數學物理方法試卷5答案

1、物理系 20 20 學年第 學期期末考試 數學物理方法試卷（A）考試時間：120分鐘 考試方式：閉卷班級 專業(yè) 姓名 學號 題 號一二三四五總 分得 分核分人一、填空題（本大題共9題，每空2分，共24分）1、寫出復數1+i的三角式，指數式 。2、中代表復平面上位于ab線段中垂線上點。3、冪級數的收斂半徑為 。4、復變函數可導的充分必要條件存在，并且滿足柯西-黎曼方程 。5、在Z=0的鄰域上的泰勒級數是（至少寫出前三項）=。6、若周期函數f (x)是奇函數，則可展為傅立葉正弦級數f (x)= 展開系數為 。 7、就奇點的類型而言，Z=是函數f(z)=的 可去 奇點，Z=0是函數的 單極 點。8、

2、三維波動方程形式。9、拉普拉斯方程在球坐標系中的表達式為：。二、簡答題（本大題共3題，每題8分，共24分）1、 分別簡述單通區(qū)域和復通區(qū)域下的柯西定理。 單通區(qū)域柯西定理：如果函數在閉單通區(qū)域B上解析，則沿B上任一段光滑閉合曲線,有； (4分)復通區(qū)域柯西定理：如果函數是閉復通區(qū)域上的單值解析函數,則,式中為區(qū)域外界境線,諸為區(qū)域內界境線,積分均沿界境線正方向進行。 (4分)2、長為的均勻弦，兩端 和 固定，弦中張力為T0，在點，以橫向力F0拉弦，達到穩(wěn)定后放手任其自由振動，寫出初始條件。 解： 由點斜式方程，弦的初始位移為 （2分）其中 c 為弦在 x h 點的初始位移。因為是小振動，所以（

3、2分）寫出水平、豎直方向的力平衡方程式：（2分）解得 ，將之代入初始位移（1），得 （2分） 3、寫出l階勒讓德多項式的具體表達式，具體寫出前3個勒讓德多項式。答：l階勒讓德多項式的具體表達式為： （4分） 記號l/2表示不超過 l/2的最大整數。（這由x的指數得知，k0的項即為系數為a0或a1的項。）經由上式計算，前3個勒讓德多項式是 （4分）三、 計算題 （本大題共2題，每題10分，共20分）1、計算回路積分（l的方程是）。解：的方程可化簡為：，在復平面上它是以（-1，-i）為圓心，為半徑的圓， (1分)被積函數有兩個單極點，和一個二階極點，在這三個極點中，在積分回路內，它們的留數： (3

4、分) (3分)應用留數定理： (3分)2、計算實變函數積分I=。解:這是屬于類型一的積分，為此，做變換使原積分化為單位圓內的回路積分f(z)有兩個單極點在單位圓內，且所以四、求解定解問題（本大題共1題，共16分） 解：利用分離變數法：，代入范定方程（1），分離變量，得到： 兩邊分別是時間t和坐標x的函數，除非兩邊等于一個常數，記作，可得到t和x所滿足的常微分方程，如下： （3分）同時把代入邊界條件得： 因為是第二類邊界條件，當=0時，方程的解是，代入邊界條件得：D0=0， 所以； （1分）當0時，T滿足的常微分方程的通解是： （2分）代入邊界條件，確定系數 由于，則得無意義的0解，所以只有：，

5、則于是，求出本征值： （n=1,2,3 ） 現在把0情況的本征值和本征函數合在一起，相應的本征函數是：為任意常數 （3分） 對于每一個本征值， 代入方程 中可得到： 和 相應方程 的解為： （2分） 其中，An , B n 為任意常數。則滿足的方程的本征解為：方程一般解是所有本征解的線性疊加，即：（3分）代入初始條件 上式的左端是傅立葉余弦級數，把右邊的 和 展開為傅立葉余弦級數，然后比較兩邊的系數就可以確定系數， （2分） 裝 訂 線 內 請 勿 答 題.裝.訂.線.裝.訂.線五、應用題（本大題共1題，共16分）如圖所示，推導一維和三維擴散方程，已知擴散系數為。解：在擴散問題中研究的是濃度在空間中的分布和在時間中的變化，選取長、寬、高分別是，的六面體小微元作為研究對象，已知擴散現象遵循擴散定律： （3分）該定律的分量形式：，如圖所示的六面體里濃度的變化取決于穿過它的表面的擴散流。由擴散定律，先考慮單位時間內x方向上擴散流為：因在左表面處，流入六面體的流量為，在右表面流出去的流量為，取得很小，則單位時間內x方向凈流入流量為 （3分）分別考慮y,z方向上的擴散流，同理可得單位時間內y方向凈流入流量為單位時間內z方向凈流入