橢圓的定義與性質(zhì)

1、橢圓的定義與性質(zhì)1橢圓的定義(1)第一定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)的距離叫做焦距(2)第二定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e(0<e<1)的動點(diǎn)的軌跡是橢圓，定點(diǎn)F叫做橢圓的焦點(diǎn)，定直線l叫做焦點(diǎn)F相應(yīng)的準(zhǔn)線，根據(jù)橢圓的對稱性，橢圓有兩個焦點(diǎn)和兩條準(zhǔn)線2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axa bybbxb aya頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)B1(0，b)，B2(0

2、，b)B1(b,0)， B2(b,0)焦點(diǎn)F1(c,0) F2(c,0)F1(0，c) F2(0，c) 準(zhǔn)線l1：x l2：xl1：y l2：y軸長軸A1A2的長為2a短軸B1B2的長為2b焦距F1F22c離心率e，且e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)1(夯基釋疑)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A(2,0)，B(2,0)的距離之和為4，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓()(2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓

3、()(4)已知點(diǎn)F為平面內(nèi)的一個定點(diǎn)，直線l為平面內(nèi)的一條定直線設(shè)d為平面內(nèi)一動點(diǎn)P到定直線l的距離，若d|PF|，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓()解析(1)錯誤，|PA|PB|AB|4，點(diǎn)P的軌跡為線段AB；(2)正確，根據(jù)橢圓的第一定義知PF1PF22a，F(xiàn)1F22c，故PF1F2的周長為2a2c；(3)錯誤，橢圓的離心率越大，橢圓越扁(4)正確，根據(jù)橢圓的第二定義答案(1)×(2)(3)×(4)2(教材習(xí)題改編)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1的離心率為，則m_.解析由題設(shè)知a25，b2m，c25m，e2()2，5m2，m3.答案33橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，6)，(0,6)，橢圓上一點(diǎn)P到兩

4、焦點(diǎn)的距離之和為20，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c6,2a20，a10，b2a2c264，故橢圓方程為1.答案14(2014·無錫質(zhì)檢)橢圓1的左焦點(diǎn)為F，直線xm與橢圓相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)FAB的周長最大時，F(xiàn)AB的面積是_解析直線xm過右焦點(diǎn)(1,0)時，F(xiàn)AB的周長最大，由橢圓定義知，其周長為4a8，此時，|AB|2×3，SFAB×2×33.答案35(2014·江西高考)過點(diǎn)M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于_解析設(shè)A(x1，y1)

5、，B(x2，y2)，則0，·.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.答案考向1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1】(1)(2014·全國大綱卷改編)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)若AF1B的周長為4，則C的方程為_(2)(2014·蘇州質(zhì)檢)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦距為4，一條準(zhǔn)線為x4，則該橢圓的方程為_解析(1)由條件知AF1B的周長4a4，a.e，c2b2a2，c1，b.橢圓C的方程為1.(2)橢圓的一條準(zhǔn)線為x4，焦點(diǎn)在x軸上且4，又2c4，

6、c2，a28，b24，該橢圓方程為1.答案(1)1(2)1,【規(guī)律方法】(1)一般地，解決與到焦點(diǎn)的距離有關(guān)問題時，首先應(yīng)考慮用定義來解決(2)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2By21(A>0，B>0，AB)【變式訓(xùn)練1】(1)(2013·廣東高考改編)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是_(2)(2014·

7、蘇州質(zhì)檢)已知橢圓的方程是1(a5)，它的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|8，弦AB(橢圓上任意兩點(diǎn)的線段)過點(diǎn)F1，則ABF2的周長為_解析(1)右焦點(diǎn)F(1,0)，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；c1.又離心率為，故a2，b2a2c2413，故橢圓的方程為1.(2)a5，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，|F1F2|8，c4，a225c241，則a.由橢圓定義，|AF1|AF2|BF2|BF1|2a，ABF2的周長為4a4.答案(1)1(2)4考向2橢圓的幾何性質(zhì)【典例2】(1)(2013·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個端點(diǎn)

