數(shù)值分析秘籍考試必過(guò)個(gè)人整理

1、例1：構(gòu)造求解下列方程組收斂的Gauss-Seidel迭代格式（不計(jì)算），并說(shuō)明收斂的理由。GS迭代格式為 EMBED Equation.3 ，k=0，1，2，其中為初值。因?yàn)樽儞Q后的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，所以GS迭代格式收斂。公式：收斂性：1.若A主對(duì)角元占優(yōu)，則收斂。2.若A對(duì)稱正定，則收斂。3.若 ，則收斂4.收斂例2：用Doolittle（LU）分解法求解如下線性方程組：解：設(shè) 公式由矩陣相等得:由Ly=b，解得：，由Ux=y, 解得：注：Crout分解：A=，例3：用Euler法求初值問(wèn)題：解：1)Euler公式：公式：，對(duì)于這里注：因?yàn)閤最大能取到0.5，步長(zhǎng)h=0.1，所以n

2、=52)算得：例4：(Householder)設(shè)求H使解：設(shè)（取=5，（符號(hào)的選取應(yīng)使的值盡可能大，與同號(hào)）, , 公式：設(shè)Ha=b，計(jì)算（ （列范數(shù)） ）例5：利用householder把下列矩陣化為擬上三角矩陣。A= 公式：則HAH=?注：x1234y0-5-63例6：已知函數(shù)y=f(x)的觀測(cè)數(shù)據(jù)為 1) 試求拉格朗日插值多項(xiàng)式。2) 分別用線性插值和二次插值求f(2.4)解：1）a)求插值基函數(shù)，k=0,1,n公式：拉格朗日公式：求-2）線性插值：（?。┒尾逯担海ㄈ。├?：（Jacobi）設(shè)線性代數(shù)方程組Ax=b的系數(shù)矩陣為A=，試求能使Jacobi方法收斂的a的取值范圍。解： 當(dāng)時(shí)

3、，迭代矩陣： 迭代公式： 由 公式： EMBED Equation.3 ，為的特征值。由時(shí)，Jacobi迭代法收斂。例8：設(shè)，（1）寫出解的Newton迭代格式（2）證明此迭代格式是收斂的。Newton迭代格式： 迭代函數(shù)： （求導(dǎo)幾次，就幾次收斂速度）為初值，解：（1）由， ，則（2）， （一階收斂）注： 例9：已知三次樣條函數(shù)S(x)在-1,0上的表達(dá)式且S(1)=0,S(2)=1,求S(x)在0,1及1,2上的表達(dá)式。解：三次樣條函數(shù)在每個(gè)內(nèi)接點(diǎn)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，設(shè)S(x)在0,1上的表達(dá)式為S(x)在1,2上的表達(dá)式為. 即A=?,B=?,C=?,D=? x-2-1012y00.20.50.81例10：已知函數(shù)的觀測(cè)數(shù)據(jù)為試求最小二乘一次多項(xiàng)式擬合曲線。解：，則A=，A ，即 得：例11：確定A、B、C使下面求積公式的代數(shù)精度盡可能高并求其代數(shù)精度。解：令f(x)=1，則A+B+C=4h令f(x)=x，則-Ah+Ch=0 令令令所以該求積公式有3次代數(shù)精度。例12：用逐次分半的復(fù)化梯形公式計(jì)算，使其截?cái)嗾`差不超過(guò)0.005.解：設(shè)，a=0,b=1。 逐次分半：因?yàn)? 所以注：復(fù)化梯形公式：截?cái)嗾`差：注：逐次分半辛普森公式： 復(fù)化截?cái)嗾`差：例13: .定義