曲線上存在兩條互相垂直的切線問(wèn)題模型探究

1、曲線上存在兩條互相垂直的切線問(wèn)題模型探究例題1（2013天津預(yù)賽5）如果曲線的兩條互相垂直的切線交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是（ ）(A) (B) (C) (D)解析 設(shè)曲線在點(diǎn)的切線交于點(diǎn)P，那么由題意可知：，其中；即有. 又，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，當(dāng)時(shí)，即可知. 那么，. 故可知(C)錯(cuò).評(píng)注 此題或先求出和兩個(gè)交點(diǎn)，再利用周期為，同樣得解.例題2（2013山東預(yù)賽10）假設(shè)實(shí)數(shù)b，c滿足，且的圖象上存在兩條切線互相垂直，則a的取值范圍是 解析 ；設(shè)圖象上兩條切線在曲線上的切點(diǎn)分別為，則有. 即： 在中，令，展開后有，由可知，又 在中，由于，那么，即 ，因此由可知，代入到中解得

2、.綜上可知：a的取值范圍是.評(píng)注 此題可溯源到如下例題：例題3 已知函數(shù)，( I ) 記，求的極小值；(II) 若函數(shù)的圖象上存在互相垂直的兩條切線，求實(shí)數(shù)的值及相應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo).(II)解析 ，那么，設(shè)切點(diǎn)分別為由題意知，即有，展開得到，在中，由可知，即. 又，則代入得. 并且切點(diǎn)坐標(biāo)為，其中.例題4（2014年南京市、鹽城市高三二模第12題）設(shè)函數(shù)f(x)axsinxcosx若函數(shù)f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得曲線yf(x)在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 解析 ；那么，要使得函數(shù)f(x)的圖象上存在兩個(gè)不同點(diǎn)使得，必有.又由得到，那么得到：，即有，解得.評(píng)注 此

3、題解法類似于如下兩道例題：例題4.1 已知函數(shù)的圖象為曲線.(1) 求過(guò)曲線上任意一點(diǎn)的切線的斜率的取值范圍；(2) 若在曲線上存在兩條互相垂直的切線，求其中一條切線與曲線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；(3) 略解析 (1) ；(2)由(1)可知：，解得或；代入解得.例題4.2 設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且時(shí)，取極小值，(1) 求的值；(2) 當(dāng)時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論.(3) 略解析(2) 不存在這樣的兩點(diǎn)由(1)得，假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則，即.因?yàn)?，那么，得?故不成立.例題5（2010年雅安三模）二次函數(shù)yx2-2x2與y-x2axb(a>0,b>0)的圖象在它們的一個(gè)交點(diǎn)處互相垂直，則的最小值是（ ）(A) (B) (C)4 (D)解析 設(shè)兩個(gè)函數(shù)交與，則有，即.又y0x02-2x02與y0-x02ax0b，得到2 x02-(2+a) x0+2-b=0；亦即；因此，可得，即. 故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.例題6已知函數(shù)的圖象在()處的切線互相垂直