高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)_平面的基本性質(zhì)

1、14 平面的基本性質(zhì)教材分析這篇案例是在初中平面幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ)，這節(jié)課既是立體幾何的開頭課，又是基礎(chǔ)課，學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容理解和掌握得如何，是能否學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵之一這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)，難點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用及建立空間概念、正確應(yīng)用符號語言教學(xué)目標(biāo)1. 在引導(dǎo)學(xué)生觀察思考生活中的實(shí)例、實(shí)物模型等的基礎(chǔ)上，總結(jié)和歸納出平面的基本性質(zhì)，初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去認(rèn)識(shí)和感受現(xiàn)實(shí)的三維空間2. 會(huì)用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確描述三個(gè)公理，能用公理及推論解決有關(guān)問題，提高學(xué)生的邏輯推理能力3. 通過畫圖和識(shí)圖，逐步培養(yǎng)

2、學(xué)生的空間想象能力，使學(xué)生在已有的平面圖形知識(shí)的基礎(chǔ)上，建立空間觀念任務(wù)分析這節(jié)課是立體幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，但學(xué)生空間立體感還不強(qiáng)為此，教學(xué)時(shí)要充分聯(lián)系生活中的實(shí)例，如自行車有一個(gè)腳撐等，通過實(shí)例，使學(xué)生盡快形成對空間的正確認(rèn)識(shí)，建立初步的空間觀念；在聯(lián)系實(shí)際提出問題和引入概念時(shí)，要合理運(yùn)用教具，如講解公理1時(shí)，可讓學(xué)生利用手中的直尺去測桌面是不是平的；講解公理2時(shí)可讓學(xué)生觀察教室的墻面的關(guān)系等通過這些方式加強(qiáng)由模型到圖形，再由圖形返回模型的基本訓(xùn)練，逐步培養(yǎng)學(xué)生由圖形想象出空間位置關(guān)系的能力當(dāng)用文字和符號描述對象時(shí)，必須緊密聯(lián)系圖形，使抽象與直觀結(jié)合起來，即在圖形的基礎(chǔ)上發(fā)展其他數(shù)學(xué)語言在闡述定

3、義、定理、公式等重要內(nèi)容時(shí)，宜先結(jié)合圖形，再用文字和符號進(jìn)行描述，綜合運(yùn)用幾種數(shù)學(xué)語言，使其優(yōu)勢互補(bǔ)，這樣，就有可能收到較好的效果，給學(xué)生留下較為深刻的印象教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情景1. 利用你手中的直尺，如何判定你課桌的桌面是不是平的2. 你騎的自行車有一個(gè)腳撐就可站穩(wěn)，為什么？3. 矩形硬紙板的一頂點(diǎn)放在講臺(tái)面上，硬紙板與講臺(tái)面不重合，能否說這兩個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn)？（利用多媒體屏幕呈現(xiàn)問題情景，即在屏幕上出現(xiàn)桌子與直尺、有一個(gè)腳撐的自行車、矩形硬紙與講臺(tái)面及相應(yīng)的問題與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密的實(shí)物通過多媒體給出，能夠活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)的去探究問題）二、建立模型1.

4、探究公理（1）問題1的探究教師提出問題，引發(fā)學(xué)生思考：如何用直尺這個(gè)工具來判定你的桌面是不是平的呢？（把直尺放在物體表面的各個(gè)方向上，如果直尺的邊緣與物體的表面不出現(xiàn)縫隙，就可判斷物體表面是平的）教師點(diǎn)拔：這是判斷物體表面是不是平的的一個(gè)常用方法如果物體表面是平的，把直尺邊緣無論如何放在平面上，則邊緣與平面都沒有縫隙，也就是說，如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)由此，可以歸納出公理1公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（如圖14-1）這時(shí)我們說，直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過直線這一性質(zhì)是平面的主要特征彎曲的面就不是處處具有這

5、種性質(zhì)教師進(jìn)一步分析：為了書寫的簡便，我們把代數(shù)中剛學(xué)習(xí)過的有關(guān)集合的符號，引入立體幾何中把點(diǎn)作為基本元素，直線、平面即為“點(diǎn)的集合”，這樣：點(diǎn)A在直線a上，記作Aa；點(diǎn)A在直線a外，記作Aa；點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作A；點(diǎn)A在平面外，記作A；直線a在平面內(nèi)，記作a；直線a在平面外，記作a公理1用集合符號表示為：Aa，Ba，A，B，則有例：證明如果一個(gè)三角形的兩邊在一個(gè)平面內(nèi)，那么第三邊也在這個(gè)平面內(nèi)注意：在分析過程中，一定要強(qiáng)調(diào)“要證明直線在平面內(nèi)，則應(yīng)該證明什么？條件中有沒有，沒有如何去創(chuàng)造”通過這種逆推思路的分析，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣練習(xí)：判斷下列命題的真假 如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直

6、線與平面沒有公共點(diǎn) 過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè) 與一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)的直線不存在 如果線段AB在平面內(nèi)，則直線AB也在平面內(nèi)a（2）問題2的探究教師提出問題，引發(fā)學(xué)生思考：自行車有一個(gè)腳撐就可站穩(wěn)，為什么？（因?yàn)榍拜喼攸c(diǎn)、后輪著地點(diǎn)、腳撐著地點(diǎn)三點(diǎn)在一個(gè)平面上，而且為了站穩(wěn)，前輪著地點(diǎn)、后輪著地點(diǎn)、腳撐著地點(diǎn)三點(diǎn)不共線，因此我們可以推測：過不共線的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面）教師演示：用相交于一點(diǎn)的三根小棍的三個(gè)端點(diǎn)作為空間不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)（如圖14-2），當(dāng)把作為平面的硬紙板放在上面時(shí)，這張作為平面的硬紙板不能再“動(dòng)”了，因?yàn)橐粍?dòng)就要離開其中的一個(gè)點(diǎn)，硬紙板所在平面就不能確定了，正如同剛才的

