數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念

1、第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念一、教學(xué)要求 1理解總體、個(gè)體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本和統(tǒng)計(jì)量的概念，掌握樣本均值、樣本方差及樣本矩的計(jì)算。 2了解 分布、t分布和F分布的定義和性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念并會(huì)查表計(jì)算。 3掌握正態(tài)總體的某些常用統(tǒng)計(jì)量的分布。 4了解最大次序統(tǒng)計(jì)量和最小次序統(tǒng)計(jì)量的分布。 本章重點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)量的概念及其分布。二、主要內(nèi)容 1總體與個(gè)體 我們把研究對(duì)象的全體稱(chēng)為總體(或母體)，把組成總體的每個(gè)成員稱(chēng)為個(gè)體。在實(shí)際問(wèn)題中，通常研究對(duì)象的某個(gè)或某幾個(gè)數(shù)值指標(biāo)，因而常把總體的數(shù)值指標(biāo)稱(chēng)為總體。設(shè)x為總體的某個(gè)數(shù)值指標(biāo)，常稱(chēng)這個(gè)總體為總體X。X的分布函數(shù)稱(chēng)為總體分布函數(shù)。當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，

2、稱(chēng)X的概率函數(shù)為總體概率函數(shù)。當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，稱(chēng)X的密度函數(shù)為總體密度函數(shù)。當(dāng) X服從正態(tài)分布時(shí)，稱(chēng)總體X為正態(tài)總體。正態(tài)總體有以下三種類(lèi)型： (1)未知，但已知； (2)未知，但已知； (3)和均未知。 2簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法實(shí)質(zhì)上是由局部來(lái)推斷整體的方法，即通過(guò)一些個(gè)體的特征來(lái)推斷總體的特征。要作統(tǒng)計(jì)推斷，首先要依照一定的規(guī)則抽取n個(gè)個(gè)體，然后對(duì)這些個(gè)體進(jìn)行測(cè)試或觀(guān)察得到一組數(shù)據(jù)，這一過(guò)程稱(chēng)為抽樣。由于抽樣前無(wú)法知道得到的數(shù)據(jù)值，因而站在抽樣前的立場(chǎng)上，設(shè)有可能得到的值為，n維隨機(jī)向量()稱(chēng)為樣本。n稱(chēng)為樣本容量。 (）稱(chēng)為樣本觀(guān)測(cè)值。 如果樣本()滿(mǎn)足 （1）相互獨(dú)立；(2

3、) 服從相同的分布，即總體分布； 則稱(chēng)()為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。簡(jiǎn)稱(chēng)樣本。 設(shè)總體X的概率函數(shù)(密度函數(shù))為，則樣本（ )的聯(lián)合概率函數(shù)(聯(lián)合密度函數(shù)為) 3. 統(tǒng)計(jì)量 完全由樣本確定的量，是樣本的函數(shù)。即：設(shè)是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，是一個(gè)n元函數(shù)，如果中不含任何總體的未知參數(shù)，則稱(chēng)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，經(jīng)過(guò)抽樣后得到一組樣本觀(guān)測(cè)值，則稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量觀(guān)測(cè)值或統(tǒng)計(jì)量值。4. 常用統(tǒng)計(jì)量（1）樣本均值： （2）樣本方差： （3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差：它們的觀(guān)察值分別為：這些觀(guān)察值仍分別稱(chēng)為樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。（4）樣本（階）原點(diǎn)矩 （5）樣本（階）中心矩 其中樣本二階中心矩又稱(chēng)為未修正樣本方差。（6）順序統(tǒng)計(jì)量

4、將樣本中的各個(gè)分量由小到大的重排成則稱(chēng)為樣本順序統(tǒng)計(jì)量，為樣本的極差。 （7）樣本相關(guān)系數(shù)：其中：分別為數(shù)據(jù)的樣本均值，分別為樣本a標(biāo)準(zhǔn)差。5、直方圖與箱線(xiàn)圖 （1）直方圖 先將所有采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到順序統(tǒng)計(jì)量，找出其中的最小值，最大值，即所有的數(shù)據(jù)都落在區(qū)間上，現(xiàn)取區(qū)間（其中可取等），該區(qū)間能覆蓋區(qū)間，將區(qū)間等分為個(gè)小區(qū)間（先取一個(gè)區(qū)間，其下限比最小的數(shù)據(jù)稍小，其上限比最大的數(shù)據(jù)稍大，然后將這一區(qū)間等分為個(gè)小區(qū)間，通常較大時(shí)取，當(dāng)時(shí)則取。若取得過(guò)大，則會(huì)出現(xiàn)某些區(qū)間內(nèi)頻數(shù)為零，分點(diǎn)通常取比數(shù)據(jù)精度高一位，以避免數(shù)據(jù)落在分點(diǎn)上），小區(qū)間的長(zhǎng)度記為，稱(chēng)為組距，小區(qū)間的端點(diǎn)稱(chēng)為組限，數(shù)出數(shù)據(jù)

5、落在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)的頻數(shù)，算出頻率，然后自左至右依次在各個(gè)小區(qū)間上做以為高的小矩形，這樣的圖形就稱(chēng)其為頻率直方圖。顯然這種小矩形的面積就等于數(shù)據(jù)落在該小區(qū)間的頻率，直方圖的外廓曲線(xiàn)接近于總體的概率密度曲線(xiàn)。 （2）分位數(shù)定義 設(shè)有容量為的樣本觀(guān)察值，樣本分為數(shù)記為，它具有以下性質(zhì)：（1）至少有個(gè)觀(guān)察值小于或等于；（2）至少有個(gè)觀(guān)察值大于或等于樣本分位數(shù)可按以下法則求得： 將按從小到大的順序排成 ，若不是整數(shù)，則只有一個(gè)數(shù)據(jù)滿(mǎn)足定義中的兩點(diǎn)要求，這一數(shù)據(jù)位于大于的最小整數(shù)處，即為位于處的數(shù)。 ，若是整數(shù)，則都符合性質(zhì)要求，故取的平均值。 綜上可得： 特別的： 0.25分位數(shù)又稱(chēng)為第一四分位數(shù)

