解直角三角形1

1、事實上，在直角三角形的六個元素中，事實上，在直角三角形的六個元素中，除直角外，如果再知道兩個元素（其除直角外，如果再知道兩個元素（其中至少有中至少有一個是邊一個是邊），這個三角形就），這個三角形就可以確定下來，這樣就可以由已知的可以確定下來，這樣就可以由已知的兩個元素求出其余的三個元素兩個元素求出其余的三個元素ABabcC解直角三角形解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：解直角三角形解直角三角形三邊之間的關(guān)系三邊之間的關(guān)系a a2 2b b

2、2 2c c2 2（勾股定理）；（勾股定理）；銳角之間的關(guān)系銳角之間的關(guān)系 A A B B 9090邊角之間的關(guān)系（銳角三角函數(shù)）邊角之間的關(guān)系（銳角三角函數(shù)）tanAtanAa ab bsinAsinAac1、cosAcosAb bc cabc解直角三角形的依據(jù)解直角三角形的依據(jù)在解直角三角形及應(yīng)用時經(jīng)常接觸到的一些概念在解直角三角形及應(yīng)用時經(jīng)常接觸到的一些概念l lh（2 2）坡度）坡度 tan tan h hl l概念反饋概念反饋（1 1）仰角和俯角）仰角和俯角視線視線鉛鉛垂垂線線水平線水平線視線視線仰角仰角俯角俯角（3 3）方位角）方位角30304545B BO OA A東東西西北北南

3、南為坡角為坡角3、30，45，60的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值30 45 60sinacosatana2232333123222121例例1 如圖，在如圖，在RtABC中，中，C90， 解這個直角三角形解這個直角三角形6,2BCAC解：解：326tanACBCA60A30609090AB222ACABABC26例例2 如圖，在如圖，在RtABC中，中，C90，AC=6， BAC的平分線的平分線 ，解這個直角三角形。，解這個直角三角形。4 3AD DABC64 3解：解：63cos24 3ACCADAD30CAD因為因為AD平分平分BAC60 ,30CABB 12,6 3ABBC1 1、在、在RtR

4、tABCABC中中,C=90,C=900 0,a,b,c,a,b,c分別是分別是A,B,A,B, C C的對邊的對邊. .(1)(1)已知已知a=3,b=3,a=3,b=3,求求A;A;(2)(2)已知已知c=8,b=4,c=8,b=4,求求a a及及A;A;(3)(3)已知已知c=8,A=45c=8,A=450 0, ,求求a a及及b b2 2、已知、已知cosA=0.6,cosA=0.6,求求sinA,tanAsinA,tanA. .3 3、在在ABCABC中，中， C=90C=900 0，AC=8cmAC=8cm，ABAB的垂直平的垂直平分線分線MNMN交交ACAC于于D D，連接，連

5、接BDBD，若，若_,53cos的長是則BCBDC ABNCDM例題賞析例題賞析例例1（1 1）計算：）計算： sin60sin60tan30tan30+cos +cos 45 45= = （2 2）如果）如果cosA cosA + | 3 tanB + | 3 tanB 3|=0 3|=012那么那么ABCABC是（是（ ） A A，直角三角形，直角三角形 B B，銳角三角形，銳角三角形 C C，鈍角三角形，鈍角三角形 D D，等邊三角形。，等邊三角形。1 1D D例例2如圖學(xué)校里有一塊三角形形狀的花圃如圖學(xué)校里有一塊三角形形狀的花圃ABC,ABC,現(xiàn)測得現(xiàn)測得A=30A=30, AC=40

6、m,BC=25m, AC=40m,BC=25m,請你幫助計算一下這請你幫助計算一下這塊花圃的面積塊花圃的面積? ?ACBD過點過點C C作作CDABCDAB于于D D在在RtRtADCADC中，中， A=30A=30, , AC=40,AC=40,CD=20, AD=ACCD=20, AD=ACcos30cos30=20 3 =20 3 在在RtRtCDBCDB中，中， CD=20 , CB=25,CD=20 , CB=25,DB= CBDB= CB2 2 CD CD2 2 = = 1515SSABCABC= AB= ABCD= (AD+DB)CD= (AD+DB)CDCD1 12 21 12

