計算機圖形學曲線和曲面

1、第第4章章 曲線和曲面曲線和曲面 4.1 曲線和曲面基礎曲線和曲面基礎4.2 二次插值樣條曲線二次插值樣條曲線4.3 三次插值樣條曲線三次插值樣條曲線4.4 Bezier曲線和曲面曲線和曲面4.5 B樣條曲線樣條曲線l 曲線或曲面分為兩大類：曲線或曲面分為兩大類： 規(guī)則曲線或曲面：規(guī)則曲線或曲面：可以用一個確切的曲線或曲面方程式來可以用一個確切的曲線或曲面方程式來表示。表示。 比如，圓和球面、橢圓和橢球面、拋物線和拋物面、比如，圓和球面、橢圓和橢球面、拋物線和拋物面、正弦曲線、擺線、螺線等。正弦曲線、擺線、螺線等。 不規(guī)則曲線或曲面：不規(guī)則曲線或曲面：不能確切給出描述整個曲線或曲面的不能確切給

2、出描述整個曲線或曲面的方程，是由實際測量中得到的一系列離散數(shù)據(jù)點用擬合方法方程，是由實際測量中得到的一系列離散數(shù)據(jù)點用擬合方法來逼近的。一般采用分段的多項式參數(shù)方程來表示，由此形來逼近的。一般采用分段的多項式參數(shù)方程來表示，由此形成一條光滑連續(xù)的曲線或曲面，稱為成一條光滑連續(xù)的曲線或曲面，稱為樣條曲線或曲面樣條曲線或曲面。比如。比如Hermite樣條曲線或曲面、樣條曲線或曲面、Bezier樣條曲線或曲面、樣條曲線或曲面、B樣條曲樣條曲線或曲面等。線或曲面等。 4.1 曲線和曲面基礎曲線和曲面基礎 一、直角坐標表示直角坐標表示1、顯式：、顯式：y = f(x)，如，如y = sin(x)。2、隱

3、式：、隱式：f(x, y) = 0，如，如 x2 + y2 = 1。3、轉換成參數(shù)坐標表示：、轉換成參數(shù)坐標表示： 一般形式：一般形式： x = x(t) y = y(t) 顯式表示顯式表示y = f(x) 的曲線轉換成參數(shù)坐標表示：的曲線轉換成參數(shù)坐標表示： x = x y = f(x) 4.1.1 規(guī)則曲線或曲面的表示法規(guī)則曲線或曲面的表示法 隱式表示隱式表示f(x, y) = 0的曲線轉換成參數(shù)坐標表示：的曲線轉換成參數(shù)坐標表示：常用的重要曲線基本上都能用參數(shù)坐標表示。例如，星形線常用的重要曲線基本上都能用參數(shù)坐標表示。例如，星形線的直角坐標表示（隱式）：的直角坐標表示（隱式）： x2/

4、3 + + y2/3 = R2/3 （R正常數(shù)）正常數(shù)） 寫成參數(shù)坐標表示：寫成參數(shù)坐標表示： x = Rcos3 y = Rsin3 （02）4.1.1 規(guī)則曲線或曲面的表示法規(guī)則曲線或曲面的表示法 二、極坐標表示二、極坐標表示對任意極坐標曲線對任意極坐標曲線=()，可利用極坐標與直角坐標變換，可利用極坐標與直角坐標變換關系式：關系式： x =cos y =sin 將此曲線轉換成參數(shù)坐標表示為：將此曲線轉換成參數(shù)坐標表示為： x =()cos y =()sin4.1.1 規(guī)則曲線或曲面的表示法規(guī)則曲線或曲面的表示法 極坐標與直角坐標變換關系式為：極坐標與直角坐標變換關系式為： x =cos

5、y =sin 將將=a代入上面兩式，代入上面兩式，阿基米德螺線用參數(shù)坐標表示為：阿基米德螺線用參數(shù)坐標表示為： x =acos y =asin 例如，重要曲線阿基米德螺線的極坐標表示：例如，重要曲線阿基米德螺線的極坐標表示： =a （a正常數(shù)）正常數(shù)） 4.1.1 規(guī)則曲線或曲面的表示法規(guī)則曲線或曲面的表示法 三、參數(shù)坐標表示三、參數(shù)坐標表示曲線的參數(shù)坐標一般表示為：曲線的參數(shù)坐標一般表示為： x = x(t) y = y(t) 例如，彈道曲線：例如，彈道曲線： x =V0tcos y =V0tsingt2/2 （0t2V0Sin/g）式中式中V0、g、均為常數(shù)，均為常數(shù)，t 為參數(shù)變量。為參

6、數(shù)變量。 4.1.1 規(guī)則曲線或曲面的表示法規(guī)則曲線或曲面的表示法 4.1.2 參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術語參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術語 l 常用的二次或三次參數(shù)樣條曲線或曲面形式如下：常用的二次或三次參數(shù)樣條曲線或曲面形式如下：二次參數(shù)樣條曲線：二次參數(shù)樣條曲線： P (t) = A0 + A1t + A2t2三次參數(shù)樣條曲線：三次參數(shù)樣條曲線： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3 1 1型值點：型值點：是指通過測量或計算得到的曲線或曲面上少量描述其幾何形是指通過測量或計算得到的曲線或曲面上少量描述其幾何形狀的數(shù)據(jù)點。狀的數(shù)據(jù)點。2控制點：控制點：是指用來控制或調整

7、曲線或曲面形狀的特殊點，曲線或曲面是指用來控制或調整曲線或曲面形狀的特殊點，曲線或曲面本身本身不一定不一定通過該控制點。通過該控制點。 3插值與逼近插值與逼近插值方法要求建立的曲線或曲面數(shù)學模型，嚴格通過已知的插值方法要求建立的曲線或曲面數(shù)學模型，嚴格通過已知的每一個型值點。而逼近方法建立的曲線或曲面數(shù)學模型只是每一個型值點。而逼近方法建立的曲線或曲面數(shù)學模型只是近似地接近已知的型值點。近似地接近已知的型值點。 4.1.2 參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術語參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術語 4擬合擬合是指在曲線或曲面的設計過程中，用插值或逼近的方法使生是指在曲線或曲面的設計過程中，用插值或逼近的方法使生