8、為B.設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2，若d2d1，則橢圓C的離心率為_(2)(2014·揚(yáng)州質(zhì)檢)已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足|PF1|2|PF2|，PF1F230°，則橢圓的離心率為_解析(1)依題意，d2c.又BFa，所以d1.由已知可得·，所以c2ab，即6c4a2(a2c2)，整理可得a23c2，所以離心率e.(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得sinPF2F11，即PF2F1，設(shè)|PF2|1，則|PF1|2，|F2F1|，離心率e. 答案(1)(2),【規(guī)律方法】1橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓

9、的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到a，c的關(guān)系2橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：(1)求出a，c，代入公式e；(2)只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2a2c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)【變式訓(xùn)練2】(1)(2013·課標(biāo)全國卷改編)設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230°，則C

10、的離心率為_(2)(2014·徐州一中抽測)已知F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF260°.則橢圓離心率的范圍為_解析(1)如圖，在RtPF1F2中，PF1F230°，|PF1|2|PF2|，且|PF2|F1F2|，又|PF1|PF2|2a，|PF2|a，于是|F1F2|a，因此離心率e.(2)法一：設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，|PF1|m，|PF2|n，則mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60°(mn)23mn4a23mn4a23·24a23a2a2(當(dāng)且僅當(dāng)mn時取等號)，

11、即e.又0<e<1，e的取值范圍是.法二：如圖所示，設(shè)O是橢圓的中心，A是橢圓短軸上的一個頂點(diǎn)，由于F1PF260°，則只需滿足60°F1AF2即可，又F1AF2是等腰三角形，且|AF1|AF2|，所以0°<F1F2A60°，所以cosF1F2A<1，又ecosF1F2A，所以e的取值范圍是. 答案(1)(2)課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)一、填空題1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為_解析設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)

12、，由e知，故.由于ABF2的周長為|AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，故a4.b28.橢圓C的方程為1.答案12(2013·四川高考改編)從橢圓1(a>b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且ABOP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是_解析設(shè)P(c，y0)代入橢圓方程求得y0，從而求得kOP，由kOPkAB及e可得離心率e. 由題意設(shè)P(c，y0)，將P(c，y0)代入1，得1，則yb2b2·.y0或y0(舍去)，P，kOP.A(a,0)，B(0，b)

13、，kAB. 又ABOP，kABkOP，bc.e. 答案3(2014·遼寧高考)已知橢圓C：1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|BN|_.解析橢圓1中，a3. 如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為D，則|DF1|DF2|2a6.D，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為MN，AM，BM的中點(diǎn)，|BN|2|DF2|，|AN|2|DF1|，|AN|BN|2(|DF1|DF2|)12. 答案124(2014·南京調(diào)研)如圖，已知過橢圓1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A(a,0)作直線l交y軸于點(diǎn)P，交橢圓于點(diǎn)Q，若AOP是等腰三角形，且2，則橢圓的離心率為

14、_解析AOP為等腰三角形，OAOP，故A(a,0)，P(0，a)，又2，Q，由Q在橢圓上得1，解得. e. 答案5(2014·南京質(zhì)檢)已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于圓C：x2y22x150的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析由x2y22x150，知r42aa2. 又e，c1，則b2a2c23.因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1. 答案16(2013·遼寧高考改編)已知橢圓C：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，橢圓C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，則橢圓C的離心率為_解析在ABF中，由余弦定理得 ，|AF

15、|2|AB|2|BF|22|AB|·|BF|cosABF，|AF|21006412836，|AF|6，從而|AB|2|AF|2|BF|2，則AFBF. c|OF|AB|5，利用橢圓的對稱性，設(shè)F為右焦點(diǎn)，則|BF|AF|6， 2a|BF|BF|14，a7.因此橢圓的離心率e. 答案7已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且.若PF1F2的面積為9，則b_.解析由定義，|PF1|PF2|2a，且， |PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2，|PF1|PF2|2b

16、2. SPF1F2|PF1|PF2|×2b29，因此b3. 答案38(2013·大綱全國卷改編)已知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|3，則C的方程為_解析依題意，設(shè)橢圓C：1(a>b>0)過點(diǎn)F2(1,0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長|AB|3， 點(diǎn)A必在橢圓上，1. 又由c1，得1b2a2. 由聯(lián)立，得b23，a24.故所求橢圓C的方程為1. 答案1二、解答題9(2014·鎮(zhèn)江質(zhì)檢)已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程