7、 2 (200 +150)(m(200 +150)(m2 2) )3 3答，這塊答，這塊花圃的面積為花圃的面積為=(200 3 +150)(m2)解解例題賞析例題賞析例例3如圖，在如圖，在 ABC ABC中，中，ADAD是是BCBC邊上的高，邊上的高，若若tanB=cosDACtanB=cosDAC，（）（）ACAC與與BDBD相等嗎？說明理由；相等嗎？說明理由；（）若（）若sinCsinC，BC=BC=，求，求ADAD的長。的長。DCBA解解cosDACcosDAC在在RtRt ABDABD和和 ACD ACD中，中，tanB=tanB=，ADADBDBDADADACAC因為因為tanB=c

8、osDACtanB=cosDAC，所以，所以ADADBDBDADADACAC故故BD=ACBD=AC（）（）例題賞析例題賞析例例3DCBA如圖，在如圖，在 ABC ABC中，中，ADAD是是BCBC邊上的高，邊上的高，若若tanB=cosDACtanB=cosDAC，（）（）ACAC與與BDBD相等嗎？說明理由；相等嗎？說明理由；（）若（）若sinCsinC，BC=BC=，求，求ADAD的長。的長。解解（）（）設(shè)設(shè)AC=13k,AD=12kAC=13k,AD=12k，所以，所以CD=5k,CD=5k,又又AC=BD=13kAC=BD=13k，所以所以BC=18k=12,BC=18k=12,故故

9、k=k=在在RtRt ACDACD中，因為中，因為sinCsinC所以所以AD=12AD=12例題賞析例題賞析例例4如圖，海島如圖，海島A A四周四周2020海里周圍內(nèi)為暗礁區(qū)，一艘海里周圍內(nèi)為暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，在貨輪由東向西航行，在B B處見島處見島A A在北偏西在北偏西6060方方向，航行向，航行2424海里到海里到C C處，見島處，見島A A在北偏西在北偏西3030方向，方向，貨輪繼續(xù)向西航行，有無觸礁的危險？貨輪繼續(xù)向西航行，有無觸礁的危險？ABDCNN13060解解過點過點A A作作ADBCADBC于于D,D,設(shè)設(shè)AD=AD=x x NBA= 60NBA= 60， N N

10、1 1CA= 30CA= 30 ABC=30ABC=30， ACD= ACD= 0 0，在在RtRtADCADC中，中， CD=AD/tanACDCD=AD/tanACD= x/tan60= x/tan60, , 在在RtRtADBADB中，中， BD=AD/tan30BD=AD/tan30=x/tan30=x/tan30, , BD-CD=BC,BC=24 BD-CD=BC,BC=24 x/tan30 x/tan30- x/tan60- x/tan60=24=24 =12 3=12 3 x x 20 20答：貨輪無觸礁危險。答：貨輪無觸礁危險。當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練1 1，在，在RtRtABCAB

11、C中，如果各邊都擴(kuò)大中，如果各邊都擴(kuò)大2 2倍，則銳角倍，則銳角A A的正的正 弦值和余弦值（弦值和余弦值（ ）A A，都不變，都不變 B B，都擴(kuò)大，都擴(kuò)大2 2倍倍 C C，都縮小，都縮小2 2倍倍 D D，不確定。，不確定。222 22 2，在，在ABCABC中中, ,若若sinA= ,tanBsinA= ,tanB=3=3，則，則C=C=3, 3, 在在RtRtABCABC中中, , C=90C=90, AC= 3, AB=2, AC= 3, AB=2,Tan Tan = = B B2 24 4，如果，如果和和都是銳角，且都是銳角，且sin= cossin= cos， 則則與與的關(guān)系的