8、成的曲線或曲面達到某些設計要求，如在允許的范圍內貼近成的曲線或曲面達到某些設計要求，如在允許的范圍內貼近原始的型值點或控制點序列，或曲線看上去很光滑等。原始的型值點或控制點序列，或曲線看上去很光滑等。擬合擬合是插值與逼近兩種設計方法的統(tǒng)稱。是插值與逼近兩種設計方法的統(tǒng)稱。5參數(shù)連續(xù)性與幾何連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性與幾何連續(xù)性設計一條復雜曲線時，經(jīng)常通過多段曲線組合而成，這需要設計一條復雜曲線時，經(jīng)常通過多段曲線組合而成，這需要解決曲線段之間光滑連接的問題。解決曲線段之間光滑連接的問題。為保證分段參數(shù)曲線從一為保證分段參數(shù)曲線從一段到另一段平滑過渡，可以在連接點處要求各種參數(shù)連續(xù)性段到另一段平滑過渡，可

9、以在連接點處要求各種參數(shù)連續(xù)性條件。條件。 4.1.2 參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術語參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術語 0階參數(shù)連續(xù)性：記作階參數(shù)連續(xù)性：記作C0連續(xù)，是指曲線相連，即前一個連續(xù)，是指曲線相連，即前一個曲線段的終點與后一個曲線段的起點相同。曲線段的終點與后一個曲線段的起點相同。P(1)=Q(0) 一階參數(shù)連續(xù)性：記作一階參數(shù)連續(xù)性：記作C1連續(xù)，連續(xù)，是指是指兩個相鄰曲線段在連兩個相鄰曲線段在連接點處有相同的一階導數(shù)。接點處有相同的一階導數(shù)。P(1)=Q(0) 二階參數(shù)連續(xù)性：記作二階參數(shù)連續(xù)性：記作C2連續(xù)，是指兩個連續(xù)，是指兩個相鄰相鄰曲線段在連曲線段在連接點處有相同的一階和二階

10、導數(shù)。接點處有相同的一階和二階導數(shù)。P(1)=Q(0)且且P(1)=Q(0) 4.1.2 參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術語參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術語 連接兩個相鄰曲線段的另一個方法是指定幾何連續(xù)性條件。連接兩個相鄰曲線段的另一個方法是指定幾何連續(xù)性條件。這種情況下，只需相鄰兩個曲線段在連接點處的參數(shù)導數(shù)成這種情況下，只需相鄰兩個曲線段在連接點處的參數(shù)導數(shù)成比例而不是相等。比例而不是相等。 0階幾何連續(xù)性：記為階幾何連續(xù)性：記為G0連續(xù)，與連續(xù)，與C0連續(xù)連續(xù)相同，即相同，即前一個前一個曲線段的終點與后一個曲線段的起點相同曲線段的終點與后一個曲線段的起點相同。P(1)=Q(0)4.1.2 參數(shù)樣條

11、曲線或曲面的常用術語參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術語 一階幾何連續(xù)性：記為一階幾何連續(xù)性：記為G1連續(xù)，指連續(xù)，指兩個相鄰曲線段在連接兩個相鄰曲線段在連接點處的一階導數(shù)成比例但不一定相等。點處的一階導數(shù)成比例但不一定相等。P(1)= Q(0) ( 0) 二階幾何連續(xù)性：記為二階幾何連續(xù)性：記為G2連續(xù)，指兩個連續(xù)，指兩個相鄰相鄰曲線段在連接曲線段在連接點處的一階導數(shù)和二階導數(shù)均成比例點處的一階導數(shù)和二階導數(shù)均成比例但不一定相等但不一定相等。P(1)= Q(0)且且P(1)= Q(0) ( 0， 0)4.1.2 參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術語參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術語 4.2 二次插值二次插值樣條曲

12、線樣條曲線 在擬合生成樣條曲線的眾多方法中，首先來討論用插值方在擬合生成樣條曲線的眾多方法中，首先來討論用插值方法生成通過給定離散型值點的二次樣條曲線，法生成通過給定離散型值點的二次樣條曲線，即拋物樣條即拋物樣條曲線。曲線。l 二次插值樣條曲線的數(shù)學表達式二次插值樣條曲線的數(shù)學表達式l 二次插值樣條曲線的加權合成二次插值樣條曲線的加權合成l 二次插值樣條曲線的端點條件二次插值樣條曲線的端點條件l 二次插值樣條曲線的性質二次插值樣條曲線的性質4.2.1 二次插值樣條曲線的數(shù)學表達式二次插值樣條曲線的數(shù)學表達式 l 已知不在同一直線上的三點已知不在同一直線上的三點P1、P2、P3，要求通過給定的，

13、要求通過給定的這三點定義一條拋物線。這三點定義一條拋物線。P1P2P3l 二次樣條曲線的參數(shù)化表達式二次樣條曲線的參數(shù)化表達式為：為： P(t) = A1 + A2t + A3t2 (0t1) (4-1) A1、A2、A3為表達式的系數(shù)，且是向量形式。若是二維平面為表達式的系數(shù)，且是向量形式。若是二維平面曲線，則為二維向量；若是三維空間曲線，則為三維向量。曲線，則為二維向量；若是三維空間曲線，則為三維向量。l 確定系數(shù)確定系數(shù)A1、A2、A3的三個獨立條件的三個獨立條件： 該曲線過該曲線過P1、P2、P3三個點，并且：三個點，并且：曲線段以曲線段以P1點為始點。即當參變量點為始點。即當參變量t

14、 = 0時，曲線過時，曲線過P1點；點；曲線段以曲線段以P3點為終點。即當參變量點為終點。即當參變量t = 1時，曲線過時，曲線過P3點；點；當參變量當參變量t = 0.5時，曲線過時，曲線過P2點，且切矢量等于點，且切矢量等于P3P1。P1P2P3QAP2t=0t=0.5t=14.2.1 二次插值樣條曲線的數(shù)學表達式二次插值樣條曲線的數(shù)學表達式 l 根據(jù)以上設定的三個獨立條件，可以列出方程組：根據(jù)以上設定的三個獨立條件，可以列出方程組： t = 0： P(0) = A1 = P1 t = 1： P(1) = A1+ A2+ A3 = P3 (4-2) t = 0.5：P(0.5) = A1+

