數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本概念

1、第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、教學(xué)要求 1理解總體、個體、簡單隨機樣本和統(tǒng)計量的概念，掌握樣本均值、樣本方差及樣本矩的計算。 2了解 分布、t分布和F分布的定義和性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念并會查表計算。 3掌握正態(tài)總體的某些常用統(tǒng)計量的分布。 4了解最大次序統(tǒng)計量和最小次序統(tǒng)計量的分布。 本章重點：統(tǒng)計量的概念及其分布。二、主要內(nèi)容 1總體與個體 我們把研究對象的全體稱為總體(或母體)，把組成總體的每個成員稱為個體。在實際問題中，通常研究對象的某個或某幾個數(shù)值指標(biāo)，因而常把總體的數(shù)值指標(biāo)稱為總體。設(shè)x為總體的某個數(shù)值指標(biāo)，常稱這個總體為總體X。X的分布函數(shù)稱為總體分布函數(shù)。當(dāng)X為離散型隨機變量時，

2、稱X的概率函數(shù)為總體概率函數(shù)。當(dāng)X為連續(xù)型隨機變量時，稱X的密度函數(shù)為總體密度函數(shù)。當(dāng) X服從正態(tài)分布時，稱總體X為正態(tài)總體。正態(tài)總體有以下三種類型： (1)未知，但已知； (2)未知，但已知； (3)和均未知。 2簡單隨機樣本 數(shù)理統(tǒng)計方法實質(zhì)上是由局部來推斷整體的方法，即通過一些個體的特征來推斷總體的特征。要作統(tǒng)計推斷，首先要依照一定的規(guī)則抽取n個個體，然后對這些個體進行測試或觀察得到一組數(shù)據(jù)，這一過程稱為抽樣。由于抽樣前無法知道得到的數(shù)據(jù)值，因而站在抽樣前的立場上，設(shè)有可能得到的值為，n維隨機向量()稱為樣本。n稱為樣本容量。 (）稱為樣本觀測值。 如果樣本()滿足 （1）相互獨立；(2

3、) 服從相同的分布，即總體分布； 則稱()為簡單隨機樣本。簡稱樣本。 設(shè)總體X的概率函數(shù)(密度函數(shù))為，則樣本（ )的聯(lián)合概率函數(shù)(聯(lián)合密度函數(shù)為) 3. 統(tǒng)計量 完全由樣本確定的量，是樣本的函數(shù)。即：設(shè)是來自總體X的一個樣本，是一個n元函數(shù)，如果中不含任何總體的未知參數(shù)，則稱為一個統(tǒng)計量，經(jīng)過抽樣后得到一組樣本觀測值，則稱為統(tǒng)計量觀測值或統(tǒng)計量值。4. 常用統(tǒng)計量（1）樣本均值： （2）樣本方差： （3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差：它們的觀察值分別為：這些觀察值仍分別稱為樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。（4）樣本（階）原點矩 （5）樣本（階）中心矩 其中樣本二階中心矩又稱為未修正樣本方差。（6）順序統(tǒng)計量

4、將樣本中的各個分量由小到大的重排成則稱為樣本順序統(tǒng)計量，為樣本的極差。 （7）樣本相關(guān)系數(shù)：其中：分別為數(shù)據(jù)的樣本均值，分別為樣本a標(biāo)準(zhǔn)差。5、直方圖與箱線圖 （1）直方圖 先將所有采集的數(shù)據(jù)進行整理，得到順序統(tǒng)計量，找出其中的最小值，最大值，即所有的數(shù)據(jù)都落在區(qū)間上，現(xiàn)取區(qū)間（其中可取等），該區(qū)間能覆蓋區(qū)間，將區(qū)間等分為個小區(qū)間（先取一個區(qū)間，其下限比最小的數(shù)據(jù)稍小，其上限比最大的數(shù)據(jù)稍大，然后將這一區(qū)間等分為個小區(qū)間，通常較大時取，當(dāng)時則取。若取得過大，則會出現(xiàn)某些區(qū)間內(nèi)頻數(shù)為零，分點通常取比數(shù)據(jù)精度高一位，以避免數(shù)據(jù)落在分點上），小區(qū)間的長度記為，稱為組距，小區(qū)間的端點稱為組限，數(shù)出數(shù)據(jù)

5、落在每個小區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)的頻數(shù)，算出頻率，然后自左至右依次在各個小區(qū)間上做以為高的小矩形，這樣的圖形就稱其為頻率直方圖。顯然這種小矩形的面積就等于數(shù)據(jù)落在該小區(qū)間的頻率，直方圖的外廓曲線接近于總體的概率密度曲線。 （2）分位數(shù)定義 設(shè)有容量為的樣本觀察值，樣本分為數(shù)記為，它具有以下性質(zhì)：（1）至少有個觀察值小于或等于；（2）至少有個觀察值大于或等于樣本分位數(shù)可按以下法則求得： 將按從小到大的順序排成 ，若不是整數(shù)，則只有一個數(shù)據(jù)滿足定義中的兩點要求，這一數(shù)據(jù)位于大于的最小整數(shù)處，即為位于處的數(shù)。 ，若是整數(shù)，則都符合性質(zhì)要求，故取的平均值。 綜上可得： 特別的： 0.25分位數(shù)又稱為第一四分位數(shù)

