空間曲面和空間曲線

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§7.4空間曲面和空間曲線本節(jié)以兩種方式來討論空間曲面：（1）已知曲面的形狀，建立這曲面的方程；（2）已知一個(gè)三元方程，研究這方程的圖形。7.4.1球面與柱面(一)球面空間中與一定點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡叫球面。 求球心在點(diǎn)，半徑為R的球面方程。設(shè)為球面上的任一點(diǎn)，則有，即，化簡得：。 球面上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，反之，不在球面上的點(diǎn)，其坐標(biāo)都不滿足方程，因此，方程是球面的方程。當(dāng)時(shí)，即球心在原點(diǎn)的球面方程為。 例1.指出方程表示何種曲面。解：， ，方程表示以為球心，3為半徑的球面。（二）柱面 動(dòng)直線L沿給定曲線C平行移動(dòng)所形成的曲面，稱為柱面。動(dòng)直線L稱為柱面

2、的母線，定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線。 ·· 現(xiàn)在來建立以面上的曲線：為準(zhǔn)線，為母線的柱面方程。 設(shè)為柱面上任一點(diǎn)，過M作平行于，交面于點(diǎn)，由柱面定義可知點(diǎn)。故有。由于有相同的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，故也必滿足方程。反之，如果空間一點(diǎn)滿足方程，即，故且與必通過，即在過的母線上，于是必在柱面上，因此方程表示平行于。一般地 方程表示母線； 方程表示母線； 方程表示母線。 以二次曲線為準(zhǔn)線的柱面稱為二次柱面。例如：方程表示圓柱面；方程表示橢圓柱面； 方程表示雙曲柱面；方程表示拋物柱面。 例2指出下列方程在空間直角坐標(biāo)系中分別表示什么圖形？ （1） 母線平行于軸的橢圓柱面。 （2） 母線平行于軸

3、的拋物柱面。 （3） 母線平行于軸的雙曲柱面。 （4） 母線平行于軸的雙曲柱面。例3求母線平行于向量，準(zhǔn)線為的柱面方程。解：設(shè)是準(zhǔn)線上的任一點(diǎn)，則過平行于的直線柱面上，而方程為，其參數(shù)方程為 代入準(zhǔn)線方程，得 ，故，代入， 則得所求柱面方程為。7.4.2 空間曲線（一）空間曲線的一般方程 空間曲線可以看作兩個(gè)曲面與的交線。若曲面與的方程分別為與，則其交線的方程為 方程組稱為空間曲線的一般方程。 例4方程組表示上半球面和圓柱面的交線。例5方程組 表示圓柱面與球面的交線，它是平面上的一個(gè)圓。 注意：表示空間曲線的方程組不是唯一的。例如O也表示同一個(gè)圓，一般說來，用兩個(gè)方程的組合代替方程之一，仍表示

4、同一曲線。例6方程組()表示兩個(gè)圓柱的交線L在第一卦限的部分。此曲線亦可用方程組()表示。例7方程組表示在。 方程組表示在。（二）空間曲線的參數(shù)方程 空間曲線上動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)也可以用另一個(gè)變量函數(shù)來表示， 即 取定一個(gè)值時(shí)，由方程組就得到曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，通過變動(dòng)，可以得到曲線上所有的點(diǎn)，方程組稱為曲線參數(shù)方程，參數(shù)。例7設(shè)質(zhì)點(diǎn)在圓柱面上以均勻的旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以均勻的線速度平行于的方向上升。運(yùn)動(dòng)開始，即時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在處，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。解：取為參數(shù)，質(zhì)點(diǎn)的位置為，作，垂足為，則從到所經(jīng)過的角，上升的高度為，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： 此方程稱為螺旋線方程。 也可以用其它變量作參數(shù)；例如令，則螺旋線方程為

5、， 這時(shí)，而參數(shù)為。（三）空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 1空間直線在坐標(biāo)平面上的投影的概念 已知空間曲線和平面，從上各點(diǎn)向平面作垂線，垂足所構(gòu)成的曲線稱為曲線在平面上的投影曲線。準(zhǔn)線為曲線而母線垂直于平面的柱面稱為空間曲線關(guān)于平面的投影柱面。投影曲線就是投影柱面與平面的交線。 特殊地，以為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面稱為空間關(guān)于面的投影柱面，此投影柱面與面的交線稱為在面上的投影曲線。 同樣可以定義關(guān)于面、面的投影柱面和投影曲線。2投影曲線方程的求法 設(shè)空間的一般方程為 ，消去，得，它表示母線平行于軸的柱面方程。 因?yàn)橹娣匠淌怯傻玫降模陨宵c(diǎn)的前兩個(gè)坐標(biāo)必滿足該方程，因此柱面過，故方程所表示的柱面就

6、是關(guān)于面的投影柱面。 而方程 就是在面上的投影曲線的方程。 同樣，從的方程中分別消去，得到柱面方程與，則與分別是在面和面上的投影曲線的方程。 例8求球面與旋轉(zhuǎn)拋物面的交線在面上的投影曲線方程。解：交線L為 (1)(2)得 ， （舍去），。 交線也可表示為：， 消去z，得交線關(guān)于面的投影柱面方程：。 交線在面上的投影曲線方程是， 它在面上是以（0，0，0）為圓心，2為半徑的圓。 若在曲線的方程中，出現(xiàn)有一個(gè)缺z項(xiàng)的方程時(shí)，則此方程所表示的曲面正巧是經(jīng)過該曲線且母線平行于z軸的柱面，它就是曲線關(guān)于平面的投影柱面，這樣就可省略消去z的過程。例9求：、面上的投影曲線的方程。解：的投影曲線方程為。，投影

7、柱面方程：+=64， 故的投影曲線是一段拋物線：。7.4.3旋轉(zhuǎn)曲面的方程（一）旋轉(zhuǎn)曲面的定義 以一條平面曲線繞同平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸。（二）旋轉(zhuǎn)曲面的方程MOMP 設(shè)在平面上的方程為，將旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面。 設(shè)為旋轉(zhuǎn)曲面上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作垂直于z軸的平面，交z軸于點(diǎn)，交曲線L于點(diǎn)。 由于點(diǎn)是由點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得，故有 ， （1） ， ， （2）又在曲線上，。將（1），（2）代入，即得旋轉(zhuǎn)曲面方程：。 一般地，若在曲線L的方程中，z保持不變，而將，就得到曲線L繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面方程：。同理，旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為： 。 例10求直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。 解：坐標(biāo)面上的直線繞z軸旋轉(zhuǎn)， 將z保持不變， 則得， 即所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為， 該方程表示的曲面稱為圓錐面，點(diǎn)稱為圓錐的頂點(diǎn)。 例11求拋物線，繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：在方程中，將換成，而保持不變， 得，即為所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。 該曲面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面。例12求橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解