15、 +0.5A2+ +0.25A3 = P2 解得三個系數(shù)解得三個系數(shù)A1、A2、A3分別為：分別為：4.2.1 二次插值樣條曲線的數(shù)學表達式二次插值樣條曲線的數(shù)學表達式 A1 = P1 A2 = 4P2 P3 3P1 (4-3) A3 = 2P1+ 2P3 4P2l 把求出的三個系數(shù)代入到式把求出的三個系數(shù)代入到式(4-1)中，可得：中，可得：P(t)= A1 + A2t + A3t2 = P1 +(4P2 P3 3P1)t + (2P1+2P3 4P2)t2 (0t1) = (2t2 3t + 1)P1 + (4t2 + 4t)P2 + (2t2 t)P3 (4-4)l 把式把式(4-4)改

16、寫成矩陣形式為：改寫成矩陣形式為：001143242321PPP P(t) = t2 t 1(4-5)4.2.1 二次插值樣條曲線的數(shù)學表達式二次插值樣條曲線的數(shù)學表達式 l 式式(4-5)中的中的P(t)是一個點向量，在二維平面上它包含了是一個點向量，在二維平面上它包含了兩個坐標值兩個坐標值x(t), y(t)，故式，故式(4-5)的直觀形式可以寫成如下的直觀形式可以寫成如下形式：形式：001143242321321yyyxxx x(t) y(t) = t2 t 1(4-6)4.2.1 二次插值樣條曲線的數(shù)學表達式二次插值樣條曲線的數(shù)學表達式 l 例題：已知平面三點例題：已知平面三點P1(1

17、0,5)，P2(20,20)，P3(40,15)，求這，求這3點確定的二次插值樣條曲線。點確定的二次插值樣條曲線。 解：曲線方程為：解：曲線方程為：即：即：(0 t 1) 4.2.2 二次插值二次插值樣條曲線的加權合成樣條曲線的加權合成 l 設有一個離散型值點列設有一個離散型值點列Pi( (i = 1, 2, , ,n) )，可以按式，可以按式(4-5) 每經(jīng)過相鄰三點作一段拋物線，由于有每經(jīng)過相鄰三點作一段拋物線，由于有n個型值點，所以像個型值點，所以像這樣的拋物線段一共可以作出這樣的拋物線段一共可以作出n2條。條。P1P2P3P4P5Pn-2Pn-1Pn產生產生n2條拋物線條拋物線段段l

18、第第i條拋物線段經(jīng)過條拋物線段經(jīng)過Pi、Pi+1、Pi+2三點，其表達式為：三點，其表達式為： Si(ti)=(2ti23ti+1)Pi+(4ti4ti2)Pi+1+(2ti2ti)Pi+2 (0ti1) (4-7) l 第第i+1條拋物線段經(jīng)過條拋物線段經(jīng)過Pi+1、Pi+2、Pi+3三點，其表達式為：三點，其表達式為： Si+1(ti+1)=(2ti+123ti+1+1)Pi+1+(4ti+14ti+12)Pi+2+(2ti+12ti+1)Pi+3 (0ti+11) (4-8) 經(jīng)過四點所畫出的兩條拋物線段經(jīng)過四點所畫出的兩條拋物線段Si(ti)和和Si+1(ti+1)的圖形的圖形PiPi

19、+1Pi+2Pi+3SiSi+14.2.2 二次插值二次插值樣條曲線的加權合成樣條曲線的加權合成 l 一般來說，每兩段曲線之間的搭接區(qū)間，兩條拋物線是一般來說，每兩段曲線之間的搭接區(qū)間，兩條拋物線是不可能重合的。不可能重合的。Si和和Si+1兩條拋物線在兩條拋物線在Pi+1和和Pi+2兩點之間為兩點之間為搭接區(qū)間，在該區(qū)間內，搭接區(qū)間，在該區(qū)間內，Si和和Si+1不太可能自然地重合成一不太可能自然地重合成一條曲線。條曲線。 l 對于擬合曲線來說，整個型值點列必須只能用一條光滑對于擬合曲線來說，整個型值點列必須只能用一條光滑曲線連接起來。因此，在曲線連接起來。因此，在Si和和Si+1兩條曲線的兩

20、條曲線的搭接搭接區(qū)間內，區(qū)間內，必須有一個方法能夠讓它們按照一定的法則結合成一條曲必須有一個方法能夠讓它們按照一定的法則結合成一條曲線，這樣結合的方法就是線，這樣結合的方法就是加權合成加權合成。 4.2.2 二次插值二次插值樣條曲線的加權合成樣條曲線的加權合成 PiPi+1Pi+2Pi+3SiSi+1l 在加權合成過程中，首先要選擇兩個合適的權函數(shù)。這在加權合成過程中，首先要選擇兩個合適的權函數(shù)。這里選擇的兩個權函數(shù)分別設為里選擇的兩個權函數(shù)分別設為f(T)和和g(T)，加權合成后的曲，加權合成后的曲線用線用Pi+1(t)表示，則：表示，則： Pi+1(t) = f(T)Si(ti) + +

21、g(T)Si+1(ti+1) (4-9)4.2.2 二次插值二次插值樣條曲線的加權合成樣條曲線的加權合成 l 在拋物樣條曲線中，權函數(shù)在拋物樣條曲線中，權函數(shù)f(T)和和g(T)都是簡單的一次函都是簡單的一次函數(shù)，且它們之間存在互補性。它們分別為：數(shù)，且它們之間存在互補性。它們分別為： f(T) = 1T g(T) = T (0T1) l 這樣，式這樣，式(4-9)可改寫為：可改寫為： Pi+1(t) = (1T)Si(ti) + +TSi+1(ti+1) (4-10) l 式式(4-10)中包含了三個參變量中包含了三個參變量T、ti、ti+1，必須要統(tǒng)一這三，必須要統(tǒng)一這三個參變量：個參變量

