蘭州大學——數(shù)學物理方法期末試卷A

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上數(shù)學物理方法常用的公式（注：僅供參考）：拉普拉斯算子作用于標量場在圓柱坐標系和球坐標系下的表示：；勒讓德多項式的微分表示：勒讓德-傅里葉級數(shù)展開：定義在的區(qū)間的至少分段光滑函數(shù)可以展開為廣義傅里葉級數(shù)：其中，系數(shù)勒讓德多項式的生成函數(shù)： 在球坐標下下的梯度表示得分一、（本題10分，每小題5分） （1）證明：，其中，為常矢量。 （2）計算矢量場的旋度。二、（本題10分，每小題5分) 將下列復數(shù)寫成代數(shù)形式，其中為虛數(shù)單位， （1）； （2）三、（本題10分)已知解析函數(shù)的實部，且滿足，求該解析函數(shù)。四、（本題10分) 將函數(shù)以為中心的鄰域內(nèi)做洛朗級數(shù)展開。五、（本題10

2、分) 計算實變函數(shù)積分， 六、（本題10分) 設有一根均勻的柔軟的細弦，當它做微小的橫振動時，除受內(nèi)部張力作用外，還受到阻尼力的作用，設阻尼力與速度成正比，比例系數(shù)為，即單位長度的弦所受阻力。試寫出帶有阻尼的弦振動方程。七、（本題10分) 將定解問題 的邊界條件齊次化，設，并假設滿足齊次邊界條件，請寫出關于的相應的定解問題。（注：不必對邊條件齊次化后的定解問題進行求解）八、（本題15分) 求解定解問題的解 九、（本題15分) 在均勻電場中放置一個半徑為并接地的導體球，求導體球放入電場達到靜電平衡后，球外各點的電勢分布，并算出各點的電場強度和導體表面的電荷分布。一、（本題10分，每小題5分） （

3、1）證明：，其中，為常矢量。 （2）計算矢量場的旋度。 （1）證明： （3分） （2分）（2）解： （3分） （2分）二、（本題10分，每小題5分) 將下列復數(shù)寫成代數(shù)形式，其中為虛數(shù)單位， （1）； （2）解：（1） 為整數(shù) （3分） 當為偶數(shù)時， （1分） 當為奇數(shù)時， （1分） （2） （3分） （2分）三、（本題10分) 已知解析函數(shù)的實部，且滿足，求該解析函數(shù)。 解：根據(jù)科西-黎曼條件：， （2分）所以有 （2分） （2分） 即有 所以 （2分） 由條件，可得 （1分） 所以有 （1分）四、（本題10分) 將函數(shù)以為中心的鄰域內(nèi)做洛朗級數(shù)展開。解： （3分） （7分） 五、（本題10

4、分) 計算實變函數(shù)積分， 解： 設，則有 （2分） 則原積分等于 （3分） 被積函數(shù)有兩個極點 顯然在單位圓外，在單位圓內(nèi)，該點的留數(shù)為 （2分） （2分） 所以該定積分等于 （1分）六、（本題10分) 設有一根均勻的柔軟的細弦，當它做微小的橫振動時，除受內(nèi)部張力作用外，還受到阻尼力的作用，設阻尼力與速度成正比，比例系數(shù)為，即單位長度的弦所受阻力。試寫出帶有阻尼的弦振動方程。解：建立坐標系，如圖所示取弦的平衡位置為軸，且令端點坐標為與設是坐標為的弦上一點在時刻的(橫向)位移在弦上隔離出長為的一小段(弦元)弦元的弦長足夠小，以至于可以把它看成是質點分析弦元受力：它在兩個端點及處受到張力的作用因為

5、弦是完全柔軟的，故只受到切向應力張力的作用，而沒有法向應力。因此有： . （4分）小振動近似： 與兩點間任一時刻橫向位移之差與相比是一個小量，即 :在小振動近似下， 弦的橫振動 這樣，就有 (3分)于是， 即 （3分） 其中是弦的線密度(單位長度的質量)定義：，則有 一般情況下弦振動的加速度遠遠大于重力加速度，方程簡化為 七、（本題10分) 將定解問題 的邊界條件齊次化，設，并假設滿足齊次邊界條件，請寫出關于的相應的定解問題。（注：不必對邊條件齊次化后的定解問題進行求解）解：設，并令 則有 設，可得， 所以有 （5分） 把帶入原有的定解方程中可得關于的定解問題為 （5分八、（本題15分) 求解

6、定解問題的解 解：設，并且代入方程可得 上式左右兩邊要相等只能等于同一常數(shù)，設為 則有 （4分） 由自然周期邊條件，可得 解得，本征值，本征函數(shù) 其中 （3分）則有當時，有 解得由有限性條件可得所以 （2分）當時，方程的解為由有限性條件可得所以 （2分）綜上所述 其中， （1分）由邊界條件可得 解得， （2分）所以解得有 （1分）九、（本題15分) 在均勻電場中放置一個半徑為并接地的導體球，求導體球放入電場達到靜電平衡后，球外各點的電勢分布，并算出各點的電場強度和導體表面的電荷分布。解：以球心為原點，方向為極軸方向取球坐標系，顯然此問題關于極軸是對稱的，當導體達到靜電平衡時，導體是個等勢體，導體表面是個等勢面，為了考慮問題的方面，選取導體為電勢零點，則有，根據(jù)題意可知在無窮遠的處電勢為球外各點沒有電荷，滿足拉普拉斯方程所以有定解問題為： （3分）由分離變量法，由于是軸對稱問題，可令，代入式（1），可得方程的解為： （4） （3分）由邊界條件（3）和根據(jù)勒讓德函數(shù)為基的函數(shù)的廣義傅立葉級數(shù)展開，對比系數(shù)可得： （3分）方程的解（4）變?yōu)椋?（5）