高中新課程數(shù)學（新課標人教A版）選修2-3《2．3．1離散型隨機變量的均值》教案

1、231離散型隨機變量的均值教學目標：知識與技能：了解離散型隨機變量的均值或期望的意義，會根據離散型隨機變量的分布列求出均值或期望過程與方法：理解公式“E（a+b）=aE+b”，以及“若B（n,p），則E=np”.能熟練地應用它們求相應的離散型隨機變量的均值或期望。情感、態(tài)度與價值觀：承前啟后，感悟數(shù)學與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學的文化功能與人文價值。 教學重點：離散型隨機變量的均值或期望的概念教學難點：根據離散型隨機變量的分布列求出均值或期望授課類型：新授課 課時安排：2課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程：一、復習引入：1.隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變

2、量叫做隨機變量 隨機變量常用希臘字母、等表示2. 離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量 3連續(xù)型隨機變量: 對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量 4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結果不可以一一列出 若是隨機變量，是常數(shù)，則也是隨機變量 并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型） 5. 分布列:設離散型隨機變量可能取得值為x1，x2，x3，取每一個值xi（i=

3、1，2，）的概率為，則稱表x1x2xiPP1P2Pi為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列 6. 分布列的兩個性質： Pi0，i1，2，； P1+P2+=17.離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到隨機變量的概率分布如下：01knP稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記b(k；n，p)8. 離散型隨機變量的幾何分布：在獨立重復試驗中，某事件第一次發(fā)生時，所作試

4、驗的次數(shù)也是一個正整數(shù)的離散型隨機變量“”表示在第k次獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生.如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為、事件A不發(fā)生記為，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么（k0,1,2,， ）于是得到隨機變量的概率分布如下：123kP稱這樣的隨機變量服從幾何分布記作g(k，p)= ，其中k0,1,2,， 二、講解新課：根據已知隨機變量的分布列，我們可以方便的得出隨機變量的某些制定的概率，但分布列的用途遠不止于此，例如：已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射擊之前，可以根據這個分布列估計n次射擊的平均環(huán)數(shù)這就是我

5、們今天要學習的離散型隨機變量的均值或期望 根據射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列，我們可以估計，在n次射擊中，預計大約有次得4環(huán)；次得5環(huán)；次得10環(huán)故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為，從而，預計n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為這是一個由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應的概率有關的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平對于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)的分布列，即已知各個（i=0，1，2，10），我們可以同樣預計他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù):1. 均值或數(shù)學期望: 一般地，若離散型隨機變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱 為的均值或數(shù)學期望，簡稱期望2. 均值或數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個

6、特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平 3. 平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機變量的概率分布中，令，則有，所以的數(shù)學期望又稱為平均數(shù)、均值 4. 均值或期望的一個性質:若(a、b是常數(shù))，是隨機變量，則也是隨機變量，它們的分布列為x1x2xnPp1p2pn于是 ) ，由此，我們得到了期望的一個性質:5.若B（n,p），則E=np 證明如下：，012kn又 ， 故若B(n，p)，則np三、講解范例：例1. 籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分的期望解：因為，所以例2. 一次單元測驗由20個選擇題構成，每個選擇題有4個選項，

7、其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分 學生甲選對任一題的概率為0.9，學生乙則在測驗中對每題都從4個選擇中隨機地選擇一個，求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望 解：設學生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數(shù)分別是，則 B（20,0.9）, 由于答對每題得5分，學生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是5和5 所以，他們在測驗中的成績的期望分別是： 例3. 根據氣象預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0. 01該地區(qū)某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失60 000元，遇到小洪水時要損失10000元為保護

8、設備，有以下3 種方案：方案1：運走設備，搬運費為3 800 元 方案2：建保護圍墻，建設費為2 000 元但圍墻只能防小洪水方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水試比較哪一種方案好解：用X1 、X2和X3分別表示三種方案的損失采用第1種方案，無論有無洪水，都損失3 800 元，即X1 = 3 800 . 采用第2 種方案，遇到大洪水時，損失2 000 + 60 000=62 000 元；沒有大洪水時，損失2 000 元，即同樣，采用第 3 種方案，有于是， EX13 800 , EX262 000P (X2 = 62 000 ) + 2 00000P (X2 = 2 000 ) = 620000

9、. 01 + 2000(1-0.01) = 2 600 , EX3 = 60000P (X3 = 60000) + 10 000P(X3 =10 000 ) + 0P (X3 =0) = 60 0000.01 + 100000.25=3100 . 采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案2 . 值得注意的是，上述結論是通過比較“平均損失”而得出的一般地，我們可以這樣來理解“平均損失”：假設問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案 2 將會使損失減到最小由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的，所以對于個別的一次決策，采用方案 2 也不一定是最好的例4.隨機拋擲一枚骰子，求所得骰子點數(shù)的期望

10、解：，=3.5例5.有一批數(shù)量很大的產品，其次品率是15%，對這批產品進行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過10次求抽查次數(shù)的期望（結果保留三個有效數(shù)字）解：抽查次數(shù)取110的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產品中抽出1件檢查的試驗可以認為是彼此獨立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，10）取出次品的概率：（=1，2，10）需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：123456789100.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.0

