直線PN的斜率的取值范圍；解：(1)由題意知， 所以，即， , 又因?yàn)椋?故橢圓C的方程為 6分(II)由題意知直線PN的斜率存在，設(shè)直線PN的方程為.由得 .10分由，得， 13分又k=0不合題意，所以直線PN的斜率的取值范圍是：

3、14分4、一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切(I)求動圓圓心M的軌跡L的方程()設(shè)過圓心O1的直線與軌跡L相交于A、B兩點(diǎn)，請問（O2為圓O2的圓心）的內(nèi)切圓N的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程，若不存在，請說明理由解：(1)設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為R由題意，得， （3分）由橢圓定義知M在以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且a=2，c=1， 動圓圓心M的軌跡L的方程為 （6分）(2)如圖，設(shè)內(nèi)切圓N的半徑為r，與直線l的切點(diǎn)為C，則三角形的面積當(dāng)最大時(shí)，r也最大，內(nèi)切圓的面積也最大，（7分）設(shè)、，則， （8分）由，得，解得， (10分)，令，則t1，且m2=t2-1，有，令，則

4、，當(dāng)t1時(shí)，f(t)在1，+）上單調(diào)遞增，有，即當(dāng)t=1，m=0時(shí)，4r有最大值3，得，這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積為，存在直線的內(nèi)切圓M的面積最大值為. (14分)二、定點(diǎn)定值問題：1、已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率，M、N是橢圓上的的動點(diǎn)。 (I)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)設(shè)動點(diǎn)P滿足：，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得為定值？若存在，求出F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。()若M在第一象限，且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)M在x軸上的射影為A，連接NA并延長交橢圓于點(diǎn)B，證明：。解：(I)由題設(shè)可知： 2分故 3分故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 4分(II)設(shè)，由可得： .5分由直線O

5、M與ON的斜率之積為可得：，即 6分由可得：M、N是橢圓上，故故，即 8分由橢圓定義可知存在兩個定點(diǎn)，使得動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離和為定值; .9分(III)設(shè)由題設(shè)可知 10分由題設(shè)可知斜率存在且滿足 .12分將代入可得：點(diǎn)M，B在橢圓，故所以 14分2、已知橢圓過點(diǎn)(0，1)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程：(2)A，B為橢圓C的左右頂點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的動點(diǎn)，直線AP, BP分別交直線l于E，F(xiàn)兩點(diǎn).證明：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動時(shí)，恒為定值解：(1)由題意可知，b=1，而，且解得a=2，所以，橢圓的方程為.3、如圖，曲線C1是以原點(diǎn)O為中心、F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓

6、的一部分，曲線C2是以O(shè)為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線C1和C2的交點(diǎn)且為鈍角，若，(1)求曲線C1和C2的方程；(2)過F2作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C1、C2依次交于B、C、D、E四點(diǎn)，若G為CD中點(diǎn)、H為BE中點(diǎn)，問是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由解：(I)設(shè)橢圓方程為，則，得a=3 2分設(shè)，則，兩式相減得，由拋物線定義可知，則c=1，或x=1，（舍去）所以橢圓方程為，拋物線方程為。另解：過F1作垂直于x軸的直線x=-c，即拋物線的準(zhǔn)線，作AH垂直于該準(zhǔn)線，作軸于M，則由拋物線的定義得所以，得，所以c=1，所以橢圓方程為，拋物線方程為。6分4、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)，直線，點(diǎn)P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，.(I)求動點(diǎn)Q的軌跡的方程C；(II)設(shè)圓M過A(1，0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運(yùn)動時(shí)弦長是否為定值？請說明理由解：(I)依題意知，直線l的方程為：x=-12分點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，且，RO是線段FP的垂直平分線4分是