22、： 4.2.2 二次插值二次插值樣條曲線的加權合成樣條曲線的加權合成 參變量參變量取值范圍取值范圍搭接處取值范圍搭接處取值范圍ti0, 10.5, 1ti+10, 10, 0.5T0, 10, 1l 這里選擇這里選擇 t 作為統(tǒng)一后的參變量，把原有的三個參變量作為統(tǒng)一后的參變量，把原有的三個參變量T、ti、ti+1都化成唯一含有都化成唯一含有t的形式，并給的形式，并給t 規(guī)定一個合適的取值規(guī)定一個合適的取值范圍。假設范圍。假設t的取值范圍為：的取值范圍為：0t0.5，則三個參變量可統(tǒng)，則三個參變量可統(tǒng)一形式為：一形式為： 4.2.2 二次插值二次插值樣條曲線的加權合成樣條曲線的加權合成 T =

23、 2t ti = 0.5 + t 0t0.5 ti+1 = tl 則式則式(4-10)可根據(jù)新的參變量可根據(jù)新的參變量t 改寫成如下形式：改寫成如下形式： Pi+1(t) = (12t)Si(t + 0.5) + + 2tSi+1(t) (4-11) 其中：其中：Si(t+0.5) = (2t2t)Pi+(14t2)Pi+1+(2t2+t)Pi+2Si+1(t) = (2t23t+1)Pi+1+(4t4t2)Pi+2+(2t2t)Pi+3 4.2.2 二次插值二次插值樣條曲線的加權合成樣條曲線的加權合成 把以上兩式代入式把以上兩式代入式(4-11)，展開、整理后可得：，展開、整理后可得： Pi

24、+1(t) = (4t3 + 4t2 t)Pi + (12t310t2 +1)Pi+1 + (12t3 + 8t2 + t)Pi+2 + (4t3 2t2)Pi+3 (i = 1，2， n3) (0t0.5) (4-12) PiPi+1Pi+2Pi+3Pi+1(t)每相鄰的四個點可以決定中間的一段拋物樣條曲線每相鄰的四個點可以決定中間的一段拋物樣條曲線l 假如一個離散點列假如一個離散點列Pi具有具有n個型值點，即個型值點，即i=1，2，n。那么根據(jù)式那么根據(jù)式(4-12)，加權合成后可以生成，加權合成后可以生成n3段拋物樣條曲段拋物樣條曲線。即式線。即式(4-12)中的中的i的取值范圍為：的取

25、值范圍為：i = =1n3。 4.2.2 二次插值二次插值樣條曲線的加權合成樣條曲線的加權合成 4.2.3 二次插值樣條曲線的端點條件二次插值樣條曲線的端點條件 l 根據(jù)式根據(jù)式(4-12)，在全部型值點列在全部型值點列 Pi (i=1，2，n) 中，只中，只能得到能得到n3段曲線。但段曲線。但n個型值點之間應該有個型值點之間應該有n1個區(qū)段。個區(qū)段。主要主要是因為是因為點列的首、尾兩段曲線點列的首、尾兩段曲線P1P2和和Pn1Pn段，由于缺乏連續(xù)段，由于缺乏連續(xù)相鄰的四點這樣的條件而無法產生。相鄰的四點這樣的條件而無法產生。 l 為了要產生首尾兩段曲線，可以在原點列的兩端各增加一為了要產生首

26、尾兩段曲線，可以在原點列的兩端各增加一個輔助點個輔助點P0和和Pn+1。 P0P1P2Pn-1PnPn+1增加點增加點Pn+1可以畫出可以畫出Pn-1Pn段段增加點增加點P0可以畫出可以畫出P1P2段段l 增加點增加點P0和點和點Pn+1的三種方法：的三種方法： 已知兩端的切矢已知兩端的切矢P1和和Pn在由在由P1、P2、P3三點所確定的拋物線中，過三點所確定的拋物線中，過P2點曲線的切矢點曲線的切矢 P 2 = P3P1 即：即：P1 = P3P 2根據(jù)上面的原理可得：根據(jù)上面的原理可得： P1 = P2P0 P0 = P2P1 Pn = Pn+1Pn1 Pn+1 = Pn1+ Pn這種端點

27、情況，一般適用于所求的曲線要和已經(jīng)存在的曲線這種端點情況，一般適用于所求的曲線要和已經(jīng)存在的曲線或直線相連接?；蛑本€相連接。 4.2.3 二次插值樣條曲線的端點條件二次插值樣條曲線的端點條件 自由端條件自由端條件讓補點讓補點P0 和和Pn+1與原兩端點與原兩端點P1 和和Pn分別重合，即：分別重合，即： P0 = P1 Pn+1 = Pn 這種補點方法稱為自由端條件，該方法一般適用于對曲線的這種補點方法稱為自由端條件，該方法一般適用于對曲線的兩端沒有特殊要求。兩端沒有特殊要求。 4.2.3 二次插值樣條曲線的端點條件二次插值樣條曲線的端點條件 形成封閉曲線形成封閉曲線在在n個型值點之間形成封閉

28、曲線，要生成個型值點之間形成封閉曲線，要生成n個曲線段，而不個曲線段，而不是原來的是原來的n1段。所以在補點中要段。所以在補點中要增增加加3個點，首先讓首尾個點，首先讓首尾兩點重合，然后各向前后延長一點，即：兩點重合，然后各向前后延長一點，即： Pn+1 = P1 P0 = Pn Pn+2 = P2 4.2.3 二次插值樣條曲線的端點條件二次插值樣條曲線的端點條件 P0P1P2Pn-1PnPn+14.2.4 二次插值樣條曲線的性質二次插值樣條曲線的性質 l 二次插值樣條曲線的連續(xù)性問題：二次插值樣條曲線的連續(xù)性問題：1、相鄰兩曲線段、相鄰兩曲線段Pi+1(t)和和Pi+2(t)在型值點在型值點

29、P處相連。并且處相連。并且Pi+1(t)在在P點處的參變量點處的參變量t =0.5，而，而Pi+2(t)在在P點處的參變量點處的參變量t =0。2、滿足、滿足C1連續(xù)，即連續(xù)，即Pi+1 (0.5) = Pi+2 (0) = Pi+3-Pi+1Pi+1(t)PPi+2(t)4.2.4 二次插值樣條曲線的性質二次插值樣條曲線的性質 Pi+1(t) = (-4t3 + 4t2 t)Pi + (12t3 10t2 + 1)Pi+1 + (-12t3 + 8t2 + t)Pi+2 + (4t3 2t2)Pi+3 (0t0.5) Pi+1 (t) = (-12t2 + 8t 1)Pi + (36t2 2