12、關(guān)系 是（是（ ）A A，相等，相等 B B，互余，互余 C C，互補(bǔ)，互補(bǔ) D D，不確定。，不確定。5.5.已知在已知在RtRtABCABC中中, C=90, C=90，sinA= ,sinA= ,則則 cosBcosB=( )=( )1 12 2332 2222 22 21 133A A， B B， C C， D D，A A7575333 3B BA A當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練ACB 127 7、如圖為了測量小河的寬度，在河、如圖為了測量小河的寬度，在河的岸邊選擇的岸邊選擇B B、C C兩點，在對岸選擇兩點，在對岸選擇一個目標(biāo)點一個目標(biāo)點A A，測得，測得BAC=75BAC=75, , ACB=

13、45ACB=45;BC=48m,;BC=48m, 求河寬求河寬( ) ( ) 米米ABCD6 6、植樹節(jié)，某班同學(xué)決定去坡度為、植樹節(jié)，某班同學(xué)決定去坡度為1 12 2的山坡上的山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是6m6m，斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為 m.m.353572-24372-2431 1，由于過度采伐森林和破壞植被，我國部分地區(qū)頻頻，由于過度采伐森林和破壞植被，我國部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴侵襲。近日，遭受沙塵暴侵襲。近日，A A城氣象局測得沙塵暴中心在城氣象局測得沙塵暴中心在A A城的正南方向城的正南方向2

14、40km240km的的B B處，以每小時處，以每小時12km12km的速度向北偏的速度向北偏東東3030方向移動，距沙塵暴中心方向移動，距沙塵暴中心150km150km的范圍為受影響的范圍為受影響區(qū)域區(qū)域。（1 1）A A城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么？城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么？（2 2）若若A A城受這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時城受這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時間有多長？間有多長？拓展延伸拓展延伸解解（1 1）：過）：過A A作作ACBM,ACBM,垂足為垂足為C,C,在在RtRtABCABC中，中， B =30B =30, , AC= AB= x 240 = 120

15、AC= AB= x 240 = 1201 12 21 12 2AC = 120 150AC = 120 150 A A城受到沙塵暴影響城受到沙塵暴影響CABM30240解解（2）：設(shè)點：設(shè)點E、F是以是以A為圓心，為圓心，150km為半徑的圓與為半徑的圓與BM的交點，由題意得：的交點，由題意得：CE = AE2 AC2 = 90EF = 2CE = 2 x 90 = 180A城受到沙塵暴影響的時間為城受到沙塵暴影響的時間為18012 = 15小時小時答：答：A城將受到這次沙塵暴影響，城將受到這次沙塵暴影響，影響的時間為影響的時間為15小時。小時。由于過度采伐森林和破壞植被，我國部分地區(qū)頻頻遭受

16、沙塵暴侵由于過度采伐森林和破壞植被，我國部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴侵襲。近日，襲。近日，A A城氣象局測得沙塵暴中心在城氣象局測得沙塵暴中心在A A城的正南方向城的正南方向240km240km的的B B處，以每小時處，以每小時12km12km的速度向北偏東的速度向北偏東3030方向移動，距沙塵暴中心方向移動，距沙塵暴中心150km150km的范圍為受影響區(qū)域。的范圍為受影響區(qū)域。（1 1）A A城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么？（2 2）若若A A城受這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時間有多長？城受這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時間有多長？EFABCM240302 2，如圖，如圖, ,為了測量山坡的護(hù)坡石壩與地面的傾為了測量山坡的護(hù)坡石壩與地面的傾斜角斜角,把一根長為把一根長為4.5m4.5m的竹竿的竹竿ACAC斜靠在石壩旁斜靠在石壩旁, ,量出竹竿長量出竹竿長1m1m處，它離地面的高度為處，它離地面的高度為0.6m,0.6m,又量又量得竿頂與壩腳的距離得竿頂與壩腳的距離BC=2.8m.BC=2.8m.這樣這樣求就可求就可以算出來了以算出來了.