曲線積分和曲面積分的計算

1、曲線積分與曲面積分的計算080122011014工程管理孟令清一、第一類曲線積分的計算: 設有光滑曲線, . 是定義在上的連續(xù)函數(shù) . 則 . ( 證 ) 1P357若曲線方程為: , 則 .的方程為時有類似的公式.例題：計算積分, 其中是球面被平面截得的圓周 . 1P359 E3解 由對稱性知 , , =. ( 注意是大圓 )二、第二類曲線積分的計算:曲線的自然方向: 設曲線L由參數(shù)式給出. 稱參數(shù)增大時曲線相應的方向為自然方向.設L為光滑或按段光滑曲線 , L : .A, B; 函數(shù)和在L上連續(xù), 則沿L的自然方向( 即從點A到點B的方向)有. （一）Green公式:若函數(shù)P和Q在閉區(qū)域D

2、R上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導數(shù), 則有 ,其中L為區(qū)域D的正向邊界. 應用舉例:對環(huán)路積分, 可直接應用Green公式. 對非閉路積分, 常采用附加上一條線使變成環(huán)路積分的技巧.例題：計算積分 , 其中AB. 曲線AB為圓周在第一象限中的部分. 解法一 ( 直接計算積分 ) 曲線AB的方程為 .方向為自然方向的反向. 因此 .解法二 ( 用Green公式 ) 補上線段BO和OA ( O為坐標原點 ), 成閉路. 設所圍區(qū)域為D, 注意到D為反向, 以及, 有 .（二）曲線積分與路線無關(guān)性:積分與路徑無關(guān)的等價條件:設DR是單連通閉區(qū)域. 若函數(shù)和在閉區(qū)域D內(nèi)連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導數(shù) ,

3、則以下四個條件等價 : 沿D內(nèi)任一按段光滑的閉合曲線L, 有 . 對D內(nèi)任一按段光滑的曲線L, 曲線積分與路徑無關(guān), 只與曲線L的起點和終點有關(guān). 是D內(nèi)某一函數(shù)的全微分, 即在D內(nèi)有. 在D內(nèi)每一點處有 .三、第一類曲面積分的計算:設有光滑曲面 .為上的連續(xù)函數(shù),則. 四、第二型曲面積分的計算:設是定義在光滑曲面 D上的連續(xù)函數(shù), 以的上側(cè)為正側(cè)( 即 ), 則有 .（一）第二型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系: 設為曲面的指定法向, 則 . （二）Gauss公式:設空間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面圍成 . 若函數(shù)在V上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導數(shù) , 則 ,其中取外側(cè).例：計算積分， 為球面取外側(cè). ( 參閱上節(jié)例2 )解 . 由Gauss公式 .（三）Stokes公式:空間雙側(cè)曲面的正側(cè)與其邊界閉合曲線L正向的匹配關(guān)系: 右手螺旋法則, 即當人站在曲面的正側(cè)上, 沿邊界曲線L行走時, 若曲面在左側(cè), 則把人的前進方向定為L的正向.Stokes定理:設光滑曲面的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線 . 若函數(shù)、和在( 連