30、0t)Pi+1 +(-36t2 + 16t + 1)Pi+2 + (12t2 4t)Pi+3當當t = 0.5時：時：Pi+1 (0.5) = Pi+3 Pi+1Pi+2 (t) = (-12t2 + 8t 1)Pi+1 + (36t2 20t)Pi+2 +(-36t2 + 16t + 1)Pi+3 + (12t2 4t)Pi+4當當t = 0時：時：Pi+2 (0) = Pi+3 Pi+1因此得出因此得出Pi+1 (0.5) = Pi+2 (0) ，說明可以達到，說明可以達到C1連續(xù)。連續(xù)。4.3 三次插值樣條曲線三次插值樣條曲線 三次插值樣條曲線在靈活性和計算速度之間進行了合理的折三次插值

31、樣條曲線在靈活性和計算速度之間進行了合理的折中。與更高次樣條相比，三次插值樣條只需較少的計算和存中。與更高次樣條相比，三次插值樣條只需較少的計算和存儲，且較穩(wěn)定。與二次插值樣條相比，三次插值樣條在模擬儲，且較穩(wěn)定。與二次插值樣條相比，三次插值樣條在模擬任意形狀時顯得更靈活。任意形狀時顯得更靈活。 l 三次插值樣條曲線由分段的三次多項式來描述。設其參變三次插值樣條曲線由分段的三次多項式來描述。設其參變量為量為t，則分段三次插值樣條曲線表達式的一般形式為：，則分段三次插值樣條曲線表達式的一般形式為： P(t) = B1 + B2t + B3t2 + B4t3 (0ttm) (4-13)其中，其中，

32、P(ti) = x(ti) y(ti) z(ti)可以看作三次插值樣條曲線上某可以看作三次插值樣條曲線上某一點的位置向量，一點的位置向量，ti是該點的參變量，是該點的參變量，x(ti)、y(ti)、z(ti)可以看可以看作是該點的坐標值。作是該點的坐標值。 式式(4-13)中的中的B1、B2、B3、B4為四個待定系數(shù)。必須確定這為四個待定系數(shù)。必須確定這四個系數(shù)，這需要設定四個獨立條件。四個系數(shù)，這需要設定四個獨立條件。l n+1個型值點產生個型值點產生n 段曲線，每段曲線都需要確定段曲線，每段曲線都需要確定四四個系個系數(shù)。確定系數(shù)的不同方法導致不同的三次插值樣條曲線：數(shù)。確定系數(shù)的不同方法導

33、致不同的三次插值樣條曲線： 三次自然樣條曲線三次自然樣條曲線 Hermite樣條曲線樣條曲線 Cardinal樣條曲線樣條曲線4.3 三次插值樣條曲線三次插值樣條曲線 4.3.1 三次自然樣條曲線三次自然樣條曲線 l 三次自然樣條曲線是三次自然樣條曲線是最早用于圖形應用的最早用于圖形應用的三次插值樣條曲三次插值樣條曲線。線。l 三次自然樣條曲線具有三次自然樣條曲線具有C2連續(xù)性。連續(xù)性。l n+1個型值點（個型值點（P0、P1、P2Pn）插值產生）插值產生n段曲線，每段曲線，每段曲線有段曲線有4個系數(shù)，共有個系數(shù)，共有4n個多項式系數(shù)需要確定。個多項式系數(shù)需要確定。 4.3.1 三次自然樣條曲

34、線三次自然樣條曲線 l 4n個多項式系數(shù)的確定：個多項式系數(shù)的確定： 對于每個內型值點對于每個內型值點( (P1、P2Pn-1，共共n-1個個) )有有4個邊界個邊界條件：在該型值點兩側的兩個相鄰曲線段在該點處具有相同條件：在該型值點兩側的兩個相鄰曲線段在該點處具有相同的一階和二階導數(shù)，并且兩個曲線段都要通過該點。的一階和二階導數(shù)，并且兩個曲線段都要通過該點。4(n-1)個方程個方程 曲線起點為第一個型值點曲線起點為第一個型值點P0，曲線終點為最后一個型值，曲線終點為最后一個型值點點Pn。2個方程個方程 在在P0 和和 Pn兩點處設二階導數(shù)為兩點處設二階導數(shù)為0。2個方程個方程l 三次自然樣條

35、曲線能夠做到曲線通過所有型值點。三次自然樣條曲線能夠做到曲線通過所有型值點。l 缺點：缺點： 必須解方程組。必須解方程組。 整條曲線受所有型值點控制，如果整條曲線受所有型值點控制，如果型值點中有任何一個型值點中有任何一個改動，則整條曲線都受影響。改動，則整條曲線都受影響。因此，不允許因此，不允許“局部控制局部控制”。 在實際應用中很少采用三次自然樣條曲線。在實際應用中很少采用三次自然樣條曲線。 4.3.1 三次自然樣條曲線三次自然樣條曲線 4.3.2 Hermite樣條曲線樣條曲線 l Hermite樣條曲線是以法國數(shù)學家樣條曲線是以法國數(shù)學家Charles Hermite命名命名的，它是一個

36、分段三次多項式，并且在每個型值點處有給的，它是一個分段三次多項式，并且在每個型值點處有給定的切線。定的切線。l 與三次自然樣條曲線不同，與三次自然樣條曲線不同，Hermite樣條曲線可以局部調樣條曲線可以局部調整，因為每個曲線段僅依賴于端點約束。整，因為每個曲線段僅依賴于端點約束。l 整條曲線通過所有的型值點，對于每個曲線段來說，它整條曲線通過所有的型值點，對于每個曲線段來說，它通過兩個相鄰的型值點。通過兩個相鄰的型值點。4.3.2 Hermite樣條曲線樣條曲線 l Hermite樣條曲線段的確定：樣條曲線段的確定： 已知：設曲線段的起點和終點分別為已知：設曲線段的起點和終點分別為P0和和P