17、；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，2，求直線AB的方程解(1)設(shè)橢圓C2的方程為1(a>2)， 其離心率為， 故，解得a4.故橢圓C2的方程為1.(2)法一：A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O、A、B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A、B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24， 所以x.將ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x， 即，解得k±1.故直線AB的方程為yx或yx.法二：A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O、A、B三點(diǎn)

18、共線且點(diǎn)A、B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x. 由2，得x，y.將x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k±1.故直線AB的方程為yx或yx.10(2014·安徽高考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周長為16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求橢圓E的離心率解(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因為ABF2的周長為16，所以由橢圓定義可

19、得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)設(shè)|F1B|k，則k>0且|AF1|3k，|AB|4k.由橢圓定義可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|·|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)·(2ak)，化簡可得(ak)(a3k)0.而ak>0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2為等腰直角三角形從而ca，所以橢圓E的離心率e

20、.橢圓的定義與性質(zhì)1橢圓的定義(1)第一定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于 (大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個 叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個 的距離叫做焦距(2)第二定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離的比是常數(shù) ( <e< )的動點(diǎn)的軌跡是橢圓，定點(diǎn)F叫做橢圓的焦點(diǎn)，定直線l叫做焦點(diǎn)F相應(yīng)的準(zhǔn)線，根據(jù)橢圓的對稱性，橢圓有兩個焦點(diǎn)和兩條準(zhǔn)線2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍 x y x y 頂點(diǎn)A1( )， A2( )A1( )， A2( )B1( )，B2( )B1( )，B2( )焦點(diǎn)F

21、1( ) F2( )F1( ) F2( )準(zhǔn)線l1：x l2：xl1：y l2：y軸長軸A1A2的長為 短軸B1B2的長為 長軸A1A2的長為 短軸B1B2的長為 焦距F1F2 離心率e，且e a，b，c的關(guān)系c2 對稱性對稱軸： 對稱中心： 1(夯基釋疑)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A(2,0)，B(2,0)的距離之和為4，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓()(2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(4)已知點(diǎn)F為平面內(nèi)的一個定點(diǎn)，直線l為平

22、面內(nèi)的一條定直線設(shè)d為平面內(nèi)一動點(diǎn)P到定直線l的距離，若d|PF|，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓()2(教材習(xí)題改編)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1的離心率為，則m_.3橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，6)，(0,6)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為20，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_4(2014·無錫質(zhì)檢)橢圓1的左焦點(diǎn)為F，直線xm與橢圓相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)FAB的周長最大時，F(xiàn)AB的面積是_5(2014·江西高考)過點(diǎn)M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于_考向1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1】(1)(2014·全

23、國大綱卷改編)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)若AF1B的周長為4，則C的方程為_(2)(2014·蘇州質(zhì)檢)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦距為4，一條準(zhǔn)線為x4，則該橢圓的方程為_【規(guī)律方法】(1)一般地，解決與到焦點(diǎn)的距離有關(guān)問題時，首先應(yīng)考慮用定義來解決(2)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2By

24、21(A>0，B>0，AB)【變式訓(xùn)練1】(1)(2013·廣東高考改編)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是_(2)(2014·蘇州質(zhì)檢)已知橢圓的方程是1(a5)，它的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|8，弦AB(橢圓上任意兩點(diǎn)的線段)過點(diǎn)F1，則ABF2的周長為_考向2橢圓的幾何性質(zhì)【典例2】(1)(2013·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個端點(diǎn)為B.設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2，若d2d1，則橢圓C的離心率為_(2)

25、(2014·揚(yáng)州質(zhì)檢)已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足|PF1|2|PF2|，PF1F230°，則橢圓的離心率為_【規(guī)律方法】1橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到a，c的關(guān)系2橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：(1)求出a，c，代入公式e；(2)只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2a2c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)【變式訓(xùn)練2】(1)(2013·課標(biāo)全國卷改編)設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230°，則C的離心率為_(2)(2014·徐州一中抽測)已知F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF260°.則橢圓離心率的范圍為_課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)一、填空題1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為