各圓錐曲線的定義與性質(zhì)整理

1、圓錐曲線的定義與性質(zhì)一、基本知識(shí)點(diǎn)1、橢圓橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離的和大于|這個(gè)條件不可忽視.若這個(gè)距離之和小于|，則這樣的點(diǎn)不存在；若距離之和等于|，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（0），（0）.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大小：如果項(xiàng)的分母大于項(xiàng)的分母，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，反之，焦點(diǎn)在y軸上.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.橢圓（0）的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.橢圓的簡單幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為（0）.1范圍： -axa，-bxb，所以橢圓位于直線x=和y=所圍成的矩形里.2對稱性：分

2、別關(guān)于x軸、y軸成軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.3頂點(diǎn)：有四個(gè)（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長. 所以橢圓和它的對稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，稱為橢圓的頂點(diǎn).4離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0e1.e越接近于1時(shí)，橢圓越扁；反之，e越接近于0時(shí)，橢圓就越接近于圓.橢圓的四個(gè)主要元素a、b、c、e中有=+、兩個(gè)關(guān)系，因此確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩個(gè)獨(dú)立條件.2、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的差的絕

3、對值等于常數(shù)2a（小于|）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.在這個(gè)定義中，要注意條件2a|，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=|，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線；若2a|，則無軌跡. 若時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡僅為雙曲線的一個(gè)分支，又若時(shí)，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕對值”.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判

4、斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問題： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1雙曲線的實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b，離心率1，離心率e越大，雙曲線的開口越大.2雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中k是一個(gè)不為零的常數(shù).在雙曲線中，a、b、c、e四個(gè)元素間有與的關(guān)系，與橢圓一樣確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程只要兩個(gè)獨(dú)立的條件.3、拋物線拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)（F）和一條定直線（l）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。這個(gè)定點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn)，這條定直線l叫拋物線的準(zhǔn)線。設(shè)，拋物線的標(biāo)

5、準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對稱軸軸軸頂點(diǎn)（0，0）離心率焦半徑對于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個(gè)軸，方程中的該項(xiàng)即為一次項(xiàng)；一次項(xiàng)前面是正號(hào)則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項(xiàng)前面是負(fù)號(hào)則曲線的開口方向向x軸或y軸的負(fù)方向。二、典型習(xí)題（一）圓錐曲線定義1、（1）橢圓上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離是2，N時(shí)MF1的中點(diǎn)，則的長為。（2）已知雙曲線的方程是，點(diǎn)P在雙曲線上，且到其中一個(gè)焦點(diǎn)F1的距離為10，點(diǎn)N是PF1的中點(diǎn)，則的大小為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（3）已知雙曲線的方程是，點(diǎn)P在雙曲線上，且到其中一個(gè)焦點(diǎn)F1的距離為8，點(diǎn)N是PF1的中點(diǎn)，則的大小為

6、（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）2、已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x3)2+y2=9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡。3、已知橢圓的焦點(diǎn)F1(3,0)、F2(3,0)且與直線xy+9=0有公共點(diǎn)，求其中長軸最短的橢圓方程.（二）焦點(diǎn)三角形：橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個(gè)焦點(diǎn)、構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。解題時(shí)還可能要用到： 圓錐曲線的第一定義式及其平方等；三角形的面積公式：； 平面幾何的性質(zhì)等。4、雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在雙曲線上，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。5、已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，=60(1)求橢圓離心率的范圍；(2)求證的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)。

7、6、已知橢圓的焦點(diǎn)是，和，離心率為（1）求橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值；（2）若P在橢圓上，求的面積（三）圓錐曲線的方程7、（1）中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)（）和（）的橢圓的方程為；（2）與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn)（12，6）的雙曲線的方程為；（3）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)（2，3）的拋物線的方程為；（4）已知橢圓的焦距是，且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（5）若雙曲線的漸近線方程為，它的一個(gè)焦點(diǎn)是，則雙曲線的方程是；（6）雙曲線的兩條漸近線方程為，且它的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，則此雙曲線方程為。（7）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（，）和（，），過作軸，交橢圓于，兩點(diǎn)，且是等邊三角形

8、，此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。8、雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的漸近線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，求雙曲線與橢圓的方程。9、代表實(shí)數(shù)，討論方程所表示的曲線yOK圖1（四）幾何性質(zhì)10、（1）點(diǎn)P是拋物線上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，3），則的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為。（2）如圖1，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A，B，若A，B在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別是A1，B1，則等于；（3）拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方是y=2，則a的值是.11、（1）如果雙曲線的兩條漸近線方程是y=，則此雙曲線的離心率是。（2）雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則離心率是.（3）下圖中兩個(gè)橢圓和兩條雙曲線的離心

9、率分別是、，且，則曲線的離心率是_，曲線的離心率是_，曲線的離心率是_，曲線的離心率是_。（4）（2005年四川高考題）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是；（5）已知橢圓C1：=1的一條通徑(過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦)與拋物線C2：y2=2px(p0)的通徑重合，則橢圓的離心率為；（6）若橢圓的離心率為，則m為（7）2007年（全國2理）設(shè)分別是雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)，使且，則雙曲線的離心率為.12、（1）設(shè)橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)是 ，且橢圓上存在點(diǎn)P使得直線與 垂直，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為；（2）已知