11、4810.04090.2316根據以上的概率分布，可得的期望例6.隨機的拋擲一個骰子，求所得骰子的點數(shù)的數(shù)學期望解：拋擲骰子所得點數(shù)的概率分布為123456P所以 123456(123456)3.5拋擲骰子所得點數(shù)的數(shù)學期望，就是的所有可能取值的平均值例7.某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km時租車費為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計費(超出不足lkm的部分按lkm計)從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km某司機經常駕車在機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉換成行車路程(這個城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計費)，這個

12、司機一次接送旅客的行車路程是一個隨機變量設他所收租車費為()求租車費關于行車路程的關系式；()若隨機變量的分布列為15161718P0.10.50.30.1求所收租車費的數(shù)學期望()已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km，問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘?解：()依題意得=2(-4)十10，即=2+2；() =2+2 2E+2=34.8 （元）故所收租車費的數(shù)學期望為34.8元()由38=2+2，得=18，5(18-15)=15所以出租車在途中因故停車累計最多15分鐘 四、課堂練習：1. 口袋中有5只球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3球，以表示取出球的最大號碼，則（

13、 ）A4；B5；C4.5；D4.75答案：C 2. 籃球運動員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分的數(shù)學期望；他罰球2次的得分的數(shù)學期望；他罰球3次的得分的數(shù)學期望解：因為，所以10的概率分布為012P所以 0121.4 的概率分布為23P所以 0122.1.3設有m升水，其中含有大腸桿菌n個今取水1升進行化驗，設其中含有大腸桿菌的個數(shù)為，求的數(shù)學期望分析：任取1升水，此升水中含一個大腸桿菌的概率是，事件“=k”發(fā)生，即n個大腸桿菌中恰有k個在此升水中，由n次獨立重復實驗中事件A（在此升水中含一個大腸桿菌）恰好發(fā)生k次的概率計算方法可求

14、出P(=k),進而可求E.解：記事件A：“在所取的1升水中含一個大腸桿菌”，則P(A)=P(=k)=Pn(k)=C)k(1)nk（k=0,1,2,.,n）B(n,)，故E =n= 五、小結 ：(1)離散型隨機變量的期望，反映了隨機變量取值的平均水平；(2)求離散型隨機變量的期望的基本步驟：理解的意義，寫出可能取的全部值；求取各個值的概率，寫出分布列；根據分布列，由期望的定義求出E 公式E（a+b）= aE+b，以及服從二項分布的隨機變量的期望E=np 六、課后作業(yè)：P64-65練習1,2,3,4 P69 A組1,2,31.一袋子里裝有大小相同的3個紅球和兩個黃球，從中同時取出2個，則其中含紅球

15、個數(shù)的數(shù)學期望是 （用數(shù)字作答）解：令取取黃球個數(shù) (=0、1、2)則的要布列為 012p于是 E（）=0+1+2=0.8故知紅球個數(shù)的數(shù)學期望為1.22.袋中有4個黑球、3個白球、2個紅球，從中任取2個球，每取到一個黑球記0分，每取到一個白球記1分，每取到一個紅球記2分，用表示得分數(shù)求的概率分布列求的數(shù)學期望解：依題意的取值為0、1、2、3、4=0時，取2黑 p(=0)=1時，取1黑1白 p(=1)=2時，取2白或1紅1黑p(=2)= +=3時，取1白1紅，概率p(=3)= =4時，取2紅，概率p(=4)= 01234p 分布列為（2）期望E=0+1+2+3+4=3.學校新進了三臺投影儀用于

16、多媒體教學，為保證設備正常工作，事先進行獨立試驗，已知各設備產生故障的概率分別為p1、p2、p3，求試驗中三臺投影儀產生故障的數(shù)學期望解：設表示產生故障的儀器數(shù)，Ai表示第i臺儀器出現(xiàn)故障（i=1、2、3）表示第i臺儀器不出現(xiàn)故障，則：p(=1)=p(A1)+ p(A2)+ p(A3)=p1(1p2) (1p3)+ p2(1p1) (1p3)+ p3(1p1) (1p2)= p1+ p2+p32p1p22p2p32p3p1+3p1p2p3p(=2)=p(A1 A2)+ p(A1)+ p(A2A3) = p1p2 (1p3)+ p1p3(1p2)+ p2p3(1p1)= p1p2+ p1p3+ p2p33p1p2p3p(=3)=p(A1 A2A3)= p1p2p3 =1p(=1)+2p(=2)+3p(=3)= p1+p2+p3 注：要充分運用分類討論的思想，分別求出三臺儀器中有一、二、三臺發(fā)生故障的概率后再求期望4.一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出2個，含紅球個數(shù)的數(shù)學期望是 1.2 解：從5個球中同時取出2個球，出現(xiàn)紅球的分布列為012P5. 、兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊三名隊員，隊隊員是，隊隊員是，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下：對陣隊員A隊隊員勝的概率