7、發(fā)現(xiàn)：過不共線的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面公理2經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（如圖14-3）公理2也可以簡單地說成：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面教師演示課件：在空間給定不共線的三點(diǎn)A，B，C（如圖14-4），作直線AB，BC，CA，再在直線BC，CA，AB上分別取動(dòng)點(diǎn)P，Q，R，作直線AP，BQ，CR，讓P，Q，R分別在直線BC，CA，AB上運(yùn)動(dòng)，我們可以看到這些直線“編織”成一個(gè)平面教師出示問題：試舉出一個(gè)應(yīng)用公理2的實(shí)例（例如，一扇門用兩個(gè)合頁和一把鎖就可以固定了）（3）問題3的探究教師將矩形硬紙板的一頂點(diǎn)放在講臺(tái)面上，讓學(xué)生觀察，并同時(shí)提出問題：能否說這兩個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn)？（不

8、能，因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，所以這兩個(gè)平面應(yīng)該有一條經(jīng)過這公共點(diǎn)的直線）教師點(diǎn)拔：我們只能用有限的模型或圖形來表示無限延展的平面，所以我們有時(shí)要看模型或圖形，但又不能受模型或圖形的限制來影響我們對平面的無限延展的了解這個(gè)實(shí)例說明了平面具有如下性質(zhì)公理3如果兩個(gè)不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的公共直線（如圖14-5）公理3的數(shù)學(xué)符號語言：P，Pa，Pa教師進(jìn)一步概括：為了簡便，以后說到兩個(gè)平面，如不特別說明，都是指兩個(gè)不重合的平面如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交這條公共直線叫作這兩個(gè)平面的交線由公理可見，兩個(gè)平面如果有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，所

9、有公共點(diǎn)在公共直線上，即它們的交線上；交線上的每一個(gè)點(diǎn)都是兩平面的公共點(diǎn)練習(xí)：判斷下列命題的真假如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，那么它們就有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，并且這些公共點(diǎn)都在直線AB上兩個(gè)平面的公共點(diǎn)的集合可能是一條線段2. 推出結(jié)論教師明晰：由于兩點(diǎn)確定一條直線，根據(jù)公理2容易得出如下推論：推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面已知：點(diǎn)A，直線a，Aa（如圖14-6）求證：過點(diǎn)A和直線a可以確定一個(gè)平面分析：“確定一個(gè)平面”包含兩層意思：一是存在，二是唯一這兩層都應(yīng)證明（說明：這個(gè)證明可以由教師引導(dǎo)學(xué)生一起分析完成，但步驟教師一定要板書）證明：存在性因?yàn)锳a，在a上任取兩點(diǎn)B，C，

10、所以過不共線的三點(diǎn)A，B，C有一個(gè)平面（公理2）因?yàn)锽，C，所以a（公理1）故經(jīng)過點(diǎn)A和直線a有一個(gè)平面唯一性如果經(jīng)過點(diǎn)A和直線a的平面還有一個(gè)平面，那么，因?yàn)锽，C，所以B，B（公理1）故不共線的三點(diǎn)A，B，C既在平面內(nèi)又在平面內(nèi)所以平面和平面重合（公理2）所以經(jīng)過點(diǎn)A和直線有且只有一個(gè)平面有時(shí)“有且只有一個(gè)平面”，我們也說“確定一個(gè)平面”類似地可以得出下面兩個(gè)推論：推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面（如圖14-7）推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面（如圖14-8）三、解釋應(yīng)用例題兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)（如圖14-9）已知：ABACA，ABBCB，ACBC

11、C求證：直線AB，BC，AC共面證法1：因?yàn)锳BACA，所以直線AB，AC確定一個(gè)平面（推論2）因?yàn)锽AB，CAC，所以B，C，故BC（公理1）因此，直線AB，BC，CA都在平面內(nèi)，即它們共面證法2：因?yàn)锳直線BC，所以過點(diǎn)A和直線BC確定平面（推論1）因?yàn)锳，BBC，所以B故AB，同理AC，所以AB，AC，BC共面證法3：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，所以過A，B，C三點(diǎn)可以確定平面（公理2）因?yàn)锳，B，所以AB（公理1）同理BC，AC，所以AB，BC，CA三直線共面思考：在這道題中“且不過同一點(diǎn)”這幾個(gè)字能不能省略，為什么？（不能，如果三條直線兩兩相交且過同一點(diǎn)，則這三條直線可以不共面）練習(xí)1. 三角形、梯形是平面圖形嗎？2. 已知：平面外有一個(gè)ABC，并且ABC三條邊所在的直線分別與平面交于三個(gè)點(diǎn)P，Q，R求證P，Q，R三點(diǎn)共線四、拓展延伸1. 四條直線兩兩相交且不過同一點(diǎn)，這四條直線是否一定共面？2. 兩個(gè)平面最多可以把空間分成幾個(gè)部分？三個(gè)平面呢？四個(gè)平面呢？點(diǎn)評這篇案例在教師指導(dǎo)下，從現(xiàn)實(shí)生活中選擇和確定問題進(jìn)行研究，以類似科學(xué)家探究的方式使學(xué)生主動(dòng)地解決問題，獲取知識(shí)，應(yīng)用知識(shí)，并在探究過程中充分利用模型、進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等多種渠道在問題探究的過程中，學(xué)生