10、P是橢圓上一點(diǎn)，Q、R分別是圓(x+4) 2+y2= 和(x-4) 2+y2=上的點(diǎn)，則|PQ|+|PR|的最小值是.（3）若動(dòng)點(diǎn)(x,y)在曲線=1(b0)上變化，則x2+2y的最大值為.（4）07年（全國）設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)若點(diǎn)在雙曲線上，且，則13、關(guān)于雙曲線xy=1有下面4個(gè)命題：（1）它的漸近線方程為x=0和y=0;（2）它的實(shí)軸長為；（3）它的離心率為；（4）正三角形的三頂點(diǎn)在雙曲線xy=1上，則不可能同號(hào)。以上正確命題的序號(hào)為。14、已知雙曲線（x-h）（y-k）=a()的水平漸近線為y=k,垂直漸近線為x=h,雙曲線中線為(h,k)，若雙曲線上的點(diǎn)到它的水平漸近線，垂直

11、漸近線，中心的距離分別為，則的最小值為。15、如圖，在正方體的側(cè)面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P到直線AB的距離等于到直線B1C1的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是。xF1OF2MyN圓錐曲線定義與性質(zhì)答案1、（1）解：由橢圓方程知，因?yàn)椋‵2為另一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)），又因?yàn)?，所以，ON是三角形MF1F2的中位線，所以即的長是4。（2）解：ON是三角形PF1F2的中位線，所以，因?yàn)?，所以，?）82、解：設(shè)動(dòng)圓圓心M(x,y)，動(dòng)圓半徑為R，則MC1=1+R，MC2=3+R， 所以|MC2|MC1|=2 0, a245, 故amin=3，得（2a）min=6,此時(shí)橢圓方程為.解法2：設(shè)橢圓=1與直線xy+9=0的公共點(diǎn)為M(a

12、cos,)，則acos+9=0有解.=9cos(+)=，|19a245, amin=3，得（2a）min=6,此時(shí)橢圓的方程.MF2xF1 1OyF解法3：先求得F1(3，0)關(guān)于直線xy+9=0的對稱點(diǎn)F(9,6)，設(shè)直線F1F2與橢圓的交點(diǎn)為M，則2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|FF2|=6，于是(2a)min=6,易得a2=45,b2=36， 此時(shí)橢圓的方程為.4、解：由雙曲線的方程知：，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，坐標(biāo)為，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)，那么：由得：，所以，在直角三角形PF1F2中，所以代入雙曲線的方程得：，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是，再根據(jù)雙曲線的對稱性得點(diǎn)P的坐標(biāo)還可以是，。5、

13、（1） （2）6、解：設(shè)橢圓，半焦距為c，則橢圓方程為設(shè)橢圓上的點(diǎn)為，P到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”（其中），橢圓上的點(diǎn)到直線的最大值為（2），又，即，7、（1）解：設(shè)橢圓的方程是：，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，所以，即所求的橢圓方程是：（2）解:因?yàn)樗箅p曲線與已知雙曲線有相同的漸近線，設(shè)所求的雙曲線的方程是，將點(diǎn)（12，）代入得：所以，所求的雙曲線的方程是：。（3）解：設(shè)拋物線的方程是或，那么：，或，所求拋物線的方程是：或。（4）或；（5）；（6）解：設(shè)該雙曲線的方程為3x2y2=k（k0）當(dāng)k0時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由焦點(diǎn)到漸近線距離為3得k=9當(dāng)k0時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由焦點(diǎn)到漸近線距離為3得k=

14、27所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或（也可利用雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為b求解）（7）解：點(diǎn)撥：本題根據(jù)橢圓的定義和等邊三角形的性質(zhì)解答。由橢圓的定義得：，又因?yàn)槭堑冗吶切危?，即，所以，所以，所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是8、解：由共同的焦點(diǎn)，可設(shè)橢圓方程為；雙曲線方程為，點(diǎn)在橢圓上，雙曲線的過點(diǎn)的漸近線為，即所以橢圓方程為；雙曲線方程為9、解：當(dāng)時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在軸的雙曲線；當(dāng)時(shí)，曲線為兩條平行的垂直于軸的直線；當(dāng)時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在軸的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線為一個(gè)圓；當(dāng)時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在軸的橢圓。10、（1）解：拋物線的準(zhǔn)線方程是，那么點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于到準(zhǔn)線的距離，作準(zhǔn)線，垂足為D，那么，所以當(dāng)點(diǎn)M，P

15、，D三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即用點(diǎn)M的橫坐標(biāo)減去準(zhǔn)線方程的數(shù)值得：，所以的最小值是4。此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，所以橫坐標(biāo)是，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是。（2）解：點(diǎn)撥：利用拋物線的定義和平面幾何的知識(shí)解題。設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為K，那么，,所以，又因?yàn)锳A1軸,所以，同理可證，所以（3）11、（1）解：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)有，又c2=a2+b2，解得e= 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)有，又c2=a2+b2，解得e=（2）（3）（4）解：設(shè)|PF2|=m，則由題設(shè)得|PF1|=m，2c =|F1F2|=m.由橢圓第一定義，得2=|PF1|+|PF2|=()me=. （5）由已知得,則b2=2ac，a2-c2=2ac，1-e2=2e，即e2+2e-1=0，則e=-1（6） （7）12、（1）分析：要求m的取值范圍，首先需要導(dǎo)出相關(guān)的不等式，由題設(shè)知，橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)方程，因而這里應(yīng)有 ， 便是特設(shè)條件中隱蔽的不等關(guān)系.(2)設(shè)F1、F2為橢圓的左右焦點(diǎn)，則F1、F2分別為兩已知圓的圓心，則|PQ|+|PR|(|