6、，又記為；0.75分位數(shù)又稱(chēng)為第三四分位數(shù)，又記為 （3）箱線(xiàn)圖： 數(shù)據(jù)集的箱線(xiàn)圖是由箱子和直線(xiàn)組成的圖形，它是在基于以下5個(gè)數(shù)據(jù)的圖形概括：最小值最大值，做法如下：（1）畫(huà)一水平數(shù)軸，在軸上標(biāo)記最小值最大值，在數(shù)軸上方畫(huà)一個(gè)上下側(cè)平行于數(shù)軸的矩形箱子，箱子的左右兩側(cè)分別位于的上方，在點(diǎn)的上方畫(huà)一條垂直線(xiàn)段，線(xiàn)段位于箱子的內(nèi)部；（2）自箱子的左側(cè)中點(diǎn)引一條水平線(xiàn)直至最小值上方；在同一水平高度自箱子右側(cè)引一條水平線(xiàn)直至最大值上方。箱線(xiàn)圖完成。在數(shù)據(jù)集中某一個(gè)觀(guān)察值不尋常的大于或小于該數(shù)集中的其他數(shù)據(jù)，稱(chēng)為疑似異常值。 第一四分位數(shù)與第三四分位數(shù)之間的距離：稱(chēng)為四分位數(shù)間距，若數(shù)據(jù)小于，就認(rèn)為他是

7、疑似異常值。將上述箱線(xiàn)圖的做法修改如下：（1）同（1）（2）計(jì)算，若一個(gè)數(shù)據(jù)小于，則認(rèn)為它是一個(gè)異常值，并以表示；（3） 自箱子的左側(cè)中點(diǎn)引一條水平線(xiàn)直至數(shù)據(jù)中除去疑似異常值之后的最小值上方，再自箱子的右側(cè)中點(diǎn)引一條水平線(xiàn)直至數(shù)據(jù)中除去疑似異常值之后的最大值上方； 這樣做出的箱線(xiàn)圖稱(chēng)為修正箱線(xiàn)圖。6關(guān)于分布（1）（Gamma）函數(shù) 它具有以下運(yùn)算性質(zhì)： 特別地： 令 令 所以 （2）設(shè)隨機(jī)變量服從分布，即：，其密度函數(shù)為： 定理：設(shè)隨機(jī)變量，都服從分布且相互獨(dú)立，即：，其密度函數(shù)分別為： 則服從參數(shù)為分布，即：7、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 設(shè)是總體的一個(gè)樣本，用表示中不大于的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，定義經(jīng)驗(yàn)分布函

8、數(shù)為： 例題1：設(shè)總體有一個(gè)樣本值1,2,3，則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為： 例題2：設(shè)總體有一個(gè)樣本值1,1，2，則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為： 格里汶科定理：（1933年）對(duì)于任意一實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，以概率1收斂于分布函數(shù) 8. 三個(gè)重要分布（1）分布設(shè)為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，稱(chēng)隨機(jī)變量的分布為自由度為n的分布，記為。其密度函數(shù)為： 性質(zhì)：（1）若則因?yàn)?所以： 又 其中：（2）分布的可加性 設(shè)，并且相互獨(dú)立，則有： （3）分布的分位點(diǎn) 對(duì)于給定的正數(shù)，稱(chēng)滿(mǎn)足條件 的點(diǎn)為分布的上分位點(diǎn)。（2）t分布設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，則稱(chēng)的分布為自由度n的t分布，記為。分布又稱(chēng)為學(xué)生氏分布，其密度函數(shù)為： 分布的分位點(diǎn)：對(duì)于給定的正數(shù)，

9、稱(chēng)滿(mǎn)足條件 的點(diǎn)為分布的上分位點(diǎn)。其中：（3）F分布設(shè)隨機(jī)變量U與V相互獨(dú)立，則稱(chēng)的分布為自由度的F分布，記為。密度函數(shù)為： 由定義知：若 則 分布的分位點(diǎn)對(duì)于給定的正數(shù)，稱(chēng)稱(chēng)滿(mǎn)足：的點(diǎn)為F分布的上分位點(diǎn)，且有9.抽樣分布(1)有限總體的抽樣分布 定理1、設(shè)總體中個(gè)體總數(shù)（也稱(chēng)總體大?。?，樣本容量為且總體有有限均值，方差，則 當(dāng)抽樣是有放回時(shí) 當(dāng)抽樣是無(wú)放回時(shí) 其中即為的標(biāo)準(zhǔn)差。(2)單正態(tài)總體的抽樣分布設(shè)總體（不管服從什么分布，只要均值和方差存在）的均值為，方差為，是來(lái)自的一個(gè)樣本，分別是樣本均值和樣本方差，則有： 而 定理2、設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，是樣本均值，則有： 定理3、設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，分別是樣本均值和樣本方差，則有： 相互獨(dú)立。 定理4、設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，分別是樣本均值和樣本方差，則有： 注：(3)雙正態(tài)總體的抽樣分布 定理5、設(shè)分別是