37、1，并且曲線，并且曲線段在兩端點處的切矢量分別為段在兩端點處的切矢量分別為P0和和P1。參變量。參變量t是在兩個端是在兩個端點取值點取值0和和1之間變化。之間變化。P0 (t=0)P0P1 (t=1)P1 對于每個三次曲線段，有了四個獨立條件：兩個端點的對于每個三次曲線段，有了四個獨立條件：兩個端點的位置向量以及曲線段在兩端點處的切矢量。根據(jù)這四個條件位置向量以及曲線段在兩端點處的切矢量。根據(jù)這四個條件可以可以得到方程組，得到方程組，求出分段表達式求出分段表達式( (4-13) )中的四個系數(shù)：中的四個系數(shù)： P0 = B1 + B2t + B3t2 + B4t3 = B1 (當當t=0) P

38、1 = B1 + B2t + B3t2 + B4t3 = B1 + B2 + B3 + B4 (當當t=1) P0 = B2 + 2B3t + 3B4t2 = B2 (當當t=0) (4-14) P1 = B2 + 2B3t + 3B4t2 = B2 + 2B3 + 3B4 (當當t=1)4.3.2 Hermite樣條曲線樣條曲線 式式(4-14)寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：1010PPPP32100010111100014321BBBB (4-15) = 求解上述方程組中的求解上述方程組中的B1、B2、B3、B4，可得，可得Hermite樣條樣條曲線的矩陣表達式：曲線的矩陣表達式：00010

39、100123311221010PPPP (4-16) P(t) = t3 t2 t 14.3.2 Hermite樣條曲線樣條曲線 將式將式(4-16)展開，得到第展開，得到第k段段Hermite樣條曲線的表達式：樣條曲線的表達式： P(t) = Pk(2t3-3t2+1) + Pk+1(-2t3+3t2) + Pk(t3-2t2+t) + Pk+1(t3-t2) (4-17)l Hermite樣條曲線能局部修改，對某些數(shù)字化應用有用。樣條曲線能局部修改，對某些數(shù)字化應用有用。但對計算機圖形學中的大部分問題而言，除了型值點坐標外，但對計算機圖形學中的大部分問題而言，除了型值點坐標外，更好的做法是

40、不需要輸入曲線斜率值或其它幾何信息就能生更好的做法是不需要輸入曲線斜率值或其它幾何信息就能生成樣條曲線。因此，出現(xiàn)了成樣條曲線。因此，出現(xiàn)了Cardinal樣條，它不需要輸入控樣條，它不需要輸入控制點上的曲線導數(shù)值，而是采用控制點的坐標位置來計算導制點上的曲線導數(shù)值，而是采用控制點的坐標位置來計算導數(shù)。數(shù)。 4.3.2 Hermite樣條曲線樣條曲線 4.3.3 Cardinal樣條曲線樣條曲線 l Cardinal樣條曲線也是分段三次插值曲線，并且每個曲線樣條曲線也是分段三次插值曲線，并且每個曲線段端點處均指定切線，但不一定要給出端點處的切線值。段端點處均指定切線，但不一定要給出端點處的切線

41、值。l 一個一個Cardinal樣條曲線段由四個連續(xù)控制點給出。中間兩樣條曲線段由四個連續(xù)控制點給出。中間兩個控制點是曲線段的端點，另外兩個控制點用來計算端點斜個控制點是曲線段的端點，另外兩個控制點用來計算端點斜率。率。設設P(t)是兩個控制點是兩個控制點Pk和和Pk+1間的間的參數(shù)三次函數(shù)式，則從參數(shù)三次函數(shù)式，則從Pk-1到到Pk+2間的間的4個控制點用于建立個控制點用于建立Cardinal樣條曲線段的邊界條件：樣條曲線段的邊界條件： Pk-1PkPk+2Pk+1P(t) P0 = Pk P1 = Pk+1 P0 = 1/2(1- ts)(Pk+1- Pk-1) (4-18) P1 = 1

42、/2(1- ts)(Pk+2- Pk) 控制點控制點Pk和和Pk+1處的斜率分別與處的斜率分別與弦弦Pk-1Pk+1和和PkPk+2成正比。成正比。參數(shù)參數(shù)ts：稱為張力參數(shù)，稱為張力參數(shù)，它它控制控制Cardinal樣條曲線與輸入控制點樣條曲線與輸入控制點之間的松緊程度。之間的松緊程度。Pk-1PkPk+2Pk+1PkPk+14.3.3 Cardinal樣條曲線樣條曲線 l 張力參數(shù)張力參數(shù) ts 在在Cardinal曲線形狀中的作用：曲線形狀中的作用： ts0（曲線較緊）（曲線較緊）4.3.3 Cardinal樣條曲線樣條曲線 P(t) = t3 t2 t 1001000233222sss

43、sssssss211kkkkPPPP(4-19)其中，其中，s = (1-ts)/2。 l 將矩陣形式將矩陣形式(4-19)展開，得展開，得Cardinal樣條曲線多項式形式：樣條曲線多項式形式：P(t) = Pk-1(-st3 + 2st2 - st) + Pk(2-s)t3 + (s-3)t2 + 1 + Pk+1(s-2)t3 + (3-2s)t2 + st + Pk+2(st3 - st2) (4-20) l 可以將邊界條件式可以將邊界條件式(4-18)轉換成矩陣形式：轉換成矩陣形式： 4.3.3 Cardinal樣條曲線樣條曲線 4.4 Bezier曲線和曲面曲線和曲面 l Bezi

44、er曲線的形狀是通過一組多邊折線（也稱曲線的形狀是通過一組多邊折線（也稱Bezier多邊多邊形或特征多邊形）唯一定義出來的。形或特征多邊形）唯一定義出來的。 l 在多邊折線的各頂點中，只有第一點和最后一點是在曲在多邊折線的各頂點中，只有第一點和最后一點是在曲線上，其余頂點用來定義曲線的導數(shù)、階次和形狀。第一線上，其余頂點用來定義曲線的導數(shù)、階次和形狀。第一條邊和最后一條邊分別與曲線在起點和終點處相切。曲線條邊和最后一條邊分別與曲線在起點和終點處相切。曲線形狀趨于多邊折線的形狀。改變多邊折線的頂點位置和曲形狀趨于多邊折線的形狀。改變多邊折線的頂點位置和曲線形狀的變化有直觀的聯(lián)系。線形狀的變化有直

45、觀的聯(lián)系。P0P1P2P3P0P1P2P3P0P1P2P34.4.1 Bezier曲線的數(shù)學表達式定義曲線的數(shù)學表達式定義 n+ +1個頂點定義一個個頂點定義一個n次多項式，其參數(shù)向量表達式為：次多項式，其參數(shù)向量表達式為： 式式(4-21)中，中，Pi為各頂點的位置向量，為各頂點的位置向量，Bi,n(t)為伯恩斯坦基為伯恩斯坦基函數(shù)，即函數(shù)，即Bezier多邊形的各頂點位置向量之間的調和函數(shù)。多邊形的各頂點位置向量之間的調和函數(shù)。該函數(shù)的表達式為：該函數(shù)的表達式為： 若規(guī)定：若規(guī)定：00和和0！均為！均為1，則當，則當 t=0時：時： P(0) = P0B0, n(0) + P1B1, n(

46、0) + P2B2, n(0) + PnBn, n(0) ) 10()()(0,ttBPtPninii(4-21)iniinininittCttinintB)1 ()1 ()!( !)(,(4-22)當當t=0時，除第一項外其余各項均為時，除第一項外其余各項均為0，即：，即： 當當t =1時：時： P(1) = P0B0, n(1) + P1B1, n(1) + P2B2, n(1) + PnBn, n(1) 當當t =1時，除最后一項外其余各項均為時，除最后一項外其余各項均為0，即：，即： l 得出結論：得出結論：Bezier曲線通過多邊折線的起點和終點。曲線通過多邊折線的起點和終點。4.4

47、.1 Bezier曲線的數(shù)學表達式定義曲線的數(shù)學表達式定義 0000,00)01(0!1!)0()0(PPnnBPPnn(4-23)nnnnnnnnPPnnBPP)11(11!)1()1(,(4-24)()()1 ()!1( !)!1()1 ()!()!1()!1()1 ()()1 ()!( !)(1,1, 11111,tBtBnttininttininnttinttiinintBniniiniiniiniinini于是得：于是得：101,1, 1)()()( nininiitBtBPntP(4-25)4.4.1 Bezier曲線的數(shù)學表達式定義曲線的數(shù)學表達式定義 l 得出結論：得出結論：B

48、ezier曲線在點曲線在點P0處與邊處與邊P0P1相切，在點相切，在點Pn處與邊處與邊Pn-1Pn相切。相切。 4.4.1 Bezier曲線的數(shù)學表達式定義曲線的數(shù)學表達式定義 同理，在終點同理，在終點t =1，有：，有：P(1) = n(Pn-Pn-1) (4-27)在起點在起點t =0，式，式(4-25)中只有中只有i=0, 1兩項有效，即：兩項有效，即： (4-26)0100100)01 (0)!01( ! 0)!1()01 (0)!0()!10()!1()0( nnnnnnPnP)()01 (0)!11( ! 1)!1()01 (0)!1()!11 ()!1(011111111PPnn

49、nnnPnn4.4.2 Bezier曲線的曲線的性質性質 1、伯恩斯坦基函數(shù)的性質：、伯恩斯坦基函數(shù)的性質： 非負性：非負性： 權性：權性： 對稱性：對稱性： 遞推性：遞推性： 導函數(shù)：導函數(shù)： ,( )0,0,1i nBtt,0( )1,0,1ni niBtt,( )(1)i nn i nBtBt,11,1( )(1)( )( )i ni ninBtt BttBt)()()(1,1, 1,tBtBntBninini4.4.2 Bezier曲線曲線的性質的性質 2、Bezier曲線的性質：曲線的性質： 端點的位置矢量：端點的位置矢量：由式由式(4-23)和式和式(4-24)得：得：P(0)=P

50、0，P(1)=Pn 端點處的切矢量：端點處的切矢量：由式由式(4-26)和式和式(4-27)得：得：P(0)=n(P1-P0) P(1)=n(Pn-Pn-1) 對稱性：對稱性：若保持全部頂點的位置不變，只是把次序顛倒過來，則新的若保持全部頂點的位置不變，只是把次序顛倒過來，則新的Bezier曲線形狀不變，但方向相反。（表明同一特征多邊形曲線形狀不變，但方向相反。（表明同一特征多邊形定義的定義的Bezier曲線是唯一的）曲線是唯一的） 4.4.2 Bezier曲線曲線的性質的性質 2、Bezier曲線的性質（續(xù)）：曲線的性質（續(xù)）： 凸包性：凸包性：Bezier曲線完全被包容在由特征多邊形形成的

51、凸包內。曲線完全被包容在由特征多邊形形成的凸包內。 幾何不變性：幾何不變性：Bezier曲線的形狀僅取決于特征多邊形的頂點，而與坐標系曲線的形狀僅取決于特征多邊形的頂點，而與坐標系的選取無關。的選取無關。4.4.3 一次一次Bezier曲線曲線 當當n=1時，頂點時，頂點 P0、P1可定義一條一次可定義一條一次(n=1)Bezier曲線。此曲線。此時式時式(4-21)可改寫成：可改寫成：顯然，一次顯然，一次Bezier曲線是一條點曲線是一條點P0到點到點P1的直線段。的直線段。) 10()1 ()()(101 ,10ttPPttBPtPiiit4.4.4 二次二次Bezier曲線曲線 當當n=

52、2時，頂點時，頂點P0、P1、P2可定義一條二次可定義一條二次(n=2)Bezier曲線。曲線。此時式此時式(4-21)可改寫成：可改寫成： P(t) = (1t)2P0 + 2t(1t)P1 + t2P2 (0t1) (4-28) 寫成矩陣形式為：寫成矩陣形式為：001022121210PPP P(t) = t2 t 1 )(212141214121201210PPPPPPP該式說明，二次該式說明，二次Bezier曲線經(jīng)過曲線經(jīng)過P0P1P2中的一條中線中的一條中線P1Pm的中的中點點P。并且可以看出二次。并且可以看出二次Bezier曲線是一條拋物線。曲線是一條拋物線。P1P0P2PmP4.

53、4.4 二次二次Bezier曲線曲線 由式由式(4-28) ，二次，二次Bezier曲線（曲線（n=2）在起點）在起點P0處有切向量處有切向量 P0=P(0)=2(P1P0)；在終點；在終點P2處有切向量處有切向量P2=P(1) = 2(P2P1)。同時，當。同時，當t =1/2時：時：4.4.5 三次三次Bezier曲線曲線 當當n=3時，頂點時，頂點P0、P1、P2、P3四點可定義一條三次四點可定義一條三次(n=3) Bezier曲線。此時式曲線。此時式(4-21)可改寫為：可改寫為： P(t) = (1t)3P0+3t(1t)2P1+3t2(1t)P2+t3P3 = (13t+3t2-t

54、3)P0 + (3t6t2+3t3)P1 + (3t23t3)P2 + t3P3 (0t1) (4-29) 寫成矩陣表達式為：寫成矩陣表達式為： 00010033036313313210PPPPP(t) = t3 t2 t 14.4.5 三次三次Bezier曲線曲線 控制點相同但順序不同的三次控制點相同但順序不同的三次Bezier曲線曲線4.4.5 三次三次Bezier曲線曲線 移動控制點移動控制點P2的的Bezier曲線的不同效果曲線的不同效果4.4.6 Bezier曲線的控制頂點反求曲線的控制頂點反求l 已知已知Bezier曲線上給定參數(shù)處的位置矢量和參數(shù)階次，利曲線上給定參數(shù)處的位置矢量

55、和參數(shù)階次，利用用Bezier曲線的定義和端點特性，可列出一組方程，求解方曲線的定義和端點特性，可列出一組方程，求解方程組，可得到相應的控制頂點。程組，可得到相應的控制頂點。 例如：已知三次例如：已知三次Bezier曲線上的曲線上的4個點分別為個點分別為Q0(120, 0)，Q1(45, 0)，Q2(0, 45)，Q3(0, 120), 它們對應的參數(shù)分別為它們對應的參數(shù)分別為0， 1/3，2/3，1，反求三次，反求三次Bezier曲線的控制頂點。曲線的控制頂點。 由已知條件可得方程組：由已知條件可得方程組： Q0 = P0 (t=0) Q1 = (8/27)P0 + (4/9)P1 + (2

56、/9)P2 + (1/27)P3 (t=1/3) Q2 = (1/27)P0 + (2/9)P1 + (4/9)P2 + (8/27)P3 (t=2/3) Q3 = P3 (t=1)4.4.6 Bezier曲線的控制頂點反求曲線的控制頂點反求分別將分別將Q0、Q1、Q2、Q3的的x、y坐標代入方程組求解，可得：坐標代入方程組求解，可得：P0(120, 0)P1(35, -27.5)P2(-27.5, 35)P3(0, 120)4.4.7 Bezier曲線的幾何作圖法曲線的幾何作圖法l 以控制點數(shù)為以控制點數(shù)為4，邊數(shù)為，邊數(shù)為3的控制多邊形的控制多邊形P0P1P2P3為例：為例： 分別在邊分別

57、在邊P0P1、P1P2 、P2P3上找到一點上找到一點P0,1、P1,1 、P2,1，該點將所在的，該點將所在的邊分成邊分成 t:(1-t) 兩部分，比如設兩部分，比如設 t =2/3。 然后，將然后，將3個分割點構成新的控制多邊形個分割點構成新的控制多邊形P0,1P1,1P2,1，其控制點數(shù)為，其控制點數(shù)為3，邊數(shù)為邊數(shù)為2；再以同樣的方法及同樣的比例，對邊；再以同樣的方法及同樣的比例，對邊P0,1P1,1和邊和邊P1,1P2,1進行分進行分割，得到分割點割，得到分割點P0,2和和P1,2。 最后，對邊最后，對邊P0,2P1,2進行相同比例的分割，得到點進行相同比例的分割，得到點P0,3。P

58、0,3即為由原控制即為由原控制多邊形多邊形P0P1P2P3所確定的三次所確定的三次Bezier曲線上的參數(shù)為曲線上的參數(shù)為t 的點的點P(t)。 若讓參數(shù)若讓參數(shù) t 在在0, 1變動，并且讓變動，并且讓t 取一個較小的增量，如取一個較小的增量，如t =0.1。循。循環(huán)多次即可作出三次環(huán)多次即可作出三次Bezier曲線。曲線。4.4.7 Bezier曲線的幾何作圖法曲線的幾何作圖法Bezier曲線的幾何作圖法示意圖曲線的幾何作圖法示意圖以及分割點的遞推關系以及分割點的遞推關系4.4.7 Bezier曲線的幾何作圖法曲線的幾何作圖法l Bezier曲線的幾何作圖法總結：曲線的幾何作圖法總結： 對

59、于任意控制多邊形，在以對于任意控制多邊形，在以PiPi+1為端點的第為端點的第 i 條邊上，找條邊上，找一點一點Pi,1(t)，把該邊分成，把該邊分成 t:(1-t) 比例，則分割點比例，則分割點Pi,1(t)=(1-t)Pi + tPi+1 (i=0,1,n-1)，這，這n個點組成一個新的個點組成一個新的n-1邊形，對該多邊邊形，對該多邊形重復上述操作，得到一個新的形重復上述操作，得到一個新的n-2邊形的頂點邊形的頂點Pi,2(t) (i=0,1,n-2)，依次類推，連續(xù)作，依次類推，連續(xù)作n次后，得到一個單點次后，得到一個單點Pi,n(t)，該點就是，該點就是Bezier曲線上參數(shù)為曲線上

60、參數(shù)為t 的點的點P(t)，讓，讓 t 在在0, 1變動變動，就得到，就得到Bezier曲線。曲線。4.4.8 Bezier曲線的拼接曲線的拼接l 設有兩條設有兩條Bezier曲線曲線P(u)和和Q(w)，P(u)由由P0P1P2Pm定義，定義，Q(w)由由Q0Q1Q2Qn定義：定義：l 考慮兩條考慮兩條Bezier曲線的曲線的一階連續(xù)一階連續(xù)性（性（C1和和G1）拼接設計）拼接設計： 由由端端點切點切矢量條件：矢量條件： P (1)=m(Pm-Pm-1) Q (0)=n(Q1-Q0),0( )( )0,1mii miP uP Buu,0( )( )0,1njj njQ wQBww4.4.8