6、，又記為；0.75分位數(shù)又稱為第三四分位數(shù)，又記為 （3）箱線圖： 數(shù)據(jù)集的箱線圖是由箱子和直線組成的圖形，它是在基于以下5個數(shù)據(jù)的圖形概括：最小值最大值，做法如下：（1）畫一水平數(shù)軸，在軸上標(biāo)記最小值最大值，在數(shù)軸上方畫一個上下側(cè)平行于數(shù)軸的矩形箱子，箱子的左右兩側(cè)分別位于的上方，在點的上方畫一條垂直線段，線段位于箱子的內(nèi)部；（2）自箱子的左側(cè)中點引一條水平線直至最小值上方；在同一水平高度自箱子右側(cè)引一條水平線直至最大值上方。箱線圖完成。在數(shù)據(jù)集中某一個觀察值不尋常的大于或小于該數(shù)集中的其他數(shù)據(jù)，稱為疑似異常值。 第一四分位數(shù)與第三四分位數(shù)之間的距離：稱為四分位數(shù)間距，若數(shù)據(jù)小于，就認(rèn)為他是

7、疑似異常值。將上述箱線圖的做法修改如下：（1）同（1）（2）計算，若一個數(shù)據(jù)小于，則認(rèn)為它是一個異常值，并以表示；（3） 自箱子的左側(cè)中點引一條水平線直至數(shù)據(jù)中除去疑似異常值之后的最小值上方，再自箱子的右側(cè)中點引一條水平線直至數(shù)據(jù)中除去疑似異常值之后的最大值上方； 這樣做出的箱線圖稱為修正箱線圖。6關(guān)于分布（1）（Gamma）函數(shù) 它具有以下運算性質(zhì)： 特別地： 令 令 所以 （2）設(shè)隨機變量服從分布，即：，其密度函數(shù)為： 定理：設(shè)隨機變量，都服從分布且相互獨立，即：，其密度函數(shù)分別為： 則服從參數(shù)為分布，即：7、經(jīng)驗分布函數(shù) 設(shè)是總體的一個樣本，用表示中不大于的隨機變量的個數(shù)，定義經(jīng)驗分布函

8、數(shù)為： 例題1：設(shè)總體有一個樣本值1,2,3，則經(jīng)驗分布函數(shù)為： 例題2：設(shè)總體有一個樣本值1,1，2，則經(jīng)驗分布函數(shù)為： 格里汶科定理：（1933年）對于任意一實數(shù)，當(dāng)時，以概率1收斂于分布函數(shù) 8. 三個重要分布（1）分布設(shè)為獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，稱隨機變量的分布為自由度為n的分布，記為。其密度函數(shù)為： 性質(zhì)：（1）若則因為 所以： 又 其中：（2）分布的可加性 設(shè)，并且相互獨立，則有： （3）分布的分位點 對于給定的正數(shù)，稱滿足條件 的點為分布的上分位點。（2）t分布設(shè)隨機變量X與Y獨立，則稱的分布為自由度n的t分布，記為。分布又稱為學(xué)生氏分布，其密度函數(shù)為： 分布的分位點：對于給定的正數(shù)，

9、稱滿足條件 的點為分布的上分位點。其中：（3）F分布設(shè)隨機變量U與V相互獨立，則稱的分布為自由度的F分布，記為。密度函數(shù)為： 由定義知：若 則 分布的分位點對于給定的正數(shù)，稱稱滿足：的點為F分布的上分位點，且有9.抽樣分布(1)有限總體的抽樣分布 定理1、設(shè)總體中個體總數(shù)（也稱總體大小）為，樣本容量為且總體有有限均值，方差，則 當(dāng)抽樣是有放回時 當(dāng)抽樣是無放回時 其中即為的標(biāo)準(zhǔn)差。(2)單正態(tài)總體的抽樣分布設(shè)總體（不管服從什么分布，只要均值和方差存在）的均值為，方差為，是來自的一個樣本，分別是樣本均值和樣本方差，則有： 而 定理2、設(shè)是來自正態(tài)總體的一個樣本，是樣本均值，則有： 定理3、設(shè)是來自正態(tài)總體的一個樣本，分別是樣本均值和樣本方差，則有： 相互獨立。 定理4、設(shè)是來自正態(tài)總體的一個樣本，分別是樣本均值和樣本方差，則有： 注：(3)雙正態(tài)總體的抽樣分布 定理5、